ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORALESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICASFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
SOLUCIÓN Y RÚBRICA DE LA LSOLUCIÓN Y RÚBRICA DE LA LECCIÓNECCIÓN4, 4, 12 12 JJULIOULIO2018, F2018, FRANJARANJA09h30-11h0009h30-11h00
1.1. Del fondo de un Del fondo de un depósito semiesférico, de radio 8 metros, está saliendo agua a depósito semiesférico, de radio 8 metros, está saliendo agua a razónrazón
de 2 metros cúbicos por hora. de 2 metros cúbicos por hora. El depósito estaba lleEl depósito estaba lleno en cierto momentno en cierto momento. ¿A quéo. ¿A qué
velocidad cambia el nivel del agua cuando su altura es de 3 metros?velocidad cambia el nivel del agua cuando su altura es de 3 metros?
Nota: Nota: el volumen de un casquete esférico de alturel volumen de un casquete esférico de altura h en un hemisferio de radio r es:a h en un hemisferio de radio r es:
== ℎℎ
(75 puntos)(75 puntos)
Solución:Solución:
La velocidad que se desea obtener corresponde a la tasa de cambio de la alturaLa velocidad que se desea obtener corresponde a la tasa de cambio de la altura
del nivel del agua medida desde el fondo del depósito con respecto al tiempo,del nivel del agua medida desde el fondo del depósito con respecto al tiempo,
ℎℎ
⁄⁄ ..
Relacionamos el volumen con la altura del nivel del agua utilizando la fórmulaRelacionamos el volumen con la altura del nivel del agua utilizando la fórmula
dadadada = ℎ= ℎ
..
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo ambos lados de la Derivamos implícitamente con respecto al tiempo ambos lados de la ecuación.ecuación.
== ℎℎ ((
11
33ℎℎ
)+()+( ℎℎ
33))22ℎℎℎℎ
11
RelacionamosRelacionamos
con con
utilizando la expresiónutilizando la expresión =648ℎ=648ℎ obtenida obtenida enen
base a la base a la siguiente figura:siguiente figura:
Se obtieneSe obtiene
== −−
22
Reemplazando la expresiónReemplazando la expresión 22 enen 11obtenemos:obtenemos:
