Quiz IV de Cálculo III
David Montes Cardona
Código: 1923542-3751
Universidad del Valle
Use el teorema de Green para hallar el área de la superficie dada por Ω =
{(x, y)∈R2:x4+y4≤1}.
Solución. Sea Ω0la sección del conjunto ubicada en el primer cuadrante y sea C=∂Ω0la
frontera el conjunto Ω0y supóngase que se encuentra orientada positivamente. La simetría
de la superficie Ωcon respecto al origen permite afirmar que A(Ω) = 4A(Ω0), donde A
representa el área de una superficie en R2(para ser más estrictos, A=λ2es la medida de
Lebesgue definida en R2).
El teorema de Green implica que
A(Ω0) = ZΩ0
1dxdy =ZΩ0∂
∂x [x]−∂
∂y [0]dxdy =Z∂Ω0
F·dr,
donde F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y )) = (0, x).
Ahora bien, ∂Ω0=C1∪C2∪C3, donde C1representa el tramo de Ω0cuando x, y > 0;C2
es el tramo de Ω0sobre eje y; y C3es el el tramo de Ω0sobre eje x.
i) Es posible parametrizar −C1por ~r(t) = (t, 4
√1−t4)para t∈(0,1). Por ende,
ZC1
F·dr =−Z1
0
F(~r(t)) ·~
r0(t)dt =−Z1
0
P dx +Qdy =−Z1
0
t(1 −t4)−3/4(−t3)dt.
ii) Es posible parametrizar −C2por ~r(t) = (0, t)para t∈(0,1). Por ende,
ZC2
F·dr =−Z1
0
F(~r(t)) ·~
r0(t)dt =−Z1
0
P dx +Qdy =−Z1
0
0dt = 0.
iii) Es posible parametrizar C3por ~r(t) = (t, 0) para t∈(0,1). Por ende,
ZC3
F·dr =Z1
0
F(~r(t)) ·~
r0(t)dt =Z1
0
P dx +Qdy =Z1
0
0dt = 0.
1
