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Casos de difusión pura:
Medio estacionario con concentraciones superficiales específicas:
Estos problemas son análogos a los de conducción de calor (o de flujo viscoso).
La velocidad media, molar o de masa, es cero, y el flujo absoluto de una especie es igual al flujo difusivo.
nA =− ρD (^) AB∇mA=−DAB∇ ρ A
N (^) A =−CDAB∇xA=−DAB∇C A
Para una aplicación más ajustada a la realidad, estas condiciones se dan cuando la fracción másica del componente que difunde es muy pequeña ( m (^) A ≤ 1 , xA≤ 1 ) y el flujo del otro componente es, por lo tanto,
aproximadamente nulo. Ambas condiciones se dan en soluciones muy diluidas.
La ecuación de Conservación de la masa en medio plano estacionario con gradiente de concentración en una dirección, en forma molar, se escribe:
dx
dx CD dx
d (^) A AB
Con x = 0 , xA =xA 1
x =L, xA =xA 2
A (^ ) ( A 2 A 1 )L xA 1
x x x = x −x +
De donde:
L
x x N (^) Ax CDAB A A
Esta solución es análoga a la de conducción de calor a través de una placa plana.
Igualmente hay analogías entre la transferencia radial de calor y de masa a través de cilindros y esferas. Con radios internos y externos r1 y r2. Por ejemplo, para cilindro:
2 1 2 2
(^1 2) ln ln( / )
A (^ ) Ar Ar xAr r
r r r
x x x r ⎟⎟+ ⎠
Otros casos de Transferencia de masa por difusión.
Hay casos en que la transferencia de masa presenta mayor complejidad que la de transferencia de calor
Consideremos una mezcla binaria de gas. Un tubo vertical abierto en el extremo superior, contiene en el fondo una cierta cantidad de especie A líquida.
El sistema está a presión y temperatura constantes.
Sobre el líquido hay vapores de A, cuya concentración corresponde a la condición saturada, justo en la interfase.
Sea x =0 la coordenada de la interfase y x = L, la de la posición a la salida del tubo.
Xao>XaL, por lo tanto hay una evaporación de A desde la fase líquida, y el vapor de A se mueve hacia arriba por difusión.
Por el tope del tubo circula una mezcla binaria de A y B, con concentraciones constantes de ambas especies. (A y B pueden ser agua y aire, respectivamente).
Como solo hay dos componentes, a lo largo de la columna se mantiene la relación:
xA + xB= 1
Como suponemos que
−ln( 1 −x (^) A )=C 1 x+C 2
Al aplicar las condiciones:
x (^) A ( 0 )= xAo, xA(L)=x AL
Se evalúan las constantes y
x L
Ao
AL Ao
A x
x x
x
/
,
,
. 1
Finalmente, el flujo de evaporación de A resulta:
A o
AB AL A x x
x L
CD
N
,
, , (^1)
ln
Evaluar este flujo con los siguientes datos:
Tubo de 0,2 m de diámetro y altura sobre el agua: 80 mm. En el exterior tenemos aire ambiente a 27ºC y 25% de humedad relativa. El agua en el recipiente también está a 27ºC. Determinar la rapidez de evaporación.
PROBLEMAS DE CONDUCCIÓN Y DIFUSIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE EN
UNA DIMENSIÓN.
En el curso estudiaremos varios problemas específicos con distintas metodologías.
Comenzaremos el estudio de problemas específicos con un caso en que se puede obtener la solución por métodos analíticos.
Es decir, se pedirá obtener una solución analítica y calcularla mediante algún software de programación (por ejemplo Matlab). Finalmente, validar la implementación de la solución mediante comparación con datos de los libros.
Para este tipo de problemas usaremos un caso en que hay transferencia de calor solamente, y en que la forma de la transferencia de calor es conducción pura.
Estudiaremos un problema que pasa prácticamente ignorado en textos de transferencia de calor, y que es:
Aletas de enfriamiento de sección variable.
Las aletas de enfriamiento son extensiones de una superficie que aumentan el intercambio de calor entre ésta y un medio fluido que la rodea.
No es necesario repetir aquí el análisis elemental de una aleta de enfriamiento. Este se basa en los siguientes supuestos:
Se supone transferencia de calor unidimensional en una aleta de perímetro y sección transversal invariable con x, la coordenada a lo largo de la aleta. El coeficiente convectivo alrededor de ésta es uniforme y conocido, y la temperatura del medio externo uniforme.
El parámetro mas importante en la teoría elemental de aletas es el “mL”, que es una medida de la importancia relativa de la conducción y de la convección en el perfil axial de temperatura de la aleta, siendo L el largo de ésta.
La ecuación del calor, para una aleta de sección constante es:
2 2 ( )^0 (^1 )
2
− m T−T∞ =
dx
dT
Con
m =( hp/kA)^1 /^2
Con mL alto, domina la convección, con mL bajo domina la conducción.
Como se sabe la solución de la ecuación (1) es:
T T Cemx^ Ce−^ mx
Problema análogo de transferencia de masa:
Estas mismas ecuaciones aparecen en la difusión de especies con reacción química.
En el caso de sección variable con la coordenada x, la ecuación de la aleta es:
⎟− (^ − )=^0 (^2 )
dx hpT T∞
dT kA dx
d
Como A = A( x)∧p=p(x), la ecuación es lineal pero de coeficientes variables.
Hay diversas formas de aletas que responden a esta descripción, tales como:
Aletas de perfil triangular, con base rectangular Aletas de perfil triangular, con base circular Aletas circulares en tubos.
Cada caso presenta diferentes dependencias del área y el perímetro con respecto a la coordenada, por lo cual se obtienen soluciones distintas en todos ellos.
Método de series de potencias:
Tomemos una ecuación similar a la de la aleta, con coeficientes constantes:
2
d y
Suponemos que tiene una solución expresable como serie de potencias:
∞
=
0
2 ( ) 1 2 ... k
k yx ao ax ax akx
Al reemplazar esta serie en la ecuación diferencial, resulta otra serie, cuya suma es nula.
Los coeficientes de todas las potencias de x en la serie resultante deben ser cero para satisfacer la ecuación ∀x.
Los coeficientes de esa serie se relacionan de la siguiente manera:
a 2 =− ao a 3 =− a 1 a 4 =− a 2 = ao a 5 =− a 3 = a 1
Podemos expresar todos los coeficientes en términos de a (^) o ya 1 obteniendo las
dos series siguientes:
∑ ∑
∞
=
∞ +
=
0
1
2 1 1 0
2 cos sin ( 2 1 )!
k
o
k k k
k k o (^) k a x a x
x a k
x yx a
Consideremos ahora una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes variables (funciones de x), la ecuación de Bessel:
⎟+(^2 2 −^2 ) =^0 (^3 )
mx y dx
dy x dx
d x ν
Usando el mismo procedimiento anterior (aunque con mayor complicación algebraica), obtenemos la solución:
y ( x)=aoJν (mx)+a 1 Y ν(mx) ( 4 )
Con (^) ∑ ∑
∞
=
− −
∞
=
Γ − +
0
2
0
2 ! ( 1 )
k
k k k
k k k k
mx J mx k k
mx J mx ν ν
ν ν
ν ν
Y…
νπ
νπ ν ν ν (^) sin
(cos ) ( ) ( ) ( ) J mx J mx Y mx
En el denominador aparece la función Gama, que para enteros es:
Γ( n+ 1 )=nΓ(n)=n! Γ( 1 )= 0 != 1
Y para no enteros es:
Γ(ν )Γ(ν− 1 )=π/sinπν, Γ( 1 / 2 )= π^1 /^2
J e Y son las funciones de Bessel de orden ν de primera y de segunda clase, respectivamente.
La solución de la siguiente ecuación
2 2 2 0 (^6 )
2 (^2) + +bxy= dx
dy ax dx
d y x
(que se parece más a la de la aleta) puede representarse por funciones de Bessel.
Para demostrarlo haremos un cambio de variable dependiente: Sea y= x^ νz.
Si esto se reemplaza en (6), se reordena la ecuación resultante y se ajusta ν de modo que a + 2 ν = 1 , se obtiene la ecuación:
⎟+(^2 2 −^2 ) =^0
bx z dx
dz x dx
d x ν
Que es idéntica a (5). Sus soluciones son funciones de Bessel modificadas con argumento bx , por lo tanto:
y ( x)=xνZν(bx), ν=( 1 −a)/ 2
En que Z ν representa una función de Bessel genérica. Finalmente
consideramos la ecuación
⎟+^2 =^0 (^7 )
x y
dx
dy
x
dx
d α β
γ
Que es la forma a que llega la ecuación de aleta de sección variable (2) para diversas geometrías con distintas formas de variación del área de conducción y del perímetro de convección con la distancia a lo largo de la aleta (x).
Haciendo ahora un cambio de variable independiente, se puede demostrar que la solución de (7) es:
y( x)= xν^ /μZν(γμx^1 /μ), ν=( 1 −α)/(β−α+ 2 ), μ= 2 /(β−α+ 2 ), ν/μ=( 1 − α)/ 2
Si γ es imaginario, las soluciones particulares son I y K y el argumento es el
indicado en la ecuación precedente, (que incluye el módulo (valor absoluto) de γ ).
Tarea Nº 1 propuesta:
Aterricemos el problema con tres casos prácticos:
Aletas de perfil triangular, con base rectangular Aletas de perfil triangular, con base circular Aletas transversales alrededor de tubos circulares.
Se pide:
-Elegir una geometría -Obtener la solución analítica para la distribución de temperatura y el calor disipado. -Generar un archivo matlab para determinar la distribución de temperatura, el flujo de calor y visualizar la distribución de temperatura en escala de colores en la geometría considerada. -Suponiendo algunos valores del coeficiente convectivo externo, determinar los rangos viables de dimensiones para cada tipo de aletas, considerando el criterio de eficiencia. -Generar curvas de eficiencia de la forma de aleta considerada.
Grupos de a 2 personas (no importa que repitan en problema, ya que nunca podrán entregar soluciones iguales) Tiempo: 2 semanas.
