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CAPÍTULO 11
CIRCULO DE MOHR
11.1 ESFUERZOS NORMALES Y
TANGENCIALES EN EL SUELO
Notación:
= Sigma = Esfuerzo normal o directo a la superficie.
= Tau = Esfuerzo de cizalladura o cortante a la superficie.
> 0 = Compresión; < 0 = Tracción.
zx = Cortante en la dirección X, sobre el plano Z (el plano Z es el plano X–Y).
z = Esfuerzo normal y en la dirección Z.
Sobre las caras del cubo existen 9 elementos (fig. 11.1), las que se pueden escribir así:
zx zy zz
yx yy yz
xx xy xz = Tensor general de esfuerzos en R^3
(11.1)
Tomando momentos (esfuerzo, por área, por distancia) para hacer rotar el cubo en torno a un eje central paralelo al eje Z e igualando a 0 (cero), tenemos que xy y yx son los dos esfuerzos que pueden hacerlo.
2 2
2 xy a a yx a a
Entonces: xy = yx (11.2)
Reduciendo el problema a dos dimensiones únicamente, (11.1) puede escribirse con sólo 3 componentes y no 4, según (11.2).
Figura 1 1 .1 Esfuerzos en una masa de suelo
A
B O
Y
X
yx
xy
x
y
yx
xy
Figura 1 1 .2 Esfuerzos en un plano
xy y
x xy = Tensor de esfuerzos en R^2 (11.3)
En el plano Z (o X,Y), se dibuja las 4 componentes del esfuerzo. En este caso x, y compresivos. yx se ha hecho xy. Entonces, de las 4 componentes del esfuerzo, tres son independientes: Las de la ecuación (11.3).
La ecuación (10.3) y la ecuación (10.1) se pueden expresar, para los esfuerzos principales, en R^2 y R^3 , así:
3
2
1
2
1
y (11.4)
Los tensores expresados en (11.4) suponen una rotación del sistema, hasta que los esfuerzos cortantes se hagan nulos (i j = 0), según lo visto en la Sección 9.6.
11.2 ESFUERZOS EN UN PLANO.
El problema es que, conocido el tensor en R^2 , calcular y , siendo el ángulo del plano con el eje Y (o del esfuerzo normal al plano, con el eje X).
NOTA: La matriz de cosenos directores en R^2 es la del coseno del ángulo de (, ) con (X, Y):
^
cos 90 cos
cos cos 90
cos ' cos '
cos ' cos '
yx y y
xx x y T
sen cos
cos sen
T (11.5)
Considerando el equilibrio estático, la F = 0
AB PX = OB X + OA XY ; AB PY = OA X + OB XY (11.6)
Pero OA = AB sen; OB = AB cos (11.7)
A
B
O
Y
X yx
x
y
xy^ Pn
A
B
O
Y
X
xy^ Pn
Figura 1 1 .3 Esfuerzos en un plano.
IDENTIDAD
Cos2 = cos^2 - sen^2
cos 2 ^12 1 cos 2
sen2 = 2sen cos
sen 2 ^12 1 cos 2
(1 1 .17)
11.2.1 El plano de máximo esfuerzo de cizalladura : Se encuentra con la ecuación (10.16); en ella es máximo cuando sen 2 = 1 = 45°
^1 ^ ^2
max^ y^ ^ = 45°^ (11.18)
11.2.2 Esfuerzo hidrostático: Cuando 1 = 2 = 3 (en R^3 ) y no existe cortante en el material (xy = yz = zx = 0). En este caso sólo existe cambio de volumen, elástico o permanente.
11.2.3. Esfuerzo octaédrico:^1 32
^
oct (11.19)
11.2.4 Esfuerzo desviador ’: Sobre un esfuerzo es del tipo hidrostático, puede darse un esfuerzo adicional normal y en una dirección, llamado esfuerzo desviador ’, que para la dirección 1 es:
Igualmente:
NOTA: El octaédrico es un invariante
3 1 2 3
2 1 3 2
1 2 3 1
(1 1 .20)
11.3 CÍRCULO DE MOHR (Estado bidimensional, R^2 )
Consideremos el estado de esfuerzos en el PLANO PRINCIPAL de 3 , plano en el que actúan los esfuerzos principales 1 y 3, ver Sección 10.6. Asumamos > 0 en compresión y > 0 en dirección retrógrada. El esfuerzo desviador es la magnitud 1 – 3 , diámetro del CÍRCULO DE
MOHR, cuyo centro es ^ ^1 ^ ^3 2 , con ordenada = 0 en el plano considerado y que definimos como
plano , .
Dada la magnitud y dirección de 1 y 3 se pueden calcular los esfuerzos normal y tangencial , en cualquier PLANO “ab” con dirección medida en sentido retrógrado a partir de , así:
cos 2 2 2
cos sen^1313
2 3
2 1
(11.21)
sen 2 2
1 3 sen^ cos^13
(11.22)
Comparando (11.21) y (11.22) con las ecuaciones (11.10), (11.11), (11.15) y (11.16), vemos que se ha tomado 3 por 2 , para asociarlas al círculo de Mohr.
a
c b
(^3) 1
A
Punto A de coordenadas A()
Figura 1 1 .4 Circulo de Mohr.
El esfuerzo resultante ab está dado por
2 2
El máximo es el radio del círculo de Mohr y este esfuerzo tangencial se produce en planos que forman 45° con el esfuerzo normal mayor 1.
Si el estado de ESFUERZOS es GEOSTÁTICO, los máx estarán sobre planos que hacen 45° con el horizonte y la magnitud de max, dependerá de K, el COEFICIENTE DE PRESIÓN DE TIERRAS
Si V
K K h
1 max 0 donde
Si ^1 2
K 1 max V K
Ejercicios 11.2 Para las figuras I y II dadas, obtenga los esfuerzos en el plano mn.
Solución gráfica (Para I y II)
1 = 4 Kg cm 2 ; 3 = 2 Kg cm 2
dibujo el círculo de Mohr.
máx = R = ( 1 – 3 )/2 = 1 Kg cm 2
Por 2,0 trazo BP paralela al plano sobre el cual actúa el esfuerzo 2,0 = 2; = 0
Obtengo el polo P donde la paralela BP corta el círculo.
Por P trazo el plano PA paralelo a “mn” para obtener el punto A.
Leemos las coordenadas de A, punto que representa al plano mn, esto es:
Caso I (^) : = 2,5 Kg cm 2 ; = -0,87 Kg cm 2 = 120°
Caso II (^) : = 3,5 Kg cm 2 ; = 0,87 Kg cm 2 = 30°
I
II
A
O B
n P C m
0
0
1
4Kg/cm^2
2Kg/cm^2
2 3 4 1
- 1
A
O n
P
m C
^0
1
2 Kg/cm^2 4 Kg/cm^2
2 3 4 1
- 1
60 B
Otra solución: Los pasos 1, 2 y 3 iguales, lo mismo los pasos 6 y 7. El paso 4 puede ser: Por 4, trazo CP paralela al plano sobre el cual actúa el esfuerzo 4,0. El paso 5, obtener con CP el polo P y listo.
Ejercicio 11.3. Obtener gráfica y analíticamente 1 , 2 y de la figura:
A
O (^) C m n
0
0
2 Kg/cm^2
4 Kg/cm^2
- 1
B
4
2
- 1
=1 Kg/cm^2
**- 1
0
P A41 B1
Solución gráfica.
Sitúo en el plano los puntos A (4,-1) y B (2,1), que son las caras A y B. Los signos, > 0 en compresión y > 0 en sentido retrógrado.
El diámetro y el radio, gráficamente son definibles, a partir de A y B.
Por A, trazo AP paralela a la cara A, para obtener el polo P. (Este paso también puede ser: Por B trazo BP paralela a la cara B).
Uno P 1 y P 3. Estas son dos rectas paralelas a los planos principales sobre los que actúan 1 y 3 , de magnitudes ya conocidas.
En el círculo ya se lee PC = 2 y P 2 1 =
Dibujo el elemento de suelo, con , 1 , 2 de acuerdo al círculo de Mohr obtenido.
Solución analítica
Con las ecuaciones 11.12, 11.13, 11.14, tenemos:
tg
tg
ar ar
x y
xy
m n
52
3 1 4 41 Kg/cm 2
(^1) 3 159 Kg/cm 2
6 2
11 1 5 ; 2
11 1
R O
Z 2 4 6 8 10
0
2,
5,
**- 2,
3^ 1
P 0 0 V( v,
H( h, )
A O B^
(^3) 1
(^)
v
h
0 0
V
Con t = V = 8,25 obtengo VV’
Por la simetría del círculo, existen dos puntos con diferente . Escojo V con < 0.
Con VP horizonte, obtengo P (polo).
Con PH al horizonte obtengo H. Se lee h = 3,6; = 4,
Uniendo P con A y B obtengo los planos principales. El ángulo , de Vi con X:
i actúa sobre el plano BP. Luego = ángulo BAP = ar tg 4 ,^5 3 , 6 1 , 0 60
Ejercicio 11.5. Con la figura, las cargas normales aplicadas en las caras de un cubo de suelo son F 1 = 45 Kg y F 2 = 30 Kg; las cargas cortantes son F 3 = F 4 = 10 Kg. La arista de suelo es de 40 mm.
Construya el círculo de Mohr de los esfuerzos totales y obtenga los planos y esfuerzos.
1
3
v
h
60
11 Ton/m 8,25 Ton/m 2 2
3,6 Ton/m^2
1 Ton/m^2
Z
v
3
h
1
Solución
Se definen los ejes X y Z de la figura y se tienen como base la dirección de F 1 , F 2 , F 3 , F 4.
Luego se calculan x F^2 gA 183 , 9 KNm 2 ; z F^1 gA 275 , 9 KNm 2 y el cortante
xz zx F^3 gA 611 , 3 KNm 2. xz < 0 por el sentido negativo y zx > 0 por el sentido retrógrado.
El polo P se localiza desde (z; zx) y el plano principal mayor genera = 26° con X.
Ejercicio 10.6 Partiendo de los esfuerzos totales del cubo del ejercicio anterior, y conociendo que la presión de poros es U = 50 KN m 2 , construya el círculo de Mohr de
los esfuerzos efectivos. Dibuje el polo en el nuevo círculo, de esfuerzos efectivos, y dibuje los cubos sobre cuales caen los esfuerzos efectivos normales y cortantes.
Solución: El agua no asume resistencia al corte. xz = zx = 61,3 KN m 2.
Además, OO’ = U = 50 KN m 2.
P’ se desplaza hacia atrás 50 KN m 2.
’x = x – U = 183,9 – 50 = 133,9 KN m 2
’z = z – U = 275,9 – 50 = 225,9 KN m 2
100
50
0,
**- 50
- 100 0 50 100 150 200 250 300 350**
154 346
3 1
z =275, zx=61,
x=183, xz = - 61,
P. principal menor
eje x
eje z
F 1 F 4
F 2
F 3
F 1
100
50
0,
**- 50
- 100** (^050 100 150 200 250 300 )
154 346
3 1
eje z
U 50
P U P
3 1
xz x´ x´
z´
z´
xz
zx
zx
Z
X
2 ´
2 ´
1 ´
1 ´
Z
(^26) X
Ejercicio 10.8. Dado el plano B con los esfuerzos x, y, xy en KPa (150, 50 y 50); calcular , el polo, 1 , 2 y su orientación.
arctg
arctg
x y
xy
Fórmula 11.
R KPa
R KPa
x y
x y
3
1
CÍRCULO DE MOHR PARA VARIOS ESTADOS DE ESFUERZOS REPRESENTATIVOS.
Los suelos soportan, por lo general, esfuerzos de compresión; sin embargo, los suelos cohesivos pueden presentar alguna resistencia a la tracción. La figura 11.6 presenta una serie de círculos de Mohr que representan varios estados de esfuerzos.
Tracción
A B C D E
Compresión
Envolvente de Mohr
A
C
Círculo de Mohr A: Tracción B:Cortante puro C:Compresión pura D, E: Esfuerzos biaxiales
B
D,E
Figura 11.6 Estados de esfuerzos soportados por materiales.
3 O 1
Kpa) B
Y=
1 3
x= xy=
100
P
45 (^) (Kpa)
3 1
B
R 502
a) Estado triaxial, 1 > 2 > 3 > 0
3 1
max
1
3
2
max^1 ^ ^3
(^) b) Estado triaxial, 1 > 2 = 0 > 3
max
2
max^1 ^ ^3
c) Suelo cohesivo (arcilla) = ’ + U
3 1
Tangente Totales
U
C (^) 3 1
Efectivos
d) Suelo friccionante (arena) = ’ + U f
3 1
Totales
U
C (^) 3 ^1
Efectivos
f
1
e) Plano de falla F: (U = 0)
3 ´
1 ´
Plano de falla
F
C^
3^ 1
Paralela al plano de falla
c tan
f) El origen de los planos es el polo P
O
Polo
1
1
max
P
( ,
3
2 90 ^1 ^ ^3
x
x
3
g) Envolvente de debilitamiento (roca) A = Tracción uniaxial B = Compresión uniaxial C = Compresión triaxial
B
3 C 1 Tracción Compresión
T
T
C
1 3
C
A
Figura 1 1 .7 Otros estados y situaciones de interés.
ANEXO
Manual de Geología para ingenieros (2003) Rev. 2014.
Gonzalo Duque-Escobar. Universidad Nacional de Colombia http://www.bdigital.unal.edu.co/1572/
Presentación
Contenido
Cap01 Ciclo geológico
Cap02 Materia y Energía
Cap03 El sistema Solar
Cap04 La Tierra sólida y fluida
Cap05 Los minerales
Cap06 Vulcanismo
Cap07 Rocas ígneas
Cap08 Intemperismo ó meteorización
Cap09 Rocas sedimentarias
Cap10 Tiempo geológico
Cap11 Geología estructural Cap12 Macizo rocoso Cap13 Rocas Metamórficas Cap14 Montañas y teorías orogénicas Cap15 Sismos Cap16 Movimientos masales Cap17 Aguas superficiales Cap18 Aguas subterráneas Cap19 Glaciares y desiertos Cap20 Geomorfología Lecturas complementarias Bibliografía
Anexo 1: Túnel Manizales http://www.bdigital.unal.edu.co/2046/
Anexo 2: Mecánica de los suelos http://www.bdigital.unal.edu.co/1864/
Anexo 3: Gestión del riesgo http://galeon.com/manualgeo/riesgo.pdf
Anexo 4: La Luna http://www.bdigital.unal.edu.co/1663/
Anexo 5: Economía para el constructor http://www.bdigital.unal.edu.co/1698/
El Autor Gonzalo Duque-Escobar http://godues.webs.com
HOME http://www.bdigital.unal.edu.co/
Index: http://galeon.com/geomecanica
