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Progresiones Geom´etricas
Una sucesi´on a 1 , a 2 , a 3 , ..., an, ... es una progresi´on geom´etrica si y s´olo si si existe un n´umero real r 6 = 0 tal que an+ an^ =^ r para todo entero positivo n.
Nota 1 (^) Al n´umero r se le llama raz´on com´un, raz´on de la progresi´on o simplemente raz´on.
Con la anterior f´ormula podemos obtener en foma recursiva los t´erminos de la progresi´on. As´ı,
an+1 = an · r Haciendo algunas transformaciones algebraicas, obtenemos
a 1 , a 1 r, a 1 r^2 , a 1 r^3 , a 1 r^4 , ... De donde, el en´esimo t´ermino de la progresi´on esta dada por la f´ormula:
an = a 1 · rn−^1 Esta f´ormula nos dice que un t´ermino cualquiera es igual al primer t´ermino multiplicado por la raz´on ele- vada a un potencia igual al n´umero de t´erminos que lo preceden.
es 3 y en que la raz´^ Ejemplo 1 Hallar los cinco primeros t´ on es −^1 erminos y el d´ecimo t´ermino de la progresi´on cuyo primer t´ermino
Soluci´on:
Si a 1 = 3 y r = −^12 , entonces los cinco primeros t´erminos son
a 2 = a 1 · r = 3 · (−^12 ) = −^32 ,
a 3 = a 1 · r^2 = 3 · (−^12 )^2 = 34 ,
a 4 = a 1 · r^3 = 3 · (−^12 )^3 = −^38 y
a 5 = a 1 · r^4 = 3 · (−^12 )^4 = 163.
La progresi´on buscada es:
3 , −^32 , 34 , −^38 , 163
Para hallar el t´ermino a 10 usamos la f´ormula an = a 1 · rn−^1 , obtenemos
a 10 = 3(−^12 )^9 = 512 −^3. Finalmente,
www.matebrunca.com Profesor Waldo M´arquez Gonz´alez
a 10 = − 5123
Ejemplo 2 Encuentre el s´ eptimo t´ermino de la progresi´on geom´etrica: 2, 6, 18, ...
Soluci´on:
Encontraremos a 7 , con r = 62 = 3
a 7 = a 1 · r^6 = 2 · 36 = 1458.
Nota 2 (^) Cuando los t´erminos de la progresi´on son alternativamente positivo y negativo, la raz´on sera un n´umero negativo.
t´^ Ejemplo 3 Si el tercer t´ermino. ermino de una progresi´on geom´etrica es 5 y el sexto t´ermino es -40, hallar el octavo
Soluci´on:
Tenemos a 3 = 5 y a 6 = − 40. Si sustituimos por n=3 y n=6 en la f´ormula an = a 1 · rn−^1 obtendremos el sistema: { 5 = a 1 r^2 −40 = a 1 r^5
Como r 6 = 0, despejamos en la primera ecuaci´on y: a 1 = (^) r^52.
Susitituimos en la segunda ecuaci´on a a 1 ,
−40 = (^) r^52 · r^5 = 5r^3.
Por tanto, r^3 = − 8 y r = − 2. con este valor encontramos a 1 , sustituyendo adecuadamente.
a 1 = 54.
De aqui el trabajo de encontrar a 8 es meramente mec´anico.
a 8 = a 1 · r^7 = 54 (−2)^7 = − 160
Ejemplo 4 El sexto t´ ermino de una progresi´on geom´etrica es 161 y la raz´on 12. Hallar el primer t´ermino.
Soluci´on:
Aqui, a 6 = 161 y r = 12.
Despejando en la f´ormula a 6 = a 1 · r^5
a 1 = a r^65 ,
- el primer t´ermino si el 5 to^ t´ermino de una P.G. es 12516 y el 6 to^ t´ermino 62532.
- la raz´on de la P.G.:2,...,64, de 6 t´erminos. R/r=2.
- la raz´on de la P.G.: 13 , ..., 243 , de 7 t´erminos.
- la raz´on de la P.G.: -5,...,640, de 8 t´erminos.
- la raz´on de la P.G.: 7292 , ..., 32 , de 6 t´erminos.
- la raz´on de la P.G.: 8 , ..., 5121 , de 7 t´erminos.
- la raz´on de la P.G.: 62516 , ..., 1 , de 5 t´erminos.
- la raz´on si el 8 vo^ t´ermino de una P.G. es − 812 y el 1 er^ t´ermino es 2764.
Nota 3 (^) En toda progresi´on geom´etrica en que el n´umero de t´erminos es un n´umero par el producto de dos t´erminos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos de la progresi´on. Cuando el n´umero de t´erminos es impar, el producto de dos t´erminos equidistantes es igual al t´ermino central al cuadrado de la progresi´on.
Interpolaci´on de Medios Geom´etricos
Se trata aqui de formar un progresi´on geom´etrica, conociendo el valor del primer y del ´ultimo t´ermino.
De la formula an = a 1 · rn−^1 , despejamos r, obteniendo
r = n−^1
√ (^) an a 1
Ejemplo 6 Interpolar 4 medios geom´ etricos entre 96 y 3.
Soluci´on:
Debemos formar una progresi´on geom´etrica: 96 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , 3.
Primero hallaremos la raz´on: r = n−^ √^1 a an 1
r = 6 −^1 √ (^3) 96 =^5
√ (^1) 32 =^12 Si la raz´on es 12 , podemos obtener a 2.
a 2 = a 1 r = 96 · 12 = 48, seguimos con a 3 ;
a 3 = a 1 · r^2 = 96 · (^12 )^2 = 24, continuamos con a 4 ;
a 4 = a 1 · r^3 = 96 · (^12 )^3 = 12, finalmente hallamos a 5 ;
a 5 = a 1 · r^4 = 96 · (^12 )^4 = 6.
Por tanto, la P.G. buscada es: 96, 48, 24, 12, 6, 3.
La Suma Parcial n-´esima de una Progresi´on Geom´etrica
La n-´esima suma parcial de una progresi´on geom´etrica, cuyo primer t´ermino es a 1 y su raz´on com´un es r 6 = 1, es
Sn = a 1 (1^ −^ r
n)
^1 −^ r
de la manera siguiente: 1, 0.3, 0.09, 0.027,...^ Ejemplo 7 Determinar la suma de los primeros cinco t´ erminos de la progresi´on geom´etrica que empieza
Soluci´on:
Tenemos aqui: a 1 = 1, r = 0, 3 y n = 5.
S 5 = 1 · (1− 1 −(0 0 ,3), 3 5 )= 1, 4251.
Ejercicios No 2
Interpolar:
- 3 medios geom´etricos entre 5 y 3125.
- 4 medios geom´etricos entre -7 y -224.
- 5 medios geom´etricos entre 128 y 2.
- 4 medios geom´etricos entre 412 y 1627.
- 6 medios geom´etricos entre 2 y 341164.
- 4 medios geom´etricos entre 49 y 25627.
- 7 medios geom´etricos entre 8 y 321.
- 6 medios geom´etricos entre 2 y 641.
- 4 medios geom´etricos entre 243 y 321.
- 7 medios geom´etricos entre 10 y 100.
matem´atico. Sin embargo, en la pr´actica diremos que la suma es 8.
Ejemplo 9 Encuentre la suma de la P.G.: 5, − 23 , 209 ,...
Soluci´on:
Aqu´ı a 1 = 5 y r = − 103 , por consiguiente;
S = 1 a−^1 r = (^1) −(^5 − 103 ) = 3^1113 , finalmente, S = 3^1113 , es la suma de la P.G.
Ejemplo 10 Hallar el n´ umero racional que representa el decimal 0 , 333333 ...
Soluci´on:
0 , 33333 ... = 103 + 1003 + 10003 + ...
Aqu´ı, a 1 = 103 y r = 101 , luego.
S = (^1) −^103 101 = (^13)
Por consiguiente, 13 = 0, 33333 ...
Ejemplo 11 Hallar el n´ umero racional equivalente a 0.315151515....
Soluci´on:
0 , 315151515 .... = 103 + 100015 + 10000015 + ...
Despues del t´ermino 103 se presenta una P.G. infinita con a 1 = 100015 y r = 1001 , luego. S = (^11000) −^15 1001 = 661 ,
si efectuamos, 103 + 661 = 16552 ;
Finalmente, 0 , 31515 ... = 16552.
Ejercicios No 3
Hallar la suma de las P.G. infinitas siguientes:
- 2, 12 , 18 ,...
- 12 , 16 , 181 ,...
- -5, -2, − 54 ,...
- -4, − 38 , − 916 ,...
Determine por la suma al infinito, el valor de los n´umeros racionales correspondiente a los decimales sigu- ientes:
- 0.6666...
- 0.121212...
- 0.159159...
- 0.3232...
- 0.144144...
- 0.35555...
- 0181111...
- 0.3181818...
- 2.18181818....
- 3.427272727...
EJERCICIOS TE ´ORICOS
- El quinto t´ermino de una P.G. es 81 y el segundo 24. Escribir la progresi´on.
- La suma de una P.G. de raz´on 3 es 728 y el ´ultimo t´ermino es 486. Encuentre el primer t´ermino y la P.G. correspondiente. R/a 1 = 2, 6, 18, 54, 162, 486.
- En una P.G. el primer t´ermino es 7, el ´ultimo 448, y la suma 889. Determine la raz´on.
- Hallar el sexto t´ermino de la P.G. cuyos dos primeros t´erminos son 4 y 6. R/^2438.
- Obtenga el s´eptimo t´ermino de la P.G. cuyos segundo y tercer t´ermino son 2 y −√ 2 , respectivamente. R/−√ 4 2.
- En una P.G. a 5 = 16 y r = 32. Determine a 1 y S 5. R/a 1 = 811 y S 5 = 1296211.
- Dada una P.G. en la que a 4 = 4 y a 7 = 12, encuentre r y a 10. R/r = √^33 y a 10 = 36.
- La suma de tres n´umeros en P.G. es 216, y la suma de los productos que resultan tomados dos a dos es 156. Hallar los n´umeros.
- Se deja caer una pelota de goma desde una altura de 10 metros. Si rebota aproximadamente la mitad de la distancia en cada ca´ıda, use una progresi´on geom´etrica infinita para calcular aproximadamente la distancia total que recorre la pelota antes de detenerse. R/30m.
- Se deja caer una pelota de golf desde una altura de 6 metros. Su centro alcanza cada vez 23 de la altura desde la cual cay´o la vez anterior. ¿Qu´e distancia ha recorrido en el instante que golpea el suelo por s´eptima vez? R/27,89 metros.
- Se deja caer una pelota de golf desde una altura de 6 metros. Su centro alcanza cada vez 23 de la altura desde la cual cay´o la vez anterior. Hallar el l´ımite de la distancia recorrida por el centro de la pelota hasta quedar en reposo. R/30 m.
- El disco de un p´endulo se balancea en un arco de 24 cm de largo en su primera oscilaci´on. Si cada balanceo sucesivo es de aproximadamente cinco sextos de la longitud del anterior, use una progresi´on geom´etrica para determinar la distancia total aproximada que recorre antes de detenerse.
- En la figura se indica un ´arbol geneal´ogico que muestra tres generaciones anteriores y un total de 12 antecesores. Si usted tuviera que trazar su historia familiar hasta 10 generaciones atr´as. ¿ Cu´antos ancestros encontrar´ıa usted?
Bibliograf´ıa
[1] Baldor, Aurelio. Algebra Elemental. [2] Bardell, Ross H. y Abraham Spitzbart. Algebra Superior. [3] Hall, H. S. y S. R. Knight. Algebra Superior. [4] Kalnin, R.A. Algebra y Funciones Elementales. [5] Lidski, V. B. y otros. Problemas de Matem´aticas Elementales. [6] Swokowski, Earl W. Algebra y Trigonmetr´ıa con Geometr´ıa Anal´ıtica.
