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ETSI Minas de la Universidad Politécnica de Madrid EJERCICIOS PROPUESTOS: Interpolación
1º. Determínese el polinomio de primer grado que en x 0 = 1 toma el valor 2 y en x 1 = 2 toma el valor 0. Para ello:
a) Escríbase el sistema de ecuaciones lineales que proporciona los valores de los coeficientes del polinomio b) Resuélvase el sistema anterior y escríbase el polinomio. c) Dibújese el polinomio (en el intervalo de dibujo de abscisas [0, 3]).
2º. Determínese el polinomio interpolador de Lagrange de la función f: x Æ10 – 11·x + 3·x^2 sobre el soporte {1, 2}. Para ello:
a) Escríbase el sistema de ecuaciones lineales que proporciona los valores de los coeficientes del polinomio b) Resuélvase el sistema anterior y escríbase el polinomio. c) Dibújese la función f(x) y su polinomio (en el intervalo de dibujo de abscisas [0, 3]).
3º. Determínese el polinomio interpolador de Lagrange de la función f: x Æ2 + x - x^2 sobre el soporte {1, 2}. Para ello:
a) Escríbase el sistema de ecuaciones lineales que proporciona los valores de los coeficientes del polinomio b) Resuélvase el sistema anterior y escríbase el polinomio. c) Dibújese la función f(x) y su polinomio (en el intervalo de dibujo de abscisas [0, 3]).
4.. Determínese el polinomio interpolador de Lagrange de la función f: x Æx·ex sobre el soporte {-1, 1, 2}. Para ello:
a) Escríbase el sistema de ecuaciones lineales que proporciona los valores de los coeficientes del polinomio b) Resuélvase el sistema anterior y escríbase el polinomio. c) Dibújese la función f(x) y su polinomio (en el intervalo de dibujo de abscisas [-2, 3]).
5.. Determínese el polinomio interpolador de Lagrange de la función f: x Æ2 + x - x^2 sobre el soporte {-1, 1, 2}. Para ello:
ETSI Minas de la Universidad Politécnica de Madrid a) Escríbase el sistema de ecuaciones lineales que proporciona los valores de los coeficientes del polinomio b) Resuélvase el sistema anterior y escríbase el polinomio. c) Dibújese la función f(x) y su polinomio (en el intervalo de dibujo de abscisas [-2, 3]).
- RAZONA la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) Dado un soporte de (n+1) puntos distintos y una función f(x) sólo existe un polinomio de grado menor o igual que n que interpole en el sentido de Lagrange a la función f(x). b) Si una función f(x) tiene una expresión polinómica de grado menor o igual que n, entonces el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) sobre cualquier soporte formado por (n+1) puntos distintos es la propia función f(x). c) Dado un soporte de (n+1) puntos distintos, un mismo polinomio de grado menor o igual que n puede ser el polinomio interpolador de Lagrange de distintas funciones (f(x), g(x), h(x) , ….) sobre dicho soporte. d) Los polinomios interpoladores de Lagrange de una función f(x) sobre soportes diferentes con distinto número de puntos, no tienen por qué coincidir (aunque podría ocurrir que fuesen el mismo polinomio)^1. e) Los polinomios interpoladores de Lagrange de una función f(x) sobre soportes diferentes con el mismo número de puntos, no tienen por qué coincidir (aunque podría ocurrir que fuesen el mismo polinomio)^2.
7º. Determínese el polinomio interpolador de Lagrange de la función f: x Æ10 – 11·x + 3·x^2 sobre el soporte {1, 2}. Para ello:
d) Determínense los polinomios de base de Lagrange L 0 (x) y L 1 (x) e) Dibújense ambos polinomios de base (en el tramo de abscisas [0, 3]). f) Exprésese el polinomio interpolador de Lagrange de f(x) en función de los polinomios de base de Lagrange. g) Dibújese la función f(x) y su polinomio (en el intervalo de dibujo de abscisas [0, 3]).
8º. Determínese el polinomio interpolador de Lagrange de la función f: x Æ10 – 11·x + 3·x^2 sobre el soporte {1, 2, 3}. Para ello:
a) Determínense los polinomios de base de Lagrange L 0 (x), L 1 (x) y L 2 (x). b) Dibújense ambos polinomios de base (en el tramo de abscisas [0, 3]). c) Exprésese el polinomio interpolador de Lagrange de f(x) en función de los polinomios de base de Lagrange.
(^1) En el caso de que pienses que en alguna situación los polinomios pueden coincidir, indica en qué casos sucedería y pon un ejemplo de ello. (^2) En el caso de que pienses que en alguna situación los polinomios pueden coincidir, indica en qué casos sucedería y pon un ejemplo de ello.
ETSI Minas de la Universidad Politécnica de Madrid f) Con ayuda de MAPLE, dibújense en una misma gráfica y en colores distintos la función f(x) y su polinomio interpolador(en el intervalo de dibujo de abscisas [-4, 4]). g) Con ayuda de MAPLE, dibújese la función de error absoluto de interpolación ( |f(x) – p(x) | ) (en el intervalo de dibujo de abscisas [-4, 4]).
14º. Dada la función f(x) y los (n+1) puntos de soporte {s 0 , s 1 , s 2 , …., sn }, escribir un programa que:
a) Calcule la tabla de diferencias divididas b) Use la tabla anterior para calcular el polinomio interpolador de f(x) sobre el soporte dado, p(x), utilizando la fórmula de Newton. c) Calcule la función de error absoluto de interpolación |f(x) – p(x)| d) Dibuje en el intervalo de abscisas [s 0 , s 1 ] la función f(x) y su polinomio interpolador p(x) en una misma gráfica. e) Dibuje la función de error absoluto de interpolación en el intervalo de abscisas [s 0 , s 1 ] Utilizar como función f(x) y como soporte los especificados en el ejercicio nº 13. AYUDA: Si realizas el programa en MAPLE consultar en la ayuda de MAPLE el uso de las instrucciones unapply, add y mul.
15º. Dada la función f(x) y los (n+1) puntos de soporte {s 0 , s 1 , s 2 , …., sn }, escribir un programa que:
a) Calcule la tabla de diferencias finitas progresivas b) Calcule la tabla de diferencias finitas regresivas.
16º. Determínese, utilizando diferencias finitas progresivas, el polinomio interpolador de Lagrange de la función f: x Æ10 – 11·x + 3·x^4 sobre el soporte {0, 1, 2, 3}. Para ello:
a) Determínense la tabla de diferencias finitas progresivas b) Exprésese el polinomio interpolador de Lagrange de f(x) mediante la fórmula de Newton – Gregory progresiva (modificación de la fórmula de Newton usando diferencias finitas progresivas). c) Dibújese la función f(x) y su polinomio (en el intervalo de dibujo de abscisas [-1, 4]).
17º. Repítase el ejercicio anterior considerando ahora el soporte {-1, 0, 1, 2, 3}.
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18º. Utilícese la fórmula de interpolación en diferencias finitas regresivas para calcular el valor exacto y expresado sólo en función de “n” del sumatorio.
n 2 i 1
(i 2)·(i 1)
∑ −^ −
Para ello:
a) Determínense el número de puntos necesarios para que el polinomio interpolador que se obtenga con un soporte equidistante que incluya ese número de puntos coincida con la expresión buscada al evaluarse para valores enteros. b) Calcúlese el polinomio correspondiente c) Dibújese, con ayuda de MAPLE, en una misma gráfica los puntos cuya abscisa son los valores 1, 2, 3, ….., 10 y cuya ordenada está dada por el valor del sumatorio anterior para esos valores de n, así como el grafo del polinomio interpolador en el intervalo [0, 10].
19º. Considérese el problema de hallar un polinomio de grado menor o igual que 4 tal que en la abscisa s 0 = 1 su primera derivada tome el valor 0.5, en el punto s 1 = 2 su primera derivada tome el valor 0,7 y su segunda derivada el valor -1, y en el punto s 2 = 3 su primera derivada tome el valor 1 y su segunda derivada el valor 0.
Se pide: a) Plantea el sistema de ecuaciones que proporcionaría los coeficientes del polinomio buscado. b) ¿Puede determinarse un único polinomio que satisfaga las condiciones anteriores? En caso afirmativo determínese. En caso negativo ¿Habrá varios polinomios que verifiquen las condiciones exigidas? Si hubiese más de uno justifica los motivos de ello, indica cuantos hay y escribe al menos dos polinomios que satisfagan la condición anterior. Y si crees que no hay ningún polinomio que pueda verificar las condiciones impuestas justifica los motivos que te llevan a esa opinión.
20º. a) Determina la expresión del error de interpolación que se comete al interpolar en el sentido de Lagrange la función f= x → ex·sen(x) en el intervalo [0, 1] con los puntos de soporte: {0, 1/3, 2/3, 1}.
b) Obtén una cota del error de interpolación.
21º. Escribe un programa que permita obtener el polinomio interpolador de Hermite de la función f = x·e-x^ de la que, en los puntos de soporte que se indican a continuación, se tienen los siguientes datos:
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(Sol.: a) 0 ' 8 L (x)^1 x 0 = − y 0 ' 8 L (x) x^0 '^2 1
=^ −
b) p(x) = 0’0291656 – 0’0242081.x
c) [ ] [ ] .(x 1 ' 2 .x 0 ' 2 )
∀x ∈ 0 ' 2 , 1 ∃c∈ 0 ' 2 , 1 /E(x)=(^32 .c−^16 ).e−(^4 .c+^2 )^2 − + d) E( x)≤ 0 ' 046702 )
25º. Siendo L 0 (x), L 1 (x), ..., Ln (x) los polinomios de base de Lagrange asociados al soporte {x 0 , x 1 , ..., xn } y siendo m un entero tal que m ≤ n, demostrar que se
verifica: m
n i 0 i m
=∑x^ i^ .L(x)=x ∀x^ ∈^ [^ x^0 ,xn]
26º. Siendo f(x) = 2.x.e-(4.x+2)^ y considerando en el intervalo [0’2, 1] los puntos x 0 = 0’2, x 1 = 0’6 y x 2 = 1, se pide: a) Determinar los polinomios de base de Lagrange sobre el soporte {x 0 , x 1 , x 2 }. b) Determinar el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) sobre el soporte { x 0 , x 1 , x 2 }. c) Escribir la expresión del error de interpolación. d) Determinar una cota del error de interpolación.
(Sol.: a) 0 ' 32 L(x) x^21 '^6 .x^0 '^6 0
= −^ + ,
L(x) x^21 '^2 .x^0 '^2 1 = − −^ + y
L (x) x^20 '^8 .x^0 '^12 2
= −^ +
b) p(x) = -5’75.10-4^ .x^2 – 0’0235178.x + 0’
c) x [ 0 ' 2 , 1 ] c [ 0 ' 2 , 1 ] /E(x) (^96128 .c 6 ).e .(x 0 ' 2 ).(x 0 ' 6 ).(x 1 )
( 4 .c 2 ) ∀ ∈ ∃ ∈ = − − − −
− +
d) E( x)≤ 0 ' 0175762 )
27º. Sea f(x) = sen(5.x+2). Siendo x 0 = 0 , 20 x 1 = Π, 10 x 2 = Π, se pide:
a) Determinar los polinomios de base de Lagrange sobre el soporte {x 0 , x 1 , x 2 }. b) Determinar el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) sobre el soporte { x 0 , x 1 , x 2 }. c) Escribir la expresión del error de interpolación. d) Hallar una cota del error de interpolación.
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(Sol.: a) 200
.x 20
x^3. L (x) 2
2 2 (^0) Π
= = 2002 .x^230 .x+ 1 Π
.x 10 x L (x) 2
2 (^1) Π
= = 4002 .x^240 .x Π
− y
.x 20 x L (x) 2
2 (^2) Π
= = 2002 .x^210 .x Π
b) p(x) = -4’139368771.x^2 – 2’918599072.x + 0’ c) ⎟ ⎠ ⎜ ⎞ ⎝ ⎟⎛^ −Π ⎠ ⎜ ⎞ ⎝ =− + ⎛^ −Π ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ∃ ∈⎡^ Π ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ∀ ∈⎡^ Π 6 .x.x 20 .x 10 /E(x)^125 .cos(^5 .c^2 ) x 0 , 10 c 0 , 10
d) E( x)≤ 0 ' 03107896215 )
28º. Calcular los polinomios de base de Lagrange para el soporte de interpolación formado por los puntos {1’2, 2’4, 4’6, 5’0, 5’7, 6’3}. (Sol.: L 0 (x) = 5’5709 – 6’5081.x + 2’9189.x^2 – 0’6350.x^3 + 0’0675.x^4 – 0’0028.x^5 L 1 (x) = -11’2194+17’7815.x–9’3918.x^2 +2’2643.x^3 -0’2581.x^4 +0’0113.x^5 L 2 (x)=92’4219–164’8962.x +102’5526.x 2 –28’5950.x^3 +3’6818.x^4 –0’1787.x^5 L 3 (x)= -132’2840 + 238’3176.x – 150’4287.x 2 + 42’7520.x^3 - 5’6169.x^4 +0’2781.x^5 L 4 (x)=60’8264–111’0765.x +71’5991.x 2 –20’9308.x^3 +2’8423.x^4 –0’1458.x^5 L 5 (x)=-14’3158+26’3817.x –17’2501.x 2 +5’1444.x^3 -0’7166.x^4 +0’0379.x^5 )
29º. Demostrar que siendo Li (x) el i-ésimo polinomio de base de Lagrange, se verifica la siguiente expresión:
(x x). '(x)
L(x) (x) i i
i (^) − Π
donde: (^) ∏( )
n j 0
(x) x xj
30º. Hallar el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) = cos(x) en
el soporte {0, 2
Π Π Π}. Hallar el valor del polinomio en el punto x = 1 y
comparar con el resultado exacto. Compárese el error real con la cota del error de interpolación.
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33º. Utilizar la tabla de diferencias divididas de la función f(x) = x^5 en el soporte formado por los puntos {-2, -1, 0, 1, 2} para calcular el polinomio interpolador de Lagrange de dicha función. (Sol.: x 0 = -2 - 31 x 1 = -1 -1 - 1 5 x 2 = 0 0 0 0 1 5 x 3 = 1 1 15 31 x 4 = 2 32
p(x) = -32 + 31.(x+2) – 15.(x+2).(x+1) + 5.(x+2).(x+1).x )
34º. Si f(x) es una función de clase Cn([a, b]) y suponiendo que todos los puntos del soporte {x 0 , x 1 , ..., xn} pertenecen al intervalo [a, b] y son distintos entre sí, demostrar que:
[ ] [ ]
n! a,b/fx ,x,...,x f(n( ) 0 1 n ∃ξ∈ =^ ξ
35º. Demostrar que siendo {x 0 , x 1 , ..., xn,x} un soporte de (n+2) puntos distintos y siendo p(x) el polinomio interpolador de Lagrange de una función f(x) sobre el soporte {x 0 , x 1 , ..., xn}, el error de interpolación en el punto x verifica la expresión:
= − = [ ] ∏ −
=
n i 0
E(x) f(x) p(x) fx 0 ,x 1 ,...,xn,x. (x xi)
36º. Siendo f(x) = x , y siendo {x 0 , x 1 , ..., xn} un soporte de interpolación se desea saber cual es el valor de la diferencia dividida f[x 0 , x 1 , ..., xn ] cuando: a) n es estrictamente mayor que k b) n es igual a k (Sol.: a) f[x 0 , x 1 , ..., xn ]= 0 b) f[x 0 , x 1 , ..., xn] = 1 )
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37º. Evaluar en función de n la expresión: (^) ∑
n i 0
i^3.
(Sol.: 2 3 4
n i 0
(^3) .n 4 .n^1 2 .n^1 4 i =^1 + + ∑ =
38º. Evaluar en función de n la expresión: (^) ∑ −
−
(n 1 ) i 0
i.( n i).
(Sol.: (n n) 6
(n 1 )i.( n i) (^13) i 0
∑ − =^ −
−
39º. Hallar el polinomio interpolador de Lagrange y una cota del error de interpolación que se comete al interpolar en [0,2] la función f(x) = x^4 con los siguientes soportes: a) {0, 1, 2} b) {0, 0’5, 1, 2} c) {0, 0’5, 1, 1’5, 2} NOTA: En el desarrollo de este ejercicio será necesario resolver la ecuación: 4.x^3 – 10’5.x^2 + 7.x – 1 = 0 Una raíz de dicha ecuación está en el intervalo [0,2] y es 1’663175. (Sol.: a) p 2 (x) = 7.x^2 – 6.x, |E(x)| < 3’ b) p 3 (x) = 3’5.x^3 – 3’5.x^2 + x, |E(x)| < 0’ c) p 4 (x) = x^4 , E(x) = 0 )
40º. El censo de población de una determinada ciudad proporciona los siguientes datos del número de habitantes en diferentes años:
AÑO 1.910 1.930 1.950 1.970 1. POBLACIÓN 125.350 133.420 117.183 120.323 145.
Se pide:
a) Hallar un polinomio interpolador de Lagrange que interpole a la función de evolución de la población en esta ciudad con los datos anteriores. b) Estimar la población existente en el año 1.964.
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(Sol.: a) x 0 = 0 3 1’ x 1 = 2 6 0 1’5 0’ x 2 = 5 10’5 3 13’ x 3 = 6 24
p(x) = 0’5.x^3 – 3’5.x^2 + 6’5.x + 3
b) p(4) = 5 )
44º. Sea f(x) = x^2 .cos(5.x+2) y considérese el soporte ⎭
0 ,. Se pide:
a) Determinar los polinomios de base de Lagrange sobre el soporte anterior y representarlos gráficamente. b) Determinar el polinomio interpolador de Lagrange de f(x) sobre el soporte anterior.
c) Al soporte dado se le añade el punto 6
Π (^). Evaluar el nuevo polinomio
interpolador.
(Sol.:a) (^2)
2 2 0 L (x)^6 .x^5. .x Π
2
2 1 L (x)^18 .x^9. .x Π
= − −^ Π y
2
2 2 L (x)^12 .x^4. .x Π
b) p 2 ( x)^38 '^3601402 .x^214 '^692867 .x Π
c) p 3 (x)^152 '^181963 .x^388 '^458162 .x^210 '^670794 .x Π
45º. Sea el soporte {0, 0’6, 2} y sea la función (^) ⎟ ⎠
f (x)= e−^ x^ +cos^4 .x. Se pide:
a) Calcular y representar gráficamente los polinomios de base de Lagrange asociados al soporte anterior. b) Sabiendo que los valores de la función en el soporte son: f(0) = 2, f(0’6) = 1’2709251 y f(2) = -0’ calcular el polinomio interpolador de Lagrange.
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c) Al soporte anterior se le añade el punto 1’4. Calcúlese el nuevo polinomio interpolador de Lagrange.
(Sol.: a) 1 ' 2 L (x) x^22 '^6 .x^1 '^2 0
= −^ + ,
L (x) x^22 .x 1 = −^ − y 2 ' 8 L (x) x^20 '^6 .x 2
=^ −
b) p 2 (x) = -0’09374996.x^2 – 1’1588749.x + c) p(x) = 0’2342095.x^3 –0’702694.x^2 – 0’87782356.x + 2 )
46º. De una función se conoce la siguiente tabla de valores:
x 0 1 2 3 4 f(x) 2 3’086 7’524 20’135 54’ Se pide: a) Encontrar el polinomio interpolador de Lagrange de f(x) sobre el soporte dado utilizando para ello diferencias finitas progresivas. b) Indicar la expresión del error de interpolación sabiendo que f(x) = e-x^ + ex.
(Sol.: a) p(x) = 2 – 1’202.x + 3’3336667.x^2 – 1’4155.x^3 + 0’3698333.x^4. b) x [ 0 , 4 ] c [ 0 , 4 ] /E(x) e 120 e .(x 5 10 .x^435 .x^350 .x^224 .x)
c c ∀ ∈ ∃ ∈ = + − + − +
− )
47º. Siendo f(x) = e-x^ +cos(x), y designando por p(x) al polinomio interpolador de
Lagrange de f(x) sobre el soporte ⎭
0 , , indica cual de las siguientes
opciones recoge una cota del error de interpolación cometido. En el caso de que varias opciones expresen una cota de dicho error, señala únicamente la que, de entre ellas, sea menor: a) |f(x)-p(x)| < 0’138350. 0’ b) |f(x)-p(x)| < 0’166667. 0’ c) |f(x)-p(x)| < 0’138350. 0’ d) |f(x)-p(x)| < 0’166667. 0’ (Sol.: La única cota del error de interpolación es la dada en la opción d).
48º. Sea f(m) la función definida sobre el conjunto de números enteros no negativos mediante la expresión:
= (^) ∑ −
m i 0
f(m) i^2 .(m i)^2
Hállese el polinomio interpolador de Lagrange de dicha función:
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50º. El polinomio interpolador de Lagrange de la función (^) ⎟ ⎠
f(x)= cos^4 .x−Π
sobre el soporte {0, 1} está dado por p(x) = 0’5403 + 0’4226.x. Señala, entre las opciones siguientes cuál de ellas recoge una cota del error de interpolación en el intervalo [0, 1]. En el caso de haber más de un valor que pueda ser cota del error, señala la más pequeña de las posibles cotas. a) 1’ b) 0’ c) 0’ d) 0’ (Sol.: La opción correcta es la recogida como b) ).
51º. De una función f(x) se conocen los siguientes valores: x -1 0 1 3 4 f(x) 7 1 -1 -41 - Se pide obtener mediante la fórmula de Newton un polinomio de grado menor o igual que 4 que interpole a la función f(x) en el soporte {-1,0,1,3, 4}. (Sol.: p(x) = 1 + x + x^2 – 5.x^3 + x^4 )
52º. Se considera la función f(x) = sen(x) en el intervalo [0,π/2] para el soporte {0, π/4, π/2}. Se pide: a) Calcular una cota de error de Lagrange. b) Calcular dicha cota de error si se actuara con un soporte de Chebyshev de 3 puntos. Dicho soporte se obtiene mediante las expresiones:
i x a^ b^ b^ a^ cos 2.i^1 (i 0,1,2,...,n) 2 2 2.n 2 π
+ − ⎛⎜^ + ⎞⎟
(Para 3 puntos n=2)
53º. Sea f(x) = sen(5x+2). Trabajando en el intervalo [0,π/10] y siendo x 0 =0 y x 1 = π/10, se pide:
a) Encontrar el polinomio interpolador de Hermite de primer orden de f(x) en el soporte {x 0 ,x 1 }.
b) Hallar una cota del error de interpolación
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54º. Considera una función T(x) que describe la distribución de temperaturas (T) en una barra conductora (considerada unidimensional), en función de la coordenada espacial x.
a) Se desea estimar, mediante interpolación de Lagrange, la temperatura en el punto de abscisa x=0.5, sabiendo que en los puntos del soporte {x=0, x=1, x=2} la temperatura toma los valores {1/2, 1/(2·e) , 1/(2e^4 )}. Obtén el polinomio interpolador a) utilizando la fórmula de Lagrange, b) utilizando la fórmula de Newton y c) utilizando la fórmula de Newton- Gregory.
b) Sabiendo que la distribución de temperaturas responde a la expresión T(x) 1 .ex^2 2
= − ¿qué error se ha cometido en la determinación de la
temperatura en x = 0.5 con respecto al valor exacto?
55º. Se considera la función f(x)=sen(x) con x perteneciente al intervalo [0,π/2]. Se pide: a) Calcula los polinomios de base de Lagrange para el soporte formado por los puntos: 0, , 4 2
⎧⎪⎪ (^) π π ⎫⎪⎪ ⎨⎪ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎪⎭
y represéntalos gráficamente.
b) Obtén el polinomio interpolador de Lagrange, a partir de los polinomios de base de Lagrange. c) Obtén la expresión del polinomio interpolador de Lagrange mediante la fórmula de Newton. d) Evalúa el polinomio interpolador en el punto x=π/6 y determina el error que se comete con respecto al valor exacto.
