Problemas resueltos de ondas y sonido, Ejercicios de Física

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PROBLEMAS RESUELTOS

DE ONDAS y SONIDO

Antonio J. Barbero, Mariano Hernández,

Alfonso Calera, José González

Departamento Física Aplicada. UCLM

CURSO 2011 - 2012

Calcular:

a) La frecuencia, el periodo, la longitud de la onda y la velocidad de propagación.

b) El estado de vibración, velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0,2 m en el instante t = 0,3 s.

c) Diferencia de fase entre dos puntos separados 0,3 m.

y  0. 2 sin  6  t  x   / 4 

PROBLEMA 1. Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación (en unidades S.I.)

a) Ecuación de la forma (^) y  x , t   A sin  t  kx   

Se propaga en sentido

negativo del eje X

2 m 2 m

2 6 rad/s 3 Hz 1 0 .333 s

• 1

   

  

k

f f T f

6 m/s



 

k

c

b) Para x = 0.2 m, t = 0.3 s.

y  0. 2 sin  6   0 .3   0 .2  / 4 ^0.^2 sin^7.^069 ^ ^0.^1414 m

Velocidad  0. 2  6  cos 6 t  x   / 4 

dt

dy

0. 2 36 sin  6 / 4 

2

2

2

    t  x  

dt

d y

Aceleración

 0. 2  6  cos  7. 069   2. 666 m/s

2 2  0. 2  36  cos 7. 069  50. 25 m/s

c) Diferencia de fase entre dos puntos separados  x = 0.3 m

1

  t  x  

2

  t   x   

1. 3 rad 2 1

PROBLEMA 3. El nivel de presión L P

de una onda sonora se define como

siendo p rms

el valor rms de la onda de presión en el punto considerado.

Un diapasón vibra con una frecuencia de 275. 2 Hz. Una persona que oye la nota

emitida por el mismo percibe un nivel de presión de 64 dB. Calcular la longitud de

onda, escribir la ecuación de onda y determinar la intensidad de la onda en W/m

2 .

Densidad del aire  = 1,29 g/litro. Velocidad de propagación del sonido v = 344 m/s.

Longitud de onda: cálculo a partir de f

T

v  ·



 

f

v

 ^1.^25 m

4

donde 210 Pa

 5   ref

p

/  ·

2

I p v

rms

Relación entre la intensidad en W/m  

2 y la presión en Pa:

Amplitud de la onda sonora 

















pref

p

L

rms

P 10

20 log 











 (^10)  5 2 · 10

64 20 log

rms

p

3. 2

20

64

2 · 10

log (^10 )  













rms

p

• 3 3 3

m

kg

1. 29

10 m

10 kg   1. 29 g/litro 1. 29 

2 · 10 · 10 3. 17 · 10 Pa

 5 3. 2  2   rms

p

/ 20 · 10

P ref

L

rms

p  p

Intensidad (W/m

2 )

Cálculo de  y k ^ ^2^ ^ f ^2^  ^275.^2 ^550.^4^  ^1729.^1 rad/s

• 1

5. 0 m

v

k

k

v

 

p p 2 cos( kx t )

rms

3. 17 2 · 10 cos( 5. 0 550. 4 )

2

p  x  t



2

v

p

I

rms



  6 2

2 2

2. 26 · 10 W/m





I  

Ecuación de onda

















 

















ref pref

p

p

p

L

rms rms

P 10

2

10

10 log 20 log

X

Un diapasón montado sobre una caja de resonancia se golpea con un martillete

emitiendo una onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s y alcanza un

receptor. Considerando que la onda que alcanza el receptor es una onda plana, se

pide:

a) Si la sobrepresión máxima producida por la onda sonora en el receptor es igual

a p 0

• 4 Pa, escribir la ecuación de la onda viajera, explicando la elección que

se haga para la fase inicial, y calcular su longitud de onda.

b) La intensidad del sonido en función de la presión está dada por la relación

indicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe el

receptor. ¿Cuáles son sus unidades en el S.I? 2

2

0

v

p

I



c) Tomando como intensidad de referencia I 0

• 12 W/m

2 , calcular el nivel de intensidad en dB.

d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB

mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?

Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento:  = 1.22 kg/m

3

PROBLEMA 4

Ayuda

a) Onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s. Sobrepresión máxima en el receptor p 0

• 4 Pa.

p  x , t   p cos kx   t    0

k

v





• 1

3. 6 m

 

 

   

v

f

v

k

  2  f  2   612  1224  rad/s

1. 555 m



 



k

 ,  2 10 cos 3. 6 1224  ( enPa)

4

p xt    x  t p



Elegimos como punto inicial el momento

en que la presión pasa por un máximo

    0 0

p 0 , 0  p cos   p   0

Suponemos que se propaga de izquierda a derecha

Longitud de onda 0. 555 m



 



k

Ayuda: La velocidad del sonido en un gas está dada en función de la temperatura absoluta T por la expresión:

Datos: masa molecular del aire: Constante de los gases: Coeficiente adiabático:

donde g es el coeficiente adiabático y M es la masa molecular del gas.

PROBLEMA 5 Un diapasón emite un tono puro de frecuencia 440 Hz, que es percibido por un receptor con un nivel de

presión sonora de 60 dB. Sabiendo que el nivel de presión sonora está dado por , donde el nivel de referencia

de presión es p ref

= 2 · 10

• 6 Pa, y sabiendo que el aire circundante se encuentra a 27 ºC, se pide:

a) Determinar la longitud de onda de este tono.

M  0. 0289 kg·mol

-1 - R  8. 314 J·K ·mol

M

R T v

g 

g  1. 40

b) Escribir la ecuación de la onda sonora, especificando su amplitud (en Pa), su número de ondas y su frecuencia angular.

c) Suponiendo que la temperatura del aire se redujese hasta 0 ºC, ¿qué variaciones sufrirían la frecuencia angular y la longitud de

onda?

60 dB

2 · 10

20 log 6

0

10 









  

p

L P

3

2 · 10

log 6

0 













p

Relación entre la velocidad de propagación,

la frecuencia y la longitud de onda

a) Longitud de onda de este tono: calculamos primero la velocidad de propagación.

M

R T

v

g

 347. 6 m/s

1. 0289

1 .4· 8. 314 · 300

 

v   · f 0. 79 m

440

347. 6

  

f

v



b) Ecuación de la onda: p ^ x ,^ t ^ ^ p 0 cos^ kx ^ t 

Cálculo de la amplitud p 0

:

(Suponemos fase inicial nula y desplazamiento x )

Número de ondas y frecuencia angular:

1 2 / 2 / 0. 79 7. 95 m

 k      

1 2 · 2 · 440 2764. 6 rad·s

    f   

 ,  2 · 10 cos 7. 95 2764. 6   Pa

3 p xt  x  t



c) El cambio de temperatura del aire supone un cambio en las propiedades elásticas del medio de transmisión de la onda, y

por tanto un cambio en la velocidad de propagación. Como la frecuencia de la onda emitida no cambia, ya que ésta

depende del ritmo de vibración del diapasón, la frecuencia angular no cambiará respecto al cálculo anterior. Pero puesto

que la velocidad de propagación sí cambia, deberá cambiar la longitud de onda. Los nuevos valores son:

M

R T

v



 

g

331. 6 m/s

332. 0289

1 .4· 8. 314 · 273

 ^0.^75 m

440

331. 6

 



 (^) 

f

v



2 · 10 · 10 2 · 10 Pa

6 3 3

0

  p  

  P ref

L p p 10 0

 20 log

Un silbato que emite una frecuencia de 4300 Hz produce una onda cuyo valor máximo de presión por

encima de la presión ambiental es 4  10

• 2 Pa. Esta onda se propaga a 344 m/s en el aire.

PROBLEMA 6

a) Escribir la ecuación de onda. Determinar la longitud de onda.

b) ¿Cuál es el nivel de presión sonora?. Presión de referencia p ref

• 5 Pa.

a) Ecuación de onda: consideramos una onda plana en el sentido creciente del eje X y tomamos el origen de

modo que la fase inicial sea cero.

    en Pa, en m, ens 0

, cos ,

0

p xt  p kx  t p p x t

k

v





  2  f  2   4300  8600  Hz

• 1 25 m

344



 

  

v

k 0. 08 m

25



 



k

 ,  410 cos 25 8600  (Pa)

2

pxt    x  t



b) Nivel de presión sonora. Presión de referencia p ref

• 5 Pa. Presión rms: p rms

= p 0

• 2 Pa

ref pref

p

p

p

L

rms rms

P 10

2

10

10 log 20 log^63 dB

210

20 log 5

2

10





El nivel de intensidad de la sirena de un barco, percibido por un marinero en la cubierta a 10

metros de distancia de la misma, es de 70 dB.

Determinar (a) el nivel de intensidad a 1 km de distancia; (b) la distancia a la cual la sirena dejará

de ser audible; (c) la presión rms de la onda sonora a la distancia a la que la sirena deja de ser

audible. Umbral de percepción de intensidad I 0

= 10

• 12 W·m - 2 ; densidad del aire 1. 20 kg.m - 3 ;

velocidad del sonido 338 m/s.

10 log 70 dB

0

1

1

 

I

I

L I

0

2

2

10 log

I

I

L I



A 10 m de distancia (punto 1)

A 1 km de distancia (punto 2) 

0

1

0

2

2 1

10 log log

I

I

I

I

L L

I I

1

2 10 log

I

I

 (^70) 2

I

L

La intensidad de las ondas

sonoras es inversamente

proporcional al cuadrado de la

distancia a la fuente (suponemos

propagación isótropa)

2

2

2

1

1

2

r

r

I

I



 

4

6

2

2 3

2

10

10

10

10

(^10) 

   70 10 log 10 70 40 30 dB

4

2



I

L

La distancia r 0

a la que la sirena deja de ser

audible es aquella a la intensidad de la onda se

hace igual al límite de percepción I 0

= 10

• 12 W·m - 2

2

1

2

0

0

1

r

r

I

I



0

1

0 1

I

I

r  r 31600 m

12

5





12 7 5 -

1

10 · 10 10 W·m

  I  

Intensidad de la

onda en cubierta

c

p

I

rms

·

2





Relación entre la

intensidad y la

presión rms de la

onda sonora

  0 0

p · c · I rms

 

1. 29 · 344 · 10 2 · 10 Pa

 12  5  

Umbral de

presión = 20 Pa

PROBLEMA 8

Una fuente sonora isótropa produce un nivel de intensidad de 65 dB a 1 m de distancia. Las

condiciones ambientales son densidad del aire 1. 27 kg.m

• 3 y velocidad del sonido 340 m/s.

Calcular (a) la potencia emitida por la fuente; (b) el valor máximo de la presión de la onda sonora

a 2 m de la fuente ¿Cuál es el valor rms correspondiente?. Umbral de percepción de intensidad I 0

= 10

• 12 W·m - 2 .

10 log 65 dB

0

1

1

 

I

I

L I

12 6. 5 5. 5 -2 6 -

1

10 · 10 10 W·m 3. 16 · 10 W·m

   log 6. 5 I   

0

1 

I

I Intensidad a 1 m de la fuente

La intensidad a 1 m de la fuente es la

potencia emitida repartida sobre la

superficie de una esfera de radio r 1

= 1 m.

2

1

1 4 r

W

I







2

1 1

W  I · 4 r

4 · 3. 16 · 10 W 4 · 10 W

 6  5 W   



Para determinar la presión de la onda sonora calculamos la intensidad a r 2

= 2 m de la fuente.

La intensidad de las ondas

sonoras es inversamente

proporcional al cuadrado

de la distancia a la fuente

2

2

2

1

1

2

r

r

I

I

 2

2

2

1

2 1

r

r

I  I

7 - 2

5. 5

2

2

5. 5
6. 91 · 10 W·m





   

c

p

I

m

2 ·

2





Relación entre la

intensidad y la

presión máxima

de la onda sonora

  2 2

p 2 · c · I m

  2 · 1. 27 · 340 · 7. 91 · 10 2. 61 · 10 Pa

 7  2  

m

rms

p

p 

En una función senoidal la relación

entre valor máximo y valor rms es

1. 85 · 10 Pa

2

2. 61 · 10 Pa 2

2





 

PROBLEMA 9

PROBLEMA 11. La ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda viene dada por:

Calcular:

a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación.

b) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerda

c) Admitiendo que esta onda se propaga a lo largo de una cuerda fija por

ambos extremos, ¿cuál será la ecuación de la onda estacionaria resultante de

la interferencia de la onda dada con la onda reflejada en el otro extremo y

que se propaga en sentido contrario?.

y  0. 06 sin  0. 40  x  50 t  (UnidadesS.I.)











 











   

2

cos

2

sin sin 2 sin

A B A B A B

Ayuda

a) Se trata de una onda viajera en el sentido negativo del eje X

• 1

0. 40 m

50 rad/s



 

k

2 0. 40 m 2 0. 40 5 m

2 50 rad/s 2 25 Hz 1 0. 04 s

• 1

     

    

k

f f T f

Velocidad de propagación 125 m/s



 

k

c

b) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerda.

 

 x t 

dt

d y x t

0. 05 50 cos 0. 40 50

       2. 5  cos 0. 40  x  50 t  (m/s)

d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria

c) Admitiendo que esta onda se propaga a lo largo de una cuerda fija por

ambos extremos, ¿cuál será la ecuación de la onda estacionaria resultante de

la interferencia de la onda dada con la onda reflejada en el otro extremo y

que se propaga en sentido contrario?.











 











   

2

cos

2

sin sin 2 sin

A B A B A B

Ayuda

d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria

PROBLEMA 11 (continuación)

c) La onda que se propaga en sentido contrario es y^ ^ x , t ^0.^05 sin^ kx t  2

y  x , t  0. 05 sin kx t  2

y  x , t  0. 05 sin k x t  1

    0. 05 sin k x cos  t  0. 05 cos kx sin t

La superposición de las dos, llamando y 1

( x , t ) a la primera, es: 50  rad/s

1. 40  m

Se invierte la fase

de la onda reflejada

 0. 05 sin k x cos  t  0. 05 cos kx sin  t

y  x , t  y  x , t  0. 10 cos kx sin t 1 2

y  x , t  y  x , t  0. 10 cos 0. 40 x  sin 50 t ^ Onda estacionaria 1 2

Suma:

Procedimiento alternativo: usando la relación trigonométrica (^) 









 

^ 









   

2

cos

2

sin sin 2 sin

A B A B A B

A  B  2  t

A  B  2 k x

A  kx   t

y  x , t  0. 05 sin kx t  B  kx   t 2

y  x , t  0. 05 sin kx t  1

y  x , t  y  x , t  0. 05 sin kx t  0. 05 sin kx t  0. 10 cos kx sin t 1 2

y  x , t  y  x , t  0. 10 cos 0. 40 x  sin 50 t  1 2

d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria es igual que la distancia entre dos

nodos consecutivos (puntos donde la amplitud es nula)

Cuando n = 1 →

cos  0. 40  x   (^00). 40  x   2 n  1   / 2

Cuando n = 0 →

Hay un nodo si (^) ( n entero)

n

x

Posiciones de los nodos n

1. 25 m

0

x 

3. 75 m

1

x 

Distancia entre vientres = distancia entre nodos = 2. 5 m

x  x 

(Véase que es la mitad de la longitud

de onda de las ondas que interfieren)