Teoría de la Estimación Estadística
Francisco Marzal Baró
Curso 2016/17
Fundamentos Estadísticos
Versión 1
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Probabilidad y estadística, Esquemas y mapas conceptuales de Probabilidad
Es material de estudio para examenes
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
2023/2024
1 / 26
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Teoría de la Estimación Estadística
Francisco Marzal Baró
Curso 201
Fundamentos Estadísticos
Versión 1
^ Conceptos básicos.^ Distribución muestral. Teorema central del límite. ^ Teoría de la Estimación:^ Estimación puntual^ ^
Error cuadrático medio
^
Criterios de Evaluación de estimadores
^ Estimación por intervalos^
Intervalo de probabilidad. Intervalo de confianza. ¿Desviación estándar, error estándar, intervalo de normalidad o deconfianza? Cálculo del tamaño de muestra.
Índice
Tª de la Estimación
NOTA: Algunos gráficos y tablas están sacados del libro: Métodos Estadísticos. J.M. Doménech Massons
.
^ Distribución muestral
: Es la distribución de frecuencias
de los valores que puede tomar el estadístico a lo largo detodas
las
posibles
muestras
de
un
mismo
tamaño
n,
extraídas aleatoriamente de la población.^ ^
El azar hace fluctuar las medias alrededor de la media poblacional. La
media
de
la
distribución
muestral
coincide
con
la
media
de
la
población. Al aumentar el tamaño n de las muestras se obtienen medias más parecidas a
μ^
y disminuye la variabilidad de la distribución muestral.
(La
precisión aumenta con el tamaño de la muestra). Si las muestras son grandes, las gráficas son simétricas respecto al ejevertical.
^ Error estándar (EE ó SE):
Se denomina así a la desviación
estándar de la distribución muestral. El responsable es el erroraleatorio, debido al azar, es imposible de controlar.^ ^
Mide la desviación absoluta del valor verdadero desconocido. Distribución muestral.
Tª de la Estimación
n=10 n=20 n=
^ “Aunque
las
muestras
procedan
de
una
distribución
NO
normal,
la
distribución
de
la
variable media, cuando es el promedio de unnúmero
suficiente
grande
de
observaciones
independientes
x,i
se
aproxima
de
forma
satisfactoria a una ley normal”. ^ Condiciones:^ Var. Cuantitativas: A efectos prácticos, muchos^ autores
consideran
el^
promedio
muestral
como
normalmente
distribuido
a
partir
de
n=30,
(s olo es válido para asimetrías moderadas).
^ Var. Categóricas:
nπ ≥
5
y
n(1-
π)
≥^
5.
Teorema central del límite.
Tª de la Estimación
siendo
: n: nº de sujetos.^ π
: proporción de una variable.
^ Consiste en
hallar con determinada precisión el valor de un parámetro
a partir
de la información contenida en una muestra representativa de la población. Los valores que puede tomar el parámetro desconocido son infinitos. El error es inherente al proceso de medida.^ ^
Por el azar. ^ Defectos del instrumento de medida. ^ Imposible tener datos exactos con una muestra.
¿Cómo hacer la estimación?
^ Estimación
puntual
:^
Estimación
del
parámetro
mediante
un
único
valor.
Ej:
Media
muestral. Es improbable que el valor calculado coincida con el verdadero valor delparámetro. Estimación por intervalos
: Es la estimación del parámetro por dos números entre los
cuales se puede considerar que se encuentra el valor verdadero. Se conoce como precisión (e)
, y refleja el error de muestreo.
Tª de la Estimación
Teoría de la Estimación Estadística
^ Una estimación puntual de un parámetro poblacional desconocido (μ ,
σ^
,…), es un
número
que
se
utiliza
para
aproximar
el
verdadero
valor
de
dicho
parámetro
poblacional. Si la
muestra
es
representativa
de
la
población,
podemos
esperar
que
los
estadísticos calculados en las muestras tengan valores semejantes a los parámetrospoblacionales. La estimación consiste en asignar los valores de los estadísticosmuestrales a los parámetros poblacionales. Los estadísticos con que obtenemos las estimaciones se denominan
estimadores.
^ Ejemplo:
^
Se dispone de 100 notas seleccionadas aleatoriamente. Se desea estimar la Media de lasnotas del curso. La Media de la muestra (el estimador), es igual a 5.6 y atribuimos este valor(la estimación) a la Media del colegio.
Tª de la Estimación
Estimación puntual
^ NO todos los estimadores son apropiados. Los estimadores deben satisfacer ciertosrequisitos, y por esta razón, interesa conocer algunos criterios a fin de utilizar los quesean adecuados según las circunstancias de la estimación. ^ Criterios de evaluación de los estimadores:
^
Sin sesgo: Cuando el valor de la media de la distribución muestral coincide con el verdaderovalor del parámetro.
Ej: La Media es un estimador insesgado ; La Variancia es un estimador sesgado.
^
Eficiente: Entre varios estimadores sin sesgo de un mismo parámetro, el más eficiente es elque tiene el error estándar más pequeño (mínima variancia).
^
Consistente: A medida que aumenta el tamaño de la muestra, el valor del estimador tiendehacia el verdadero valor del parámetro.
Ej: La
̅^? -"
^ son estimadores consistentes.
^
Suficiente: Ningún otro estimador puede suministrar más información sobre el parámetro.
^
Ej: Estimador
(proporción observada):
*^
@ @AB
es un estimador sin sesgo, consistente, eficiente
y suficiente del parámetro
Tª de la Estimación
Criterios de evaluación de los estimadores:
(Fischer, 1970)
^ (IP
α),
permite
predecir,
con
un
riego
α
de
equivocación,
el
intervalo
en
el
cual
estará
contenida
la
media
(o
proporción)
observada en una
muestra de tamaño n
extraída al azar de una
población normal. Riesgo de error
α^
(valor arbitrario). Consenso: 5% (
α=0.05)
^ C
D/
: Constante correspondiente a la ley Normal estandarizada. ^ Desvío: Representado por
épsilon
(ε ). Indica la magnitud del error de
muestreo.
F^
CD/
^ Intervalo: Es simétrico. Cuanto más estrecho más informativo, pero^ mayor probabilidad de error.
HI 1 1 K:
L F
^ Unidades: las mismas que la variable X. ^ Condiciones de aplicación:
^ Población distribuida según la ley normal, o ^ Condición de Muestra grande.
Tª de la Estimación
Intervalo de probabilidad (IP 1-
α
)
(intervalo de predicción)
α/21-α
0.2550%
0.1080%
0.0590%
0.02595%
0.00599%
0.000599.9%
Zα/
Tª de la Estimación
Intervalo de confianza (IC 1-
α
)
Para poblaciones infinitas
9U ≫ W:
Para poblaciones finitas
(muestreo sin reposición)
De una media
9:
̅^ $
L
& 1 1; K/
$ √&
Condición:- Distrib. Normal en la población.- Muestra grande
& Y 30.
̅^ $
L
& 1 1; K/
$ 2 ∙ &^
[ 1 &[ 1 1
De unaproporción
9:
*$
L \
K/
*$
91 1 *$:
&
Condición:^ *
Y 5? &
^
Y 5
*$^
] 0.
Y 5? &91 1 *^
: Y 5^
*$
L \
K/
*$
91 1 *$:
&^
[ 1 &∙ [ 1 1
De una mediana
9 $ #: (para distribuciones
asimétricas)
1º Ordenar los valores.2º Calcular el nº de orden de los límites superior e inferior. Se realiza aproximandoel resultado conseguido con las siguientes fórmulas:
%_`
&^12
\
K^2 /
∙^
& 2
a
1 5
& 2 5
\K
(^2) / ∙^
& 2
Tª de la Estimación
Intervalo de confianza
H 1 1 K
.
Tª de la Estimación
Ejercicio Intervalo de Confianza.
α/21-α
0.2550%
0.1080%
0.0590%
0.02595%
0.00599%
0.000599.9%
Zα/
^ La Dirección de la empresa anterior quiere que calculéis la estimación delIC al 95% y al 99%.
Datos:
n
344 ; *
b^
^ IC 95%: ^ IC 99%: ^ Comparar los tres intervalos calculados:
IC 90%
0.721 a 0.
IC 95%IC 99%
^ α
es un valor arbitrario. ^ Una vez establecido el riesgo
α
que asumimos, no conviene cambiarlo
durante el estudio. Si se cambia las conclusiones no serán homogéneas. Si el riesgo
α
es excesivamente pequeño, incluyendo casos extremos poco
probables, provoca un aumento de la amplitud del intervalo, perdiendopotencia del estudio. Aumentando el número de la muestra, aumentala precisión del IC. La amplitud del IC también depende del nivel de confianza asumido. Sidisminuimos el nivel de confianza, disminuye el intervalo
(es una falsa imagen
de mayor precisión).
Tª de la Estimación
Puntualizaciones
^ Son procedimientos para elegir una parte de la población. ^ Para poder realizar la inferencia estadística, la muestra elegida debe serrepresentativa de la población. ^ Requisitos:
^ Basadas en el azar. ^ Calcular la magnitud del error estándar producido por el muestreo. ^ Obtención de muestras representativas de la población. ^ La
precisión
aumenta,
incrementando
el
números
de
sujetos
en
la
muestra.
Tª de la Estimación
Técnicas de muestreo
^ Cuando se diseña un estudio, se trata de calcular el tamaño n que tiene quetener la muestra para estimar el estadístico buscado con la precisión
ε^
deseada.
^ La variancia
^ y la proporción
de la población suelen ser desconocidas, se
sustituyen por información obtenida de estudios previos o del estudio piloto. Error absoluto o precisión
9F:
. Se debe considerar:
^
El rango de variación de la variable.
ε^ debe ser pequeño respecto al intervalo que contiene la
mayor parte de los datos ( desviación estándar,…).
^
El propósito del estudio.
Tª de la Estimación
Cálculo del tamaño de muestra (para un diseño de encuesta basado en una muestra aleatoria simple)
Estimación para poblaciones infinitas
Media
&^
D/
∙ F
Proporción
&^
D/
91 1 :∙
F