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INTRODUCCIÓN A^ LA^ PROBABILIDAD
Un experimento es una situación que da lugar a uno o varios resultados identificables. La probabilidad pertenece a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios , o sea, regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no se tiene la certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado y la extracción de una carta de un paquete de cartas. De aquí en adelante, cada vez que decimos experimento nos referimos a un experimento aleatorio.
CONCEPTOS BÁSICOS
A continuación les presentamos algunas definiciones de conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. Evento - Llamamos evento a cualquier conjunto de uno o más resultados u observaciones de un experimento. Ejemplo 1: Obtener un 5 al realizar el experimento de lanzar al azar un dado de seis caras balanceado (todas las caras del dado son igualmente probables). De aquí en adelante, de no especificar otro tipo de dado nos referimos a un dado balanceado. Para el siguiente ejemplo entendamos que tradicionalmente decimos cara cuando obtenemos el lado de la moneda americana que contiene la imagen de un presidente y al otro lado lo llamamos cruz.
Ejemplo 2: Obtener una cara y una cruz en el experimento de lanzar dos monedas americanas, ambas al azar. Notemos que se obtiene el 5 en el dado de una sola forma, pero una cara y una cruz en dos monedas hay dos formas distintas de obtenerse (cara-cruz y cruz- cara). O sea, que en el ejemplo 1 el evento consta de una sola observación posible y en el ejemplo 2 el evento consta de dos observaciones posibles. Evento Simple - Llamamos evento simple a cualquier evento que consta de un solo resultado u observación de un experimento. Ejemplo 3: Obtener un 3 al lanzar un dado al azar es un evento simple pues ocurre de una sola forma. Ejemplo 4: Obtener un número impar al lanzar un dado al azar no es un evento simple pues ocurre de más de una forma, pues puede ser 1, 3 ó 5. Espacio Muestral - El espacio muestral de un experimento es el conjunto que contiene solamente a todos los eventos simples posibles. De aquí en adelante utilizaremos la letra S para referirnos al espacio muestral. Ejemplo 5: Halle el espacio muestral de lanzar al azar un dado. Respuesta: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ejemplo 6: Halle el espacio muestral de lanzar al azar dos monedas americanas. Respuesta: S = {(cara-cara), (cara-cruz), (cruz-cara), (cruz-cruz)}
DEFINICIONES DE PROBABILIDAD
La probabilidad de que ocurra un evento se mide por un número entre cero y uno, inclusive. Si un evento nunca ocurre, su probabilidad asociada es cero, mientras que si ocurriese siempre su probabilidad sería igual a uno. Así, las probabilidades suelen venir expresadas como decimales, fracciones o porcentajes. En el caso de utilizar fracciones para expresar probabilidades, las mismas pueden ser simplificadas pero no es necesario hacerlo. Existen diferentes formas para definir la probabilidad de un evento basadas en formas distintas de calcular o estimar la probabilidad. A continuación discutiremos tres diferentes enfoques. Seleccionar uno de los tres enfoques dependerá de la naturaleza del problema.
1. Definición Clásica de Laplace, “A Priori” o Teórica El enfoque clásico o " a priori " para definir la probabilidad es proveniente de los juegos de azar. Esta definición es de uso limitado puesto que descansa sobre la base de las siguientes dos condiciones: i. El espacio muestral ( S ) del experimento es finito (su número total de elementos es un número natural n = 1, 2, 3, …). ii. Los resultados del espacio muestral deben ser igualmente probables (tienen la misma posibilidad de ocurrir). Bajo estas condiciones, suponga que realizamos un experimento. El número total de elementos del espacio muestral del experimento es denotado como n ( S ). Dicho de otro modo, n ( S ) representa el número total de eventos simples distintos posibles al realizar un experimento. Además, si A es un evento de este experimento, el número total de elementos del espacio muestral contenidos en A es denotado como n ( A ). Es decir, n ( A ) representa el número total de formas distintas en que A puede ocurrir.
Entonces, la probabilidad de que A ocurra la definimos como
c. de diamante.
Solución: a. Suponga que K es el evento de obtener una carta que sea K , entonce s P ( K ) (^) porque el evento de "extraer una K" consta de 4 de los 52 resultados igualmente probables. b. Suponga que R es el evento de obtener una carta que sea roja, entonce s
P ( R )
porque el evento de "extraer una carta roja" consta de 2 de los 52 resultados igualmente probables. c. Suponga que D es el evento de obtener una carta que sea de diamante, entonces
P ( D )
porque el evento de "extraer una carta de diamante" consta de 13 de los 52 resultados igualmente probables. Ejemplo 9: ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia que tiene tres hijos, haya dos niñas y un niño, si se considera igualmente probable el nacimiento de un niño o niña? Solución: Usando " a " para niña y " o " para niño, el espacio muestra es: S = { aaa , aao , aoa , aoo , oaa , oao , ooa , ooo } por lo que n ( S ) = 8. Definimos el evento A como que haya dos niñas y un niño, entonces A = { aao , aoa , oaa } y n ( A ) = 3. Por lo tanto,
P ( A
P ( A
n ( A )
n ( S )
P ( A ) 0.375 o P ( A ) 37.5% .
n ( K ) 4 1 n ( S ) 52 13
Ejercicios 2: Conteste
- Si usted es una de 7 personas de las cuales seleccionarán una al azar y todas las personas tienen igual probabilidad de ser seleccionada, ¿cuál es la probabilidad de que usted sea seleccionada?
- En un envase hay 2 canicas rojas, 4 negras y 5 blancas. Si seleccionamos al azar una de estas canicas, ¿cuál es la probabilidad de que la canica sea negra?
- La siguiente ruleta circular está dividida en 8 sectores iguales. Si se gira la ruleta aleatoriamente, (Suponga que la aguja no cae en las divisiones.) a. ¿cuál es la probabilidad de que la aguja caiga en un sector marcado con líneas horizontales? b. ¿cuál evento predecirías?
- Dos dados son lanzados al azar, uno rojo y uno blanco. a. Halle la probabilidad de que la suma sea 6. b. ¿Cuál debería ser su predicción para la suma de ambos dados?
- En un grupo de 25 personas hay 16 de ellas casadas y 9 solteras. Si seleccionamos una de estas personas al azar, ¿cuál evento es más probable, soltera o casada?
P( A)
número de veces que ocurrió A
número de veces que se repitió el experimento.
2. Definición Empírica, “A Posteriori”, Experimental o de Frecuencia Relativa La definición clásica se ve limitada a situaciones en las que hay un número finito de resultados igualmente probables. Lamentablemente, hay situaciones prácticas que no son de este tipo y la definición “a priori” no se puede aplicar. Por ejemplo, si se pregunta por la probabilidad de que un paciente se cure mediante cierto tratamiento médico, o la probabilidad de que una determinada máquina produzca artículos defectuosos, entonces no hay forma de introducir resultados igualmente probables. Para responder a estas preguntas podemos utilizar el enfoque empírico, en el cual para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos. La definición empírica se basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de repeticiones del experimento. En otras palabras, la definición empírica se basa número de veces que ocurrió el evento entre el número total de repeticiones del experimento. También se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento un cierto número grande de veces. Si queremos conocer la probabilidad del evento A según este enfoque realizamos el experimento un gran número de veces y contamos cuántas veces A ocurre. Con base en estos resultados reales, P ( A ) se estima de la siguiente forma: Este enfoque de probabilidad no implica ningún supuesto previo de igualdad de probabilidades.
Ejemplo 10: Queremos seleccionar una moneda al azar de un envase que contiene una cantidad desconocida de monedas de 25¢, 10¢, 5¢ y 1¢. Para determinar la probabilidad de cada evento posible, seleccionamos 50 monedas al azar con reemplazo (la moneda seleccionada vuelve a echarse en el envase para la próxima selección) de este envase. La siguiente tabla resume las frecuencias (veces que ocurren) de cada moneda. Según los datos recopilados, si seleccionamos una moneda de este envase, a. ¿cuál es la probabilidad de que sea de 25¢ ?b. ¿cuál es el evento menos probable? c. ¿cuál es el evento que debemos predecir? Respuesta: Notemos que al no conocer el número de monedas de cada clase que hay en el envase, no podemos utilizar la probabilidad clásica para hallar la probabilidad de cada evento posible. Pero, utilizando los resultados anteriores resumidos en la tabla podemos concluir que: a. Si A es el evento de obtener una moneda de 25¢, entonces
P ( A )
b. El evento menos probable es el de menor frecuencia, es decir, obtener una moneda de 1¢. c. El evento que debemos predecir es el más probable, por lo tanto, es el evento de mayor frecuencia, es decir, obtener una moneda de 5¢.
Ley de los Números Grandes Conforme un experimento se repite una y otra vez, la probabilidad de frecuencias relativas de un evento tiende a aproximarse a la probabilidad real. 1 Ejemplo 11: Se conoce que una moneda está cargada. Esto significa que un lado de la moneda se obtiene con mayor frecuencia que el otro lado al lanzarla al azar un número grande de veces. Para determinar la probabilidad de que caiga cara, la moneda se lanza 60 veces al aire, de las cuales 24 veces cayó cara. Si aplicamos la fórmula obtenemos:
P (cara)
P (cara) 0.
P (cara) 40%
Al calcular probabilidades con este método de frecuencias relativas obtenemos una aproximación en vez de un valor exacto. A mayor número de veces que repitamos el experimento, más cerca estará la aproximación del valor real. Esta propiedad se enuncia en forma de teorema, el cual se conoce comúnmente como la ley de los números grandes. Cuando se usa la definición empírica, es importante tomar en cuenta los siguientes aspectos: i. La probabilidad obtenida de esta manera es únicamente una estimación del valor real. ii. Cuanto mayor sea el número de repeticiones del experimento, tanto mejor será la estimación de la probabilidad.
3. Definición Subjetiva Esta definición de probabilidad se diferencia de los dos enfoques anteriores, debido a que tanto el enfoque clásico como el de frecuencia relativa producen valores objetivos de probabilidad. El enfoque subjetivo define la probabilidad de un evento a base del grado de confianza que una persona tiene de que el evento ocurra, teniendo en cuenta toda la evidencia que tiene disponible, fundamentado en la intuición, opiniones, creencias personales y otra información indirecta relevante. Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina también como enfoque personalista. El enfoque subjetivo no depende de la repetitividad de ningún evento y permite calcular la probabilidad de sucesos únicos. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que un edificio colapse ante un terremoto? Este evento puede que ocurra o que nunca ocurra, pero es lógico pensar que no podemos repetir los terremotos un número grande de veces y contar el número de veces que el edificio colapsa para calcular esa probabilidad. Sin embargo, un especialista en el área puede asignar una probabilidad basada en su juicio de toda la información relevante a la que pueda tener acceso. Ejemplo 12: Un analista deportivo afirma que Estados Unidos tiene una probabilidad de 90% de ganar la medalla de oro en baloncesto en las próximas olimpiadas. Notemos que esta probabilidad está basada en la confianza que el analista tiene de que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible. Ejemplo 13: Un paciente le pregunta a su cardiólogo sobre cuánta probabilidad tiene de salir exitosa la operación de corazón abierto que le dijo que tenía que realizarle. Basado en el conocimiento de su condición y la experiencia obtenida al trabajar casos similares, el médico le contestó que tenía un 85% de probabilidad de que la operación sea un éxito.
Ejercicios 4: Escoge la respuesta correcta:
- La probabilidad de que terminen las negociaciones en un conflicto laboral en los próximos dos días es baja. Esto es un ejemplo de probabilidad a. clásica b. empírica c. subjetiva
- En una compañía que produce tornillos se toman 1,000 de ellos para probar su calidad. Se encontró que 7 estaban defectuosos. Por lo tanto, la probabilidad de comprar uno de los tornillos que está compañía produce y que el mismo esté 7 defectuoso es 1, 000 . Esto es un ejemplo de probabilidad a. clásica b. empírica c. subjetiva
- Hay seis participantes en una competencia de canto. A cada uno de ellos se le asigna un número diferente del 1 al 6. Se lanza un dado y el número que se obtenga decide el primer participante para cantar. La probabilidad de que el 1 participante número 4 sea el primero en cantar es probabilidad a. clásica b. empírica c. subjetiva
. Esto es un ejemplo de
- A una profesora universitaria le pregunta uno de sus estudiantes la probabilidad de que él apruebe su curso. La profesora le contestó que un 50%.
De aquí en adelante nos vamos a concentrar en la probabilidad clásica por lo que vamos a presumir, aunque no esté explícito, que el espacio muestral es finito y todos los eventos simples del espacio muestral son igualmente probables. REGLAS DE PROBABILIDAD Dado cualquier evento imaginable, puede ocurrir una de tres cosas:
- es imposible que ocurra.
- es seguro que ocurre.
- la certeza de que ocurra está en un punto intermedio. Por lo tanto, podemos deducir lo siguiente:
- La probabilidad de un evento imposible es 0.
- La probabilidad de un evento que ocurrirá de seguro es 1.
- Para cualquier evento A , la probabilidad de que A ocurra se encuentra entre 0 y 1, inclusive. Es decir, 0
P ( A ) 1.
Ejemplo 14: Al lanzar un dado al azar, la probabilidad de obtener un 7 es 0. Notemos que es imposible que ocurra este evento pues los resultados posibles son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Ejemplo 15: Al lanzar un dado al azar, la probabilidad de obtener un número menor que 7 es 1. Notemos que este evento ocurrirá de seguro pues todos los números posibles son menores de 7. Considerando todo lo discutido anteriormente, podemos deducir que la probabilidad de un evento vacío es 0, ya que no tiene posibilidad de que ocurra. Al evento vacío lo denotamos como
o {
(igual a la notación utilizada para el conjunto nulo o vacío). Además, la probabilidad del espacio muestral S
es 1, ya que tiene todas las posibilidades de ocurrir. Es decir que,
P ( ) 0 y P ( S ) 1.
