Probabilidad Condicional, Independencia y Regla de Bayes: Ejercicios, Ejercicios de Estadística

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Probabilidad Condicional,

Independencia y La Regla

De La Multiplicación,

Regla De Bayes

Docente: Jairo Andres mosquera Ciencias Básicas USB

Eventos mutuamente excluyentes

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen puntos muestrales en común. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes si, cuando un evento ocurre, el otro no puede ocurrir. Por tanto, para que A y B sean mutuamente excluyentes, se requiere que su intersección no contenga ningún punto muestral (no tienen nada en común) si En este caso y la ley de la adición se expresa como sigue:

Probabilidad condicional

Suponga que: En epidemiología, en lugar de estudiar las probabilidades de que una persona de la población general tenga diabetes, podría ser más interesante conocer esta probabilidad en un grupo distinto, como el de las mujeres paisas cuya edad está en el rango de 35 a 50 años, o como el de los hombres caleños cuya edad está entre los 40 y los 60 años. A este tipo de probabilidad se le conoce como probabilidad condicional.

Probabilidad condicional La probabilidad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ya ocurrió algún evento A se llama probabilidad condicional y se denota con P ( B | A ). ( B |A) El símbolo P por lo general se lee como “la probabilidad de que ocurra B, dado que ocurrió A ”, o simplemente, “la probabilidad de B, dado A ”. siempre que P(A) > 0.

Ejemplo

Suponga que tenemos un espacio muestral S constituido por la población

de adultos de una pequeña ciudad que cumplen con los requisitos para

obtener un titulo universitario. Debemos clasificarlos de acuerdo con su

genero y situación laboral. Los datos se presentan en la tabla

Se seleccionara al azar a uno de estos individuos para que realice un viaje

a través del país con el fin de promover las ventajas de establecer

industrias nuevas en la ciudad.

Nos interesaremos en los eventos siguientes:

• (^) M: se elige a un hombre,
• (^) E: el elegido tiene empleo.

Ejercicio

• (^) Suponga que en la población general, hay 51% de hombres y 49% de mujeres, y que las proporciones de hombres y mujeres daltónicos se muestran en la siguiente tabla de probabilidad:
• (^) Si una persona se escoge al azar de entre esta población y se encuentra que es hombre (evento B ), ¿cuál es la probabilidad de que el hombre sea daltónico (evento A )? ¿Cuál es la probabilidad de ser daltónico, dado que la persona es mujer?

Ley de la multiplicación

Mientras que la ley de las suma de probabilidades sirve para calcular la

probabilidad de la unión de dos eventos, la ley de la multiplicación es útil

para calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos. La ley de

la multiplicación se basa en la definición de probabilidad condicional

Para calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos independientes, simplemente se multiplican las probabilidades correspondientes.

Ejemplo

Considere el caso del jefe de una gasolinería que por experiencia sabe que

80% de los clientes usan tarjeta de crédito al pagar la gasolina. ¿Cuál es la

probabilidad de que los dos siguientes clientes paguen la gasolina con

tarjeta de crédito? Sean

• (^) A= e l evento el primer cliente paga con tarjeta de crédito
• (^) B= el evento el segundo cliente paga con tarjeta de crédito

Ejemplo

Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 3 negras, y una segunda bolsa contiene 3 blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera bolsa y se coloca sin verla en la segunda bolsa. Cual es la probabilidad de que ahora se saque una bola negra de la segunda bolsa?

Ejercicio

Una pequeña ciudad dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para emergencias. La probabilidad de que el carro de bomberos este disponible cuando se necesite es 0.98 y la probabilidad de que la ambulancia este disponible cuando se le requiera es 0.92. En el evento de un herido en un incendio, calcule la probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles, suponiendo que operan de forma independiente.

Ejemplo

Considere una fábrica que compra piezas de dos proveedores. Sea A 1 el evento

la pieza proviene del proveedor 1 y A 2 el evento la pieza proviene del

proveedor 2. De las piezas que compra la fábrica, 65% proviene del proveedor 1

y 35% restante proviene del proveedor 2. Por tanto, si toma una pieza

aleatoriamente, le asignará las probabilidades previas P ( A 1)= 0.65 y P ( A 2)=0.35.

La calidad de las piezas compradas varía de acuerdo con el proveedor. Por

experiencia, sabe que la calidad de los dos proveedores es como muestra la

tabla. Si B denota el evento la pieza está buena y M denota el evento la pieza

está mala, la información de la tabla proporciona los siguientes valores de

probabilidad condicional.

Aplicación del teorema de Bayes al ejercicio anterior

Suponga ahora que las piezas de los dos proveedores se emplean en el proceso de fabricación de esta empresa y que una máquina se descompone al tratar de procesar una pieza mala. Dada la información de que la pieza está mala, ¿cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 1 y cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 2?

Teorema de Bayes para mas de dos eventos

Ejemplo

Tres maquinas de cierta planta de ensamble, B 1, B 2 y B 3, montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente. Se sabe por experiencia que 2%, 3% y 2% de los productos ensamblados por cada maquina, respectivamente, tienen defectos. Ahora bien, suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado. a) ¿Cual es la probabilidad de que este defectuoso? b) si se elige al azar un producto y se encuentra que esta defectuoso, ¿cual es la probabilidad de que haya sido ensamblado con la maquina B 3?