6.5 Primera ley de Kepler: la ley de las elipses
Para probar la primera ley de Kepler, desarrollamos una ecuación diferencial
general para la órbita de una partícula en cualquier campo de fuerza isotrópico
central. Luego resolvemos la ecuación orbital para el caso específico de una
ley de fuerza del inverso del cuadrado.
Primero expresamos las ecuaciones diferenciales de movimiento de Newton
usando dos dimensiones polares coordenadas en lugar de tres, recordando de
nuestra discusión anterior que no hay pérdida de se incurre en generalidad
porque el movimiento se limita a un plano. La ecuación de movimiento en
coordenadas polares es:
m¨
r=f
(
r
)
er
donde f (r) es la fuerza isotrópica central que actúa sobre la partícula de masa
m. Es una función sólo de la distancia escalar r al centro de fuerza (por lo tanto,
es isotrópico), y su dirección es a lo largo del vector de radio (por lo tanto, es
central). Como se muestra en las ecuaciones 1.11.9 y 1.11.10, el componente
radial de
¨r es ¨r−r θ2
y la componente transversal es
2˙
r˙
θ+r¨
θ
. Por lo tanto, la
ecuación diferencial de movimiento de componentes es:
m( ¨r−r θ2)=f(r)
m¿
De la última ecuación se sigue que:
d
dt =
(
r2θ
)
=0
ó
r2θ=constante=l
De la ecuación 6.4.6 vemos que
|
l
|
=L
m=
|
r x v
|
Por tanto,
l
es el momento angular por unidad de masa. Su constancia es
simplemente una reafirmación de un hecho que ya sabemos, es decir, que el
momento angular de una partícula es constante cuando se mueve bajo la
acción de una fuerza central.
Dada una cierta función de fuerza radial f (r), podríamos, en teoría, resolver el
par de diferenciales ecuaciones (ecuaciones 6.5.2 a y b) para obtener r y
θ
como funciones de t. A menudo uno está interesado sólo en la trayectoria en el
espacio (la órbita) sin tener en cuenta el tiempo t. Para encontrar la ecuación
de la órbita, utilizamos la variable u definida por:
