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Introducción
a la probabilidad
CONTENIDO
ESTADÍSTICA EN LA PRÁCTICA:
OCEANWIDE SEAFOOD
4.1 EXPERIMENTOS, REGLAS DE
CONTEO Y ASIGNACIÓN
DE PROBABILIDADES
Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones Asignación de probabilidades Probabilidades para el proyecto de KP&L
4.2 EVENTOS Y SUS PROBABILIDADES
4.3 ALGUNAS RELACIONES
BÁSICAS DE
PROBABILIDAD
Complemento de un evento Ley de la adición 4.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL Eventos independientes Ley de la multiplicación 4.5 TEOREMA DE BAYES Método tabular
CAPÍTULO 4
Estadística en la práctica 149
Los gerentes o administradores suelen basar sus decisiones en un análisis de incertidumbre como los siguientes:
1. ¿Qué posibilidades hay de que las ventas disminuyan si los precios aumentan? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que un nuevo método de ensamble mejore la productividad? 3. ¿Qué tan probable es que este proyecto se complete a tiempo? 4. ¿Qué posibilidad hay de que una nueva inversión sea rentable?
Oceanwide Seafood es el principal proveedor de pescado y mariscos de calidad del suroeste de Ohio. La empresa vende más de 90 variedades de mariscos frescos y congela- dos de todo el mundo y prepara cortes especiales según las especificaciones de sus clientes, que incluyen los principa- les restaurantes y minoristas de alimentos en Ohio, Ken- tucky e Indiana. La empresa, fundada en 2005, ha logrado tener éxito al proporcionar un excelente servicio al cliente y mariscos de calidad excepcional. La probabilidad y la información estadística se utilizan para la toma de decisiones operativas y de marketing. Por ejemplo, para seguir la pista del crecimiento de la empresa y establecer los futuros niveles meta de ventas, se utiliza una serie de tiempo que muestra las ventas mensuales. Es- tadísticos como el tamaño medio de los pedidos del cliente y el número medio de días que tarda en hacer los pagos ayudan a identificar a los mejores clientes de la empresa, así como a proporcionar puntos de referencia para el manejo de los problemas de las cuentas por cobrar. Además, los datos sobre los niveles mensuales de inventario se usan en el análisis de la utilidad de operación y las tendencias en las ventas de productos. El análisis de probabilidad ha ayudado a Oceanwide a determinar precios razonables y rentables para sus pro- ductos. Por ejemplo, cuando recibe un pescado entero fresco de uno de sus proveedores, éste se procesa y corta para cumplir con los pedidos de cada cliente. Un atún ente- ro fresco de 100 libras conservado en hielo podría costarle a Oceanwide $500. A simple vista, el costo para la empresa parece ser $500/100 $5 por libra. Sin embargo, debido a la pérdida en la operación de procesamiento y corte, un atún entero de 100 libras no proporcionará 100 libras de producto terminado. Si la operación de procesamiento y corte produce 75% del atún entero, el número de libras de producto terminado disponible para vender a los clientes sería 0.75(100) 75 libras, no 100 libras. En este caso, el costo real del atún para la empresa sería $500/75 $6. por libra. Por tanto, Oceanwide necesitaría determinar un
costo de $6.67 por libra para que el precio que fija a sus clientes sea rentable. Para ayudar a determinar el porcentaje del rendimien- to probable del procesamiento y corte de atún entero, se recabaron datos sobre el rendimiento de una muestra del producto entero. La variable y denota el porcentaje de ren- dimiento del producto. Utilizando los datos, Oceanwide pudo determinar que 5% de las veces dicho rendimiento fue por lo menos de 90%. En la notación de probabilidad condicional, ésta se escribe P ( Y 90% | atún) 0.05; es decir, la probabilidad de que el rendimiento sea por lo me- nos de 90%, teniendo en cuenta que el pescado es un atún, es 0.05. Si Oceanwide estableció el precio de venta del pro- ducto sobre la base de un rendimiento de 90%, la empresa obtendrá un rendimiento menor al esperado 95% de las ve- ces. Como resultado, estaría subestimando su costo por li- bra y también el precio para sus clientes. Otra información de probabilidad condicional para otros porcentajes de ren- dimiento ayudaron a la gerencia a seleccionar un rendi- miento de 70% como base para determinar el costo del atún y el precio que fija para sus clientes. Probabilidades condi- cionales parecidas sobre otros productos del mar permitie- ron establecer porcentajes para fijar precios por rendimiento para cada tipo de producto del mar. En este capítulo usted aprenderá a calcular e interpretar las probabilidades con- dicionales y otras más que son útiles en el proceso de toma de decisiones.
El atún de aleta azul se envía a Oceanwide Seafood casi todos los días. © Gregor Kervina, 2009/Fotografía usada con autorización de Shutterstock.com.
OCEANWIDE SEAFOOD*
SPRINGBORO, OHIO
ESTADÍSTICA en LA PRÁCTICA
- Los autores agradecen a Dale Hartlage, presidente de Oceanwide Seafood Company, por proporcionar este artículo para la sección Es- tadística en la práctica.
4.1 Experimentos, reglas de conteo y asignación de probabilidades 151
REGLA DE CONTEO PARA EXPERIMENTOS DE PASOS MÚLTIPLES Si un experimento se describe como una secuencia de k pasos con n 1 resultados posibles en el primer paso, n 2 resultados posibles en el segundo paso, y así sucesivamente, el nú- mero total de resultados del experimento está dado por ( n 1 ) ( n 2 )... ( nk ).
Considere el primer experimento de la tabla anterior, es decir, el lanzamiento de una mo- neda. La cara que cae hacia arriba, ya sea cara o cruz, determina los resultados del experimento (puntos de la muestra). Si S denota el espacio muestral, se utiliza la siguiente notación para describirlo.
S {cara, cruz}
El espacio muestral para el segundo experimento de la tabla, en el que se selecciona una parte para inspeccionarla, se describe como sigue:
S {defectuosa, sin defectos}
Los dos ejemplos que se acaban de describir tienen dos resultados del experimento (puntos de la muestra). Sin embargo, suponga que se considera el cuarto caso listado en la tabla: el tiro de un dado. Los resultados del experimento posibles, que se definen como el número de pun- tos que tiene la cara superior del dado, son los seis puntos del espacio muestral de este expe- rimento.
S {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones
La identificación y el conteo de los resultados del experimento es un paso necesario en la asig- nación de probabilidades. Ahora se estudiarán tres reglas de conteo útiles.
Experimentos de pasos múltiples La primera regla de conteo se aplica a los experi- mentos de pasos múltiples. Considere un experimento que consiste en lanzar dos monedas. Los resultados se definen en función del patrón de caras y cruces que muestra la cara superior de las dos monedas. ¿Cuántos resultados son posibles para este experimento? El ejemplo de lanzar dos monedas se considera un experimento de dos pasos en el cual el paso 1 es el lanzamiento de la primera moneda y el paso 2 el lanzamiento de la segunda. Si se utiliza H para denotar una cara y T para una cruz, ( H , H ) indica el resultado experimental en el que hay una cara en la primera moneda y una cara en la segunda. Siguiendo esta notación, el espacio muestral ( S ) para este experimento se describe como sigue:
S {( H , H ), ( H , T ), ( T , H ), ( T , T )}
Por tanto, hay cuatro resultados experimentales posibles. En este caso, es fácil listarlos todos. La regla de conteo para experimentos de pasos múltiples permite determinar el número de resultados del experimento sin listarlos.
Si se considera el experimento del lanzamiento de dos monedas como la secuencia de lan- zar primero una moneda ( n 1 2) y luego la otra ( n 2 2), al aplicar la regla de conteo puede verse que (2)(2) 4, por lo que hay cuatro resultados experimentales distintos posibles. Como se mostró, estos resultados son S {( H , H ), ( H , T ), ( T , H ), ( T , T )}. El número de resultados en un experimento que consiste en lanzar seis monedas es (2)(2)(2)(2)(2)(2) 64.
152 Capítulo 4 Introducción a la probabilidad
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que ayuda a visualizar un experimento de pasos múltiples. La figura 4.2 muestra un diagrama de árbol para el experimento del lan- zamiento de dos monedas. La secuencia de pasos va de izquierda a derecha a través del árbol. El paso 1 corresponde al lanzamiento de la primera moneda y el paso 2, al lanzamiento de la segunda. En cada paso, los dos resultados posibles son cara o cruz. Observe que a cada resultado posible del paso 1 le corresponden las dos ramas de los dos resultados posibles del paso 2. Ca- da uno de los puntos en el extremo derecho del árbol representa un resultado experimental. Cada trayectoria que recorre por el árbol desde el nodo que está en el extremo izquierdo hasta uno de los nodos en el extremo derecho es una secuencia única de resultados. Ahora se explicará cómo se utilizan la reglas de conteo para experimentos de pasos múlti- ples mediante el análisis de un proyecto de expansión de Kentucky Power & Light Company (KP&L), el cual tiene la finalidad de incrementar la capacidad de generación de una de sus plan- tas en el norte de Kentucky. El proyecto está dividido en dos etapas o pasos secuenciales: etapa 1 (diseño) y etapa 2 (construcción). Aun cuando cada una se programará y controlará lo más detalladamente posible, la gerencia no puede predecir el tiempo exacto requerido para comple- tar cada etapa. Un análisis de proyectos de construcción similares reveló que la duración posible de la etapa de diseño sería de 2, 3 o 4 meses y la duración probable de la fase de construcción sería de 6, 7 u 8 meses. Además, debido a la necesidad apremiante de tener más electricidad, la gerencia fijó una meta de 10 meses para completar todo el proyecto. Como este proyecto tiene tres tiempos de terminación posibles para la etapa de diseño (pa- so 1) y tres tiempos de terminación posibles para la de construcción (paso 2), se aplica la regla de conteo para los experimentos de pasos múltiples para determinar un total de (3)(3) 9 re- sultados del experimento. Para describir dichos resultados se utiliza una notación de dos nú- meros; por ejemplo, (2, 6) indica que la etapa de diseño se completará en 2 meses y la de construcción en 6. Este resultado experimental implica un total de 2 6 8 meses para com- pletar todo el plan. La tabla 4.1 resume los nueve resultados del experimento del problema de KP&L. El diagrama de árbol de la figura 4.3 muestra cómo ocurren los nueve resultados (pun- tos de la muestra). La regla de conteo y el diagrama de árbol ayudan al gerente de proyectos a identificar los resultados del experimento y a determinar la duración posible del proyecto. A partir de la
Sin el diagrama de árbol, podría pensarse que hay sólo tres resultados experimentales posibles para dos lanzamientos de una moneda: 0 caras, 1 cara y 2 caras.
Paso 2 Segundo lanzamiento
Resultado experimental (puntos de la muestra)
( H , H )
( H , T )
( T , H )
( T , T )
Paso 1 Primer lanzamiento
Cara
Cruz
Cara
Cruz
C^ ara
C ruz
FIGURA 4.2 Diagrama de árbol para el experimento del lanzamiento de dos monedas
154 Capítulo 4 Introducción a la probabilidad
información de la figura 4.3 se ve que éste durará de 8 a 12 meses, y que seis de los nueve re- sultados del experimento tienen la duración deseada de 10 meses o menos. Aun cuando la iden- tificación de los resultados del experimento puede parecer útil, es necesario considerar cómo se asignan los valores de probabilidad a dichos resultados antes de evaluar la probabilidad de que el proyecto se complete dentro de los 10 meses deseados.
Combinaciones Una segunda regla de conteo útil permite contar el número de resultados cuando el experimento consiste en la selección de n objetos de un conjunto (generalmente ma- yor) de N objetos. Ésta se conoce como regla de conteo para combinaciones.
REGLA DE CONTEO PARA COMBINACIONES El número de combinaciones de N objetos tomados n a la vez es
C Nn
N
n
N!
n !( N n )!
(4.1)
donde N! N ( N 1)( N 2)... (2)(1) n! n ( n 1)( n 2)... (2)(1)
y, por definición, 0! 1
La notación! significa factorial; por ejemplo, 5 factorial es 5! (5)(4)(3)(2)(1) 120. Como ejemplo del uso de la regla de conteo para combinaciones, considere un procedi- miento de control de calidad en el cual un inspector selecciona al azar de dos a cinco partes para buscar defectos. En un grupo de cinco partes, ¿cuántas combinaciones de dos partes pueden seleccionarse? La regla de conteo de la ecuación (4.1) muestra que con N 5 y n 2; tenemos
C^52
Por tanto, 10 resultados son posibles para el experimento de selección de dos partes al azar de un grupo de cinco. Si las cinco partes se etiquetan como A, B, C, D y E, las 10 combinaciones o resultados del experimento son AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE y DE. Como otro ejemplo, considere el sistema de lotería de Florida que utiliza la selección al azar de seis enteros de un grupo de 53 para determinar al ganador de la semana. La regla de conteo para combinaciones, la ecuación (4.1), se utiliza para determinar el número de maneras en que seis enteros diferentes pueden seleccionarse de un grupo de 53.
La regla de conteo para combinaciones establece que casi 23 millones de resultados experi- mentales son posibles en el sorteo de la lotería. Una persona que compra un billete tiene 1 opor- tunidad en 22 957 480 de ganar.
Permutaciones Una tercera regla de conteo que en ocasiones es útil es la regla de conteo para permutaciones. Ésta permite que una persona calcule el número de resultados experimen- tales cuando se seleccionan n objetos de un conjunto de N objetos y el orden de selección es
La regla de conteo para combinaciones muestra que el evento de ganar la lotería es muy poco probable.
En el muestreo de una población finita de tamaño N, la regla de conteo para combinaciones ayuda a determinar el número de muestras diferentes de tamaño n que pueden seleccionarse.
4.1 Experimentos, reglas de conteo y asignación de probabilidades 155
importante. Los mismos n objetos seleccionados en un orden distinto se consideran un resultado experimental diferente.
La regla de conteo para permutaciones se relaciona estrechamente con la regla de conteo para combinaciones; sin embargo, un experimento produce más permutaciones que combina- ciones para el mismo número de objetos debido a que cada selección de n objetos se ordena de n! maneras distintas. Como ejemplo, considere de nuevo el proceso de control de calidad en el que un inspector selecciona dos de cinco partes distintas para inspeccionarlas en busca de defectos. ¿Cuántas permutaciones pueden seleccionarse? La regla de conteo de la ecuación (4.2) muestra que con N 5 y n 2 se tiene
P^52
Por tanto, hay 20 resultados posibles para el experimento de seleccionar dos partes al azar de un grupo de cinco cuando se toma en cuenta el orden de selección. Si las partes se etiquetan como A, B, C, D y E, las 20 permutaciones son AB, BA, AC, CA, AD, DA, AE, EA, BC, CB, BD, DB, BE, EB, CD, DC, CE, EC, DE y ED.
Asignación de probabilidades
Ahora se explicará cómo asignar las probabilidades a los resultados del experimento. Los en- foques de tres pasos más usuales son el método clásico, el de frecuencia relativa y el subjetivo. Sea cual fuere el método empleado, se deben cumplir dos requisitos básicos para la asignación de probabilidades.
REGLA DE CONTEO PARA PERMUTACIONES El número de permutaciones de N objetos tomados n a la vez está dado por
P Nn n!
N
n
N!
( N n )!
(4.2)
REQUISITOS BÁSICOS PARA LA ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
1. La probabilidad asignada a cada resultado experimental debe estar entre 0 y 1, inclusive. Si E (^) i denota el i -ésimo resultado del experimento y P ( E (^) i ) su probabili- dad, entonces este requisito se escribe como
0 P ( E (^) i ) 1 para toda i (4.3)
2. La suma de las probabilidades para todos los resultados del experimento debe ser igual a 1. Para n resultados, este requisito se escribe como
P ( E 1 ) P(E 2 ) ...^ P ( E (^) n ) 1 (4.4)
El método clásico de asignación de probabilidades es apropiado cuando todos los resulta- dos del experimento son igualmente probables. Si n resultados son posibles, una probabilidad de 1/ n se asigna a cada resultado experimental. Cuando se utiliza este método, los dos requisitos básicos para la asignación de probabilidades se cumplen de manera automática.
4.1 Experimentos, reglas de conteo y asignación de probabilidades 157
Judy cree que la probabilidad de que su oferta sea aceptada es de 0.8; por tanto, establecería P ( E 1 ) 0.8 y P ( E 2 ) 0.2. Tom, no obstante, cree que la probabilidad de que su oferta se acepte es de 0.6; por consiguiente, establecería P ( E 1 ) 0.6 y P ( E 2 ) 0.4. Note que la estimación de la probabilidad para E 1 de Tom refleja un pesimismo mayor de que su oferta será aceptada. Tanto las probabilidades asignadas de Judy como las de Tom satisfacen los dos requisitos básicos. El hecho de que sus estimaciones sean diferentes recalca la naturaleza personal del método subjetivo. Aun cuando en las situaciones de negocios puede aplicarse ya sea el método clásico o el método de frecuencia relativa, los gerentes tal vez quieran proporcionar estimaciones de proba- bilidad subjetivas. En estos casos, las mejores estimaciones con frecuencia se obtienen al com- binar las estimaciones de los métodos clásico y de frecuencia relativa con las de probabilidad subjetivas.
Probabilidades para el proyecto de KP&L
Para realizar otro análisis sobre el proyecto de KP&L, se deben desarrollar las probabilidades de cada uno de los nueve resultados del experimento listados en la tabla 4.1. Sobre la base de la experiencia y el juicio, la gerencia concluyó que los resultados del experimento no eran igualmente probables. Por consiguiente, no podría utilizarse el método clásico de asignación de probabilidades. La gerencia decidió, por tanto, efectuar un estudio de los tiempos de termina- ción de proyectos similares realizados por KP&L durante los tres años pasados. Los resultados de un análisis de 40 proyectos se resumen en la tabla 4.2. Después de revisar los resultados del estudio, la gerencia optó por emplear el método de frecuencia relativa de asignación de probabilidades. Podría haber proporcionado estimaciones de probabilidad subjetivas, pero pensó que el proyecto actual era muy parecido a los 40 ante- riores. Así, el método de frecuencia relativa se consideró el mejor. Al usar los datos de la tabla 4.2 para calcular las probabilidades, se observa que el resul- tado (2, 6) —la etapa 1 completada en 2 meses y la etapa 2 completada en 6 meses— ocurrió seis veces en los 40 proyectos. El método de frecuencia relativa se utiliza para asignar una pro- babilidad de 6/40 0.15 a este resultado. Asimismo, el resultado (2, 7) también ocurrió en seis de los 40 proyectos, proporcionando una probabilidad de 6/40 0.15. Si se continúa de esta manera, se obtienen las asignaciones de probabilidad para los puntos de la muestra del proyec- to de KP&L presentados en la tabla 4.3. Observe que P (2, 6) representa la probabilidad del punto de muestreo (2, 6); P (2, 7) la del punto de muestreo (2, 7), etcétera.
El teorema de Bayes ( vea la sección 4.5 ) proporciona un medio para combinar de manera subjetiva determinadas probabilidades previas con las probabilidades obtenidas por otros medios para lograr las probabilidades revisadas, o posteriores.
Duración (meses)
Número de proyectos anteriores Etapa 1 Etapa 2 con estos tiempos Diseño Construcción Punto de muestreo de terminación 2 6 (2, 6) 6 2 7 (2, 7) 6 2 8 (2, 8) 2 3 6 (3, 6) 4 3 7 (3, 7) 8 3 8 (3, 8) 2 4 6 (4, 6) 2 4 7 (4, 7) 4 4 8 (4, 8) 6 Total 40
TABLA 4.2 Resultados de terminación de 40 proyectos de KP&L
158 Capítulo 4 Introducción a la probabilidad
Ejercicios
Métodos
- Un experimento consta de tres pasos con tres resultados posibles para el primer paso, dos re- sultados posibles para el segundo y cuatro para el tercero. ¿Cuántos resultados experimentales existen para todo el experimento?
- ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse tres elementos de un grupo de seis? Utilice las le- tras A, B, C, D, E y F para identificar los elementos y elabore una lista cada una de las distintas combinaciones de tres elementos.
- ¿Cuántas permutaciones de tres elementos pueden seleccionarse de un grupo de seis? Utili- ce las letras A, B, C, D, E y F para identificar los elementos y elabore una lista de cada una de las permutaciones de B, D y F.
- Considere el experimento de lanzar una moneda tres veces. a ) Elabore un diagrama de árbol para el experimento. b ) Prepare una lista de los resultados del experimento. c ) ¿Cuál es la probabilidad para cada resultado experimental?
- Suponga que un experimento tiene cinco resultados igualmente probables: E 1 , E 2 , E 3 , E 4 , E 5. Asigne probabilidades a cada resultado y muestre que se cumplen los requisitos de las ecua- ciones (4.3) y (4.4). ¿Qué método utilizó?
- Un experimento con tres resultados se repitió 50 veces y mostró que E 1 ocurrió 20 veces, E 2 13 veces y E 3 17 veces. Asigne probabilidades a los resultados. ¿Qué método usó?
- Alguien que toma decisiones asignó de manera subjetiva las probabilidades siguientes a los cua- tro resultados de un experimento: P ( E 1 ) 0.10, P ( E 2 ) 0.15, P ( E 3 ) 0.40 y P ( E 4 ) 0.20. ¿Son válidas estas asignaciones de probabilidad? Explique por qué.
NOTAS Y COMENTARIOS
Duración Probabilidad del Punto de la muestreo del proyecto punto de muestreo (2, 6) 8 meses P (2, 6) 6/40 0. (2, 7) 9 meses P (2, 7) 6/40 0. (2, 8) 10 meses P (2, 8) 2/40 0. (3, 6) 9 meses P (3, 6) 4/40 0. (3, 7) 10 meses P (3, 7) 8/40 0. (3, 8) 11 meses P (3, 8) 2/40 0. (4, 6) 10 meses P (4, 6) 2/40 0. (4, 7) 11 meses P (4, 7) 4/40 0. (4, 8) 12 meses P (4, 8) 6/40 0. Total 1.
TABLA 4.3 Asignaciones de probabilidad para el proyecto de KP&L con base en el método de frecuencia relativa
AUTO evaluación
AUTO evaluación
1. En estadística, la noción de experimento difiere de alguna manera de la que se maneja en las ciencias físicas. En éstas, los investigadores realizan con fre- cuencia un experimento en un laboratorio o en un entorno controlado con el fin de aprender sobre la causa y el efecto. En los experimentos estadísti- cos, la probabilidad determina los resultados. Aun cuando el experimento se repite exactamente de la misma manera, puede ocurrir un resultado muy di-
ferente. Debido a esta influencia de la probabilidad del resultado, los experimentos de estadística a ve- ces se denominan experimentos aleatorios.
2. Cuando se obtiene una muestra al azar de una po- blación de tamaño N sin remplazarla, se utiliza la regla de conteo para combinaciones con el fin de encontrar el número de muestras diferentes de ta- maño n que pueden seleccionarse.
160 Capítulo 4 Introducción a la probabilidad
a ) Para Estados Unidos, ¿cuál es la probabilidad de que un conductor use cinturón de segu- ridad? b ) La probabilidad de uso del cinturón para un conductor estadounidense un año antes fue de 0.75. El jefe de la NHTSA , el Dr. Jeffrey Runge, había esperado una probabilidad de 0.78 en 2003. ¿Se sentiría complacido con los resultados de la encuesta de 2003? c ) ¿Cuál es la probabilidad del uso del cinturón de seguridad por región del país? ¿En qué región se usa más? d ) ¿Qué proporción de los conductores de la muestra proviene de cada región del país? ¿Qué región tuvo la mayoría de conductores selecionados? ¿Cuál tuvo la segunda mayoría? e ) Suponiendo que el número total de conductores de cada región es el mismo, ¿ve usted alguna razón por la cual la estimación de probabilidad del inciso a ) podría ser demasiado alta? Explique.
- La lotería Powerball se juega dos veces a la semana en 28 estados, las Islas Vírgenes y el dis- trito de Columbia. Para jugarla, un participante debe comprar un boleto y luego seleccionar cinco dígitos de los números de 1 al 55 y un número de Powerball de los dígitos 1 al 42. Para determinar los números ganadores para cada juego, los oficiales de la lotería extrajeron cinco bolas blancas de una urna con 55 bolas blancas y una bola roja de una urna con 42 bolas ro- jas. Para ganar la lotería, los números de un participante deben coincidir con los de las cinco bolas blancas en cualquier orden y con el número de la bola Powerball roja. Ocho colabora- dores de la planta ConAgra Foods en Lincoln, Nebraska, reclamaron el premio mayor récord de $365 millones el 18 de febrero de 2006, al coincidir los números 15-17-43-44-49 y la bola Powerball número 29. Otros premios en efectivo se otorgan cada vez que el juego se reali- za. Por ejemplo, se paga un premio de $200 000 si los cinco números del participante coinciden con los números de las cinco bolas blancas (sitio de Powerball, 19 de marzo de 2006). a ) Calcule el número de formas en que los primeros cinco números pueden ser seleccionados. b ) ¿Cuál es la probabilidad de ganar un premio de $200 000 por coincidir los números de las cinco bolas blancas? c ) ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio mayor Powerball?
- Una empresa que fabrica pasta dental estudia cinco diseños de empaque diferentes. Suponien- do que un diseño tiene igual probabilidad de ser seleccionado por un consumidor como cual- quier otro, ¿qué probabilidad de selección asignaría a cada uno de los diseños de empaque? En un experimento real se pidió a 100 consumidores que seleccionaran el diseño de su prefe- rencia. Se obtuvieron los datos siguientes. ¿Los datos confirman la creencia de que un diseño tiene la misma probabilidad de ser seleccionado que otro? Explique por qué.
4.2 (^) Eventos y sus probabilidades
En la introducción de este capítulo se usó el término evento de manera muy parecida a como se utiliza en el lenguaje cotidiano. Luego, en la sección 4.1 se presentó el concepto de experi- mento y los resultados del experimento o puntos de la muestra correspondientes. Los puntos de la muestra y los eventos proporcionan la base del estudio de la probabilidad. Por consiguiente, ahora un (^) evento se define de manera formal en relación con los puntos de la muestra. Esta de- finición es la base para determinar la probabilidad de un evento.
Número de Diseño veces preferido 1 5 2 15 3 30 4 40 5 10
EVENTO Un evento es una colección de puntos de la muestra.
4.2 Eventos y sus probabilidades 161
Como ejemplo, retome el proyecto de KP&L y suponga que el gerente está interesado en el evento de que el proyecto completo se termine en 10 meses o menos. Al observar la tabla 4. se ve que seis puntos de la muestra —(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7) y (4, 6)— proporcionan una duración de 10 meses o menos. C denota el evento de que el proyecto dure 10 meses o menos; escribimos
C {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (4, 6)}
Se dice que el evento C ocurre si cualquiera de estos seis puntos de la muestra aparece como el resultado experimental. Otros eventos que podrían ser de interés para la gerencia de KP&L son los siguientes.
L El evento de que el proyecto se complete en menos de 10 meses M El evento de que el proyecto se complete en más de 10 meses
Con ayuda de la información de la tabla 4.3, vemos que estos eventos constan de los puntos de la muestra siguientes:
L {(2, 6), (2, 7), (3, 6)} M {(3, 8), (4, 7), (4, 8)}
Una variedad de eventos adicionales puede definirse para el proyecto de KP&L, pero en cada caso el evento debe identificarse como una colección de puntos de la muestra para el expe- rimento. Dadas las probabilidades de los puntos de la muestra mostrados en la tabla 4.3, podemos utilizar la definición siguiente para calcular la probabilidad de cualquier evento que la gerencia de KP&L podría desear considerar.
Con ayuda de esta definición, se calcula la probabilidad de un evento particular al sumar las probabilidades de los puntos de la muestra (resultados del experimento) que conforman el evento. Ahora se puede calcular la probabilidad de que el proyecto tarde en completarse 10 meses o menos. Debido a que este evento está dado por C {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (4, 6)}, la probabilidad del evento C , denotada P ( C ), está dada por
P ( C ) P (2, 6) P (2, 7) P (2, 8) P (3, 6) P (3, 7) P (4, 6)
Revisando las probabilidades de los puntos de la muestra de la tabla 4.3 tenemos
P ( C ) 0.15 0.15 0.05 0.10 0.20 0.05 0.
De modo parecido, debido a que el evento de que el proyecto se complete en menos de 10 meses está dado por L {(2, 6), (2, 7), (3, 6)}, la probabilidad de este evento está determinada por
P ( L ) P (2, 6) P (2, 7) P (3, 6) 0.15 0.15 0.10 0.
Por último, para el evento de que el proyecto se termine en más de 10 meses, tenemos M {(3, 8), (4, 7), (4, 8)}, y por tanto
P ( M ) P (3, 8) P (4, 7) P (4, 8) 0.05 0.10 0.15 0.
PROBABILIDAD DE UN EVENTO La probabilidad de cualquier evento es igual a la suma de las probabilidades de los puntos de la muestra del evento.
4.2 Eventos y sus probabilidades 163
Aplicaciones
- Revise los puntos de la muestra de KP&L y las probabilidades de los puntos de la muestra de las tablas 4.2 y 4.3. a ) La etapa de diseño (etapa 1) rebasará el presupuesto si tarda 4 meses en completarse. Ela- bore una lista de los puntos de la muestra en el evento de que la etapa de diseño sobrepase el presupuesto. b ) ¿Cuál es la probabilidad de que la etapa de diseño rebase el presupuesto? c ) La etapa de construcción (etapa 2) rebasará el gasto presupuestado si tarda 8 meses en completarse. Elabore una lista de los puntos de la muestra en el evento de que la etapa de construcción sobrepase el presupuesto. d ) ¿Cuál es la probabilidad de que la fase de construcción rebase el presupuesto? e ) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas etapas lo sobrepasen?
- Para investigar con qué frecuencia las familias suelen comer en casa, Harris Interactive encues- tó a 496 adultos que vivían con niños menores de 18 años ( USA Today, 3 de enero de 2007). Los resultados de la encuesta se muestran en la tabla siguiente.
Para una familia seleccionada al azar con niños menores de 18 años, calcule lo siguiente: a ) La probabilidad de que la familia no coma en casa durante la semana. b ) La probabilidad de que la familia coma por lo menos cuatro veces en casa durante la semana. c ) La probabilidad de que la familia coma dos o menos veces en casa durante la semana.
- La National Sporting Goods Association realizó una encuesta a personas de 7 años de edad o mayores acerca de su participación en actividades deportivas ( Statistical Abstract of the United States , 2002). La población total en este grupo de edades se reportó en 248.5 millones, con 120.9 millones de hombres y 127.6 millones de mujeres. El número de participantes para las cinco actividades deportivas principales se muestra enseguida.
Participantes (millones) Actividad Hombre Mujer Ciclismo 22.2 21. Acampar 25.6 24. Ejercitarse caminando 28.7 57. Ejercitarse con equipo 20.4 24. Nadar 26.4 34.
a ) Para una mujer seleccionada al azar, estime la probabilidad de participación en cada una de las actividades deportivas. b ) Para un hombre seleccionado al azar, calcule la probabilidad de participación en cada una de las actividades deportivas. c ) Para una persona seleccionada al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se ejercite cami- nando? d ) Suponga que acaba de ver a una persona que se ejercita caminando. ¿Cuál es la probabili- dad de que se trate de una mujer? ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?
Número de Número de comidas familiares respuestas a por semana la encuesta 0 11 1 11 2 30 3 36 4 36 5 119 6 114 7 o más 139
AUTO evaluación
164 Capítulo 4 Introducción a la probabilidad
Suponga que una persona de esta población será elegida al azar. a ) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga de 18 a 24 años? b ) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga de 18 a 34 años? c ) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga 45 años?
4.3 (^) Algunas relaciones básicas de probabilidad
Complemento de un evento
Dado un evento A , el complemento de A se define como el evento que consta de todos los puntos de la muestra que no están en A. El complemento de A se denota por medio de A c. La figura 4.4 es un diagrama, conocido como diagrama de Venn , el cual ilustra el concepto de complemento. El área rectangular representa el espacio muestral para el experimento y como tal contiene todos los puntos de la muestra posibles. El círculo representa el evento A y contiene sólo los puntos de la muestra que pertenecen a A. La región sombreada del rectángulo con- tiene todos los puntos de la muestra que no están en el evento A y es por definición el com- plemento de A. En cualquier probabilidad de aplicación debe ocurrir cualquier evento A o su complemento Ac. Por consiguiente, tenemos
P ( A ) P ( Ac ) 1
Suponga que una empresa Fortune 500 es elegida al azar para un cuestionario de seguimiento. ¿Cuáles son las probabilidades de los eventos siguientes? a ) Sea N el evento de que las oficinas corporativas de la empresa tienen su sede en Nueva York. Calcule P ( N ). b ) Sea T el evento de que las oficinas corporativas de la empresa tienen su sede en Texas. Calcule P ( T ). c ) Sea B el evento de que la sede de las oficinas corporativas de la empresa está en estos cin- co estados. Calcule P ( B ).
- La población adulta estadounidense por edad es la siguiente ( The World Almanac, 2009). Los datos se proporcionan en millones de personas.
Número de Estado empresas Nueva York 54 California 52 Texas 48 Illinois 33 Ohio 30
- La revista Fortune publica una lista anual de las 500 empresas más grandes de Estados Unidos. Los datos siguientes muestran los cinco estados con el número más grande de empresas Fortune 500 ( The New York Times Almanac, 2006).
Edad Número 18 a 24 29. 25 a 34 40. 35 a 44 43. 45 a 54 43. 55 a 64 32. 65 y más 37.
166 Capítulo 4 Introducción a la probabilidad
de la muestra del evento B. El hecho de que los círculos se traslapen indica que algunos pun- tos de la muestra están contenidos tanto en A como en B. A continuación se presenta la definición de intersección de A y B.
Evento A Evento^ B
Espacio muestral S
FIGURA 4.5 Unión de los eventos A y B sombreada
Evento B
Espacio muestral S
Evento A
FIGURA 4.6 Intersección de los eventos A y B sombreada
INTERSECCIÓN DE DOS EVENTOS Dados dos eventos A y B , la intersección de A y B es el evento que contiene los puntos de la muestra que pertenecen a tanto a A como a B. La intersección se denota por me- dio de A B.
El diagrama de Venn que representa la intersección de los eventos A y B se muestra en la figu- ra 4.6. El área donde los dos círculos se traslapan es la intersección; contiene los puntos de la muestra que están tanto en A como en B. Ahora se estudiará la ley de la adición. La ley de la adición proporciona una manera de calcular la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B o ambos. En otras palabras, la ley de la adición se utiliza para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos. La ley de la adición se escribe como sigue.
LEY DE LA ADICIÓN P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) (4.6)
4.3 Algunas relaciones básicas de probabilidad 167
Para entender de manera intuitiva la ley de la adición, considere que los dos primeros térmi- nos de la ley, P ( A ) P ( B ), representan todos los puntos de la muestra en A B. Sin embar- go, debido a que los puntos de la muestra en la intersección A B están en A y en B , cuando se calcula P ( A ) P ( B ), en realidad se están contando dos veces cada uno de los puntos de la muestra en A B. Este conteo excesivo se corrige al restar P ( A B ). Como ejemplo de una aplicación de la ley de la adición, considere el caso de una pequeña planta de ensamble con 50 empleados. Se espera que cada trabajador complete las asignaciones de trabajo a tiempo y de tal manera que el producto ensamblado apruebe la inspección final. De vez en cuando, algunos trabajadores no cumplen con los estándares de desempeño, ya que terminan la tarea con atraso o ensamblan un producto defectuoso. Al final del periodo de eva- luación del desempeño, el gerente de producción encontró que 5 de los 50 trabajadores ter- minaron el trabajo con atraso, 6 de los 50 ensamblaron un producto defectuoso y 2 de los 50 terminaron con atraso y ensamblaron un producto defectuoso. Sean
L evento de que el trabajo se termine con atraso D evento de que el producto ensamblado esté defectuoso
La información de la frecuencia relativa conduce a las probabilidades siguientes.
P ( L )
5 50
P ( D )
6 50
P ( L D )
2 50
Después de revisar los datos de desempeño, el gerente de producción decidió asignar una calificación baja a cualquier empleado cuyo trabajo estuviera atrasado o defectuoso, por lo que el evento de interés es L D. ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente asigne una califica- ción de bajo desempeño a un empleado? Note que la pregunta de probabilidad trata de la unión de dos eventos. En concreto, se de- sea conocer P ( L D ). Mediante la ecuación (4.6) tenemos
P ( L D ) P ( L ) P ( D ) P ( L D )
Al conocer los valores de las tres probabilidades en el lado derecho de esta expresión, se puede escribir
P ( L D ) 0.10 0.12 0.04 0.
Este cálculo indica que hay una probabilidad de 0.18 de que un empleado seleccionado al azar reciba una calificación de bajo desempeño. En otro ejemplo de la ley de la adición, considere un estudio reciente realizado por el jefe de personal de una importante firma de software. El estudio reveló que 30% de los emplea- dos que dejaron la empresa en un plazo de dos años lo hizo principalmente porque se sentía insatisfecho con su sueldo, 20% se fue porque no estaba satisfecho con el trabajo que se le asignó y 12% indicó insatisfacción tanto con su sueldo como con el trabajo asignado. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado que deja la empresa en un plazo de dos años lo haga
