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MATEMÁTICA APLICADA
Práctica Dirigida Nº 07 – Primer Grado
Encontrar una solución general.
1. y ´ +
x + 1
y
3
2. y ´= 3 ( y + 1 ) 3. y ´ +csc y= 0 4. y ´=( 1 + x )( 1 + y
2
5. yy ´=
sen
2
ωx ( ω ≠ 0 )
6. y ´ sen 2 x= y cos 2 x
- y ´=cos x. tan y 8. y ´= y tanh x
9. y ´ + y
2
10. y ´=e
2 x
cos
2
y
11. y ´= y
2
sen x
12.
y ´= y /( x lnx )
13. y ´=x
2
y
2
− 2 y
2
2
2
14.
y ´=√ 1 − y
2
Resolver los siguientes problemas con valor inicial.
- y ´=x
3
e
− y
, y ( 2 )= 0
- yy ´ + x= 0 , y ( 0 )=− 2
- y ´= 2 e
x
y
3
, y ( 0 )=0.5 18. y ´ cosh
2
x +sen
2
y= 0 ,
y
π
y ´= 4 √
y + 1 cos 2 x , y
π
- y ´=( 1 −x )/ y , y
dr / dt =− 4 tr , r
v ( dv / dt )=g=const , v ( t
0
)=v
0
e
x
y ´= 2 ( x+ 3 ) y
3
, y ( 0 )=
dr senθ=r cos θ dθ , r
π
- ( x
2
1 / 2
y ´=x y
3
, y ( 0 )= 2 26.
L( dI / dt )+ RI = 0 , I ( 0 )=I
0
MODELADO: Ecuaciones separables
- Un cuerpo cuya masa es de 2 kg se desplaza sobre una superficie horizontal lisa bajo
la acción de una fuerza horizontal F = 55 + t
2
donde F se expresa en newton y t en
segundos. Calcular la rapidez de la masa cuando t = 5 s. (El cuerpo se encontraba en
reposo cuando t = 0 s).
- Un cuerpo de masa m se mueve a lo largo del eje X de acuerdo a la ecuación X
= A cos ( t + ), donde A, y son constantes. Calcular la fuerza que actúa sobre el
cuerpo en función de su posición. ¿Cuál es la dirección de la fuerza cuando x es (a)
positivo (b) negativo?
- La fuerza resultante sobre un objeto de masa m es F = F 0 - kt, donde F 0
y k son
constantes y t es el tiempo. Encontrar la aceleración. Mediante integración encontrar
ecuaciones para la rapidez y la posición.
- Un cuerpo inicialmente en reposo en x 0
se mueve en línea recta bajo la acción de una
fuerza F = - k/x
2
. Demostrar que su rapidez en x es:
v
2
= 2 (K/m). (1/x – 1/x 0
)
- Un cuerpo cuya velocidad inicial es v 0
se ve frenada por una fuerza de rozamiento tal
como F = - b e
v
.
a. Hállese su ecuación de movimiento.
b. Calcúlese la velocidad.
- Dos grupos de cinco hombres cada uno tiran de los extremos de una cuerda. Cada
hombre tiene un peso de 980 N y tira inicialmente de la cuerda con una fuerza de 4000 N.
Al principio los dos grupos están equilibrados, pero al fatigarse, la fuerza con la que tira
cada hombre disminuye de acuerdo con la fórmula:
F = (4000 N) e
-t/
Siendo el tiempo medio que dura cada estirón, que es de 10 segundos para el primer
grupo y 20 segundos para el otro. Hállese el movimiento (g = 9,78 m/s
2
)
- Una partícula de masa m es repelida por el origen de coordenadas con una fuerza
inversamente proporcional al cubo de su distancia a dicho origen. Establézcase y
resuélvase la ecuación de movimiento si la partícula esta inicialmente en reposo a una
distancia x 0
del origen.
- Se usa un motor de propulsión capaz de desarrollar un empuje constante máximo F 0
,
para impulsar un avión que está sometido a una fuerza de rozamiento proporcional al
cuadrado de su velocidad. Si el avión parte en t = 0 s con una velocidad despreciable y
acelera con el empuje máximo. Hállese su velocidad v(t)
MATEMÁTICA APLICADA
Práctica Dirigida Nº 07 – Segundo Grado
Hallar la solución General:
y
' '
y
' '
− 25 y= 0
y
' '
− 8 y
'
y
' '
'
0
y
' '
'
+0.25 y= 0
y
' '
'
8 y
' '
− 2 y
'
− y= 0
10 y
' '
'
+10.9 y= 0
2 y
' '
'
y
' '
'
w
2
y= 0
Resolver los siguientes problemas con valor inicial.
y
' '
− 9 y= 0 , y
= 5 , y
'
y
' '
'
( π )= 3
y
' '
'
'
y
' '
− 4 y
'
'
y
' '
− 6 y
'
= 0 , y
'
- y
' '
'
e
≈ 1.177 , y
'
e
- 10 y
' '
'
+0.1 y= 0 , y ( 10 )=
e
≈−14.72 , y
'
2 y
' '
'
− y= 0 , y ( 4 )=e
2
−e
− 1
=7.371 , y ( 4 )=
e
2
+e
− 4
y
' '
'
+4.25 y= 0 , y
= 1 , y
'
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