Control de Procesos | Polos, ceros y estabilidad Raúl Bernal
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Polos, ceros y estabilidad
Un requerimiento importante para un sistema de control es que debe ser estable. Esto significa que,
si al sistema se aplica una entrada de magnitud finita, entonces la salida debería también ser finita y
de ningún modo infinita, o sea, incrementarse dentro de un límite. Para sistemas lineales el
requerimiento de estabilidad se puede definir en términos de los polos de la función de transferencia
en lazo cerrado. Los polos son las raíces del polinomio del denominador de la función de transferencia
y los ceros las raíces del polinomio del numerador de la función de transferencia.
Sistema estable
Un sistema se puede definir como estable si toda entrada acotada (finita) produce una salida acotada.
Otra definición: un sistema se puede definir como estable si al estar sujeto a una entrada impulso la
salida tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito.
Si, al responder a la entrada impulso, la salida del sistema tiende a infinito a medida que el tiempo
tiende a infinito, entonces el sistema es inestable. Si la salida no tiende a cero o no crece a infinito,
pero tiende a un valor finito diferente de cero, se dice que el sistema es crítica o marginalmente
estable.
Entrada impulso
Sistema estable
Sistema inestable
Polos y ceros
La función de transferencia en lazo cerrado G(s) de un sistema, sabemos que se puede representar
mediante
𝐺(𝑠)=𝑘(𝑠𝑚+ 𝑎𝑚−1𝑠𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0)
𝑠𝑞(𝑠𝑛+ 𝑏𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0)
También se puede escribir
𝐺(𝑠)=𝑘(𝑠 − 𝑧1)(𝑠 − 𝑧2) … (𝑠 − 𝑧𝑚)
𝑠𝑞(𝑠 − 𝑝1)(𝑠 − 𝑝2) … (𝑠 − 𝑝𝑛)
Donde las raíces del numerador son z1, z2, .., zm y se denominan ceros y las raíces de denominador
son p1, p2, .., pn y se denominan polos, k es una constante multiplicadora o la ganancia del sistema.
Los ceros son los valores de s para los cuales la función de transferencia se convierte en cero. Los
polos son los valores de s para los cuales la función de transferencia es infinita, o sea, que el valor del
denominador sea cero.
Ejemplo:
𝐺(𝑠)=𝑠 − 2
𝑠 + 5
Ceros: 2
Polos: -5
Ejercicio: ¿Cuáles son los ceros y polos de los sistemas dados por las siguientes funciones de
transferencia en lazo cerrado?
1) 𝐺(𝑠)=(𝑠+2)(𝑠+8)(𝑠−6)
(𝑠+3)(𝑠+9)(𝑠−8) 2) 𝐺(𝑠)=𝑠+4
𝑠2+𝑠+3
