¡Descarga Poliedros geometría euclidiana y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Forma, movimiento y localización, y sus fundamentos
para el aprendizaje y enseñanza II
OLIEDROS
Definición
Un poliedro es el sólido geométrico limitado por 4 o más regiones poligonales no coplanares llamadas
«caras», de modo que las intersecciones de cada 2 regiones contiguas constituyen las aristas del
poliedro. «Poliedro» proviene de los vocablos griegos polys (muchas) y edra (caras o bases), que
forman la palabra polyedron (muchas caras).
Elementos de los poliedros
En el heptaedro (poliedro de 7 caras) que se muestra a continuación, se distinguen los siguientes
elementos:
1
10 vértices: A, A’, B, B’, C, C’, D, D’, E y E’.
7 caras: son los polígonos que limitan al poliedro: AA’B’B, BB’C’C, CC’D’D, DD’E’E, EE’A’A, ABCDE y
A’B’C’D’E’.
15 aristas: AA’, BB’, CC’, DD’ y EE’ (laterales). AB, BC, CD, DE y EA (de la base superior). A’B’, B’C’, C’D’,
D’E’ y E’A’ (de la base inferior).
Ángulos diedros: son los ángulos formados por 2 caras consecutivas; por ejemplo, el ángulo formado
por las caras AA’B’B y AA’E’E.
Ángulos poliedros: son los ángulos formados en los vértices del poliedro; por ejemplo: A–A’BE,
B–AB’C, C–BC’D, etc.
Diagonales: son los segmentos que unen 2 vértices no coplanares.
Forma, movimiento y localización, y sus fundamentos
para el aprendizaje y enseñanza II
Clasificación de los poliedros
1. Por número de caras
4 caras: tetraedro 5 caras: pentaedro 6 caras: hexaedro
7 caras: heptaedro 8 caras: octaedro 9 caras: eneaedro o nonaedro
1 0 caras: decaedro 11 caras: endecaedro 12 caras: dodecaedro
13 caras: tridecaedro 14 caras: tetradecaedro 15 caras: pentadecaedro
16 caras: hexadecaedro 17 caras: heptadecaedro 18 caras: octadecaedro
19 caras: nonadecaedro 20 caras: icosaedro 30 caras: tricontaedro
40 caras: tetracontaedro
2. Por la forma de sus caras
a) Regulares: si todas sus caras son polígonos regulares congruentes y todos sus ángulos diedros y
ángulos poliedros son respectivamente congruentes. Por ejemplo, el tetraedro regular.
b) Irregulares: los que no son regulares.
Forma, movimiento y localización, y sus fundamentos
para el aprendizaje y enseñanza II
Poliedros regulares convexos
Solo hay 5 poliedros regulares convexos. Se muestra a continuación cuáles son estos y cuáles son sus
elementos.
Teorema de Euler
En todo poliedro convexo se cumple que C + V = A + 2. Donde: C, V y A son el número de caras, vértices
y aristas del poliedro, respectivamente.
Del cuadro anterior se comprueba que:
Hexaedro: 6 + 8 = 12 + 2 Dodecaedro: 12 + 20 = 30 + 2 Icosaedro: 20 + 12 = 30 + 2
Teorema de la suma de los ángulos interiores de las caras de un poliedro
Sea un poliedro que tiene C caras, las cuales tienen 𝑛1, 𝑛2, …, 𝑛c lados. La suma de los ángulos
interiores de sus caras viene dada por: 𝘚 = 360° (𝑉‒ 2 )
Forma, movimiento y localización, y sus fundamentos
para el aprendizaje y enseñanza II
Demostración:
- 𝘚 = 180°(𝑛1 ‒ 2) + 180°(𝑛2 ‒ 2) + ⋯ + 180 °(𝑛c ‒ 2 ). Por Si de un polígono.
- 𝘚 = 180°(𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛c) ‒ 180°( 2 + 2 + ⋯ + 2 ). Distributiva.
𝑛 1 +𝑛 2 + … +𝑛𝑐
2
2 + 2 +⋯+ 2 )
2
= 𝐶. Axioma de un poliedro.
- De 3), 𝘚 = 180°(2𝐴) ‒ 180°(2𝐶). Sustitución.
- 𝘚 = 180°(2)(𝐴 ‒ 𝐶) = 360°(𝐴 ‒ 𝐶). Distributiva y multiplicación de un número por un ángulo.
- 𝐶 + 𝑉 = 𝐴 + 2 ⇒ 𝐴 ‒ 𝐶 = 𝑉 ‒ 2. Por definición.
- en 5), 𝘚 = 360°(𝑉‒ 2 ). Sustitución. LQQD.
Practicamos juntos
- En un poliedro convexo, la suma del número de caras, vértices y aristas es 102. ¿Cuántas caras
tiene el poliedro si la suma de las medidas de los ángulos internos de todos ellos es 9 360°?
A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28
- Un poliedro de n vértices está conformado por 6 triángulos, 8 cuadriláteros y 10 pentágonos.
Determine n.
A) 19 B) 24 C) 28 D) 35 E) 40
- Los ángulos de todas las caras de un prisma suman 13 680°. ¿Cuántas diagonales tiene el
polígono de cada una de las bases?
A) 100 B) 120 C) 150 D) 170 E) 200
- Las caras de un icosaedro regular son triángulos equiláteros. Determine cuántas aristas
concurren en un vértice cualquiera.
A) 4 B) 5 C) 3 D) 2 E) 1
Forma, movimiento y localización, y sus fundamentos
para el aprendizaje y enseñanza II
- Demostrar que en todo tetraedro trirectángulo se cumple que el cuadrado del área de un cara
cateto es igual al área de la cara hipotenusa multiplicado por el área de la proyección de la cara
cateto sobre la cara hipotenusa.
