¡Descarga Transformación de ecuaciones de curvas cónicas mediante traslación y rotación de ejes - Pr y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Dr. César E. Torres Ledesma
Br. Oliverio Pichardo Diestra
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Ing. Mecánica
Práctica 4
Nota: Usar procedimientos vectoriales para desarrollar los ejercicios. Evitar solo hacer uso de procedimientos algebraicos.
- En cada uno de los ejercicios transfórmese la ecuación dada trasladando los ejes coordenados al nuevo origen
a ) xy + 3x − 2 y − 7 = 0, O = (2, −3). b ) 4 x^2 + 9y^2 + 16x − 36 y + 61 = 0, O = (− 2 , 3) c ) 3 xy + 15x − 6 y − 31 = 0, O = (2, −5).
- En cada uno de los ejercicios, por una translación de los ejes coordenados, transfórme la ecuación dada en otra que carezca de términos de segundo grado y términos de primer grado
a ) 4 x^2 − 12 y^2 + 12x − 3 y − 10 = 0. b ) 4 y^3 − 24 y^2 + 3x + 48y − 26 = 0.
- ¿A qué punto debe trasladarse el origen para eliminar los términos lineales en cada una de las siguientes ecuaciones?¿Cuál es cada una de las ecuaciones transformadas?
a ) 9 x^2 − 16 y^2 + 90x + 192y − 495 = 0. b ) xy + 8x − 7 y − 59 = 0. c ) 30 xy + 24x − 25 y − 80 = 0
- En cada uno de los ejercicios, por una translación de los ejes coordenados, trans- fórme la ecuación dada en otra que carezca de términos de primer grado y término independiente
a ) 4 x^3 − 24 x^2 + 48x − y^2 − 2 y − 33 = 0. b ) 3 y^3 − 36 y^2 − 2 x^2 + 144y − 194 = 0. c ) 2 x^3 − 12 x^2 + 24x − y^2 − 2 y − 17 = 0. d ) y^3 − 12 y^2 + 8x^2 + 16x + 48y − 56 = 0.
- En cada uno de las siguientes problemas, se dan las ecuaciones de una curva en los sistemas XOY y X′O′Y ′. Hallar en cada caso, las coordenadas del nuevo origen
a ) 3 xy − 5 x + 3y − 8 = 0, 3 x′y′^ + x′^ − 3 = 0. b ) 2 x^2 + 2y^2 − 6 x + 10y + 8 = 0, x′^2 + y′^2 + x′^ + 3y′^ = 0.
c ) 2 x^2 + 4xy − 3 x + 4y − 2 = 0, x′^2 + x′y′^ + 4y′^ + 1 = 0.
- Hallar la ecuación en la que ax + by + c = 0 es transformada si el origen es trasladado a (bh, −ah − c/b).
- Por una traslación de ejes eliminar los términos lineales de la ecuación E(x, y) : xy + ax + by + c = 0.
- La ecuación y′^2 = − 16 x′^ está referida al sistema X′O′Y ′^ de coordenadas, referirla al sistema XOY sabiendo que la distancia entre los orígenes es 5 u y que la abscisa del nuevo origen es -3.
- Demostrar que la tangente a la curva de ecuación Ax^2 +Bxy+Cy^2 +Dx+Ey+F = 0, en cualquier punto de ella tiene por ecuación a:
Ax 1 +
B
(x 1 y + y 1 x) + Cy 1 y +
D
(x + x 1 ) +
E
(y + y 1 ) + F = 0.
Sugerencia: Realice una traslación de ejes con (h, k) = (x 1 , y 1 ).
- Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva C : x^2 + y^2 + 4x − 10 y + 21 = 0 que son paralelas a la recta L : x − y + 5 = 0. Usar transformación de coordenadas.
- Determinar una ecuación en las variables x y y de la tangente a la curva de la ecuación dada, en el punto indicado.
a ) x^2 + y^2 − 3 x + 7y + 2 = 0, T (2, 0). b ) − 2 x^2 + y^2 + 3x − 4 y + 2 = 0, T (− 2 , −2). c ) 3 x^2 − y^2 − 12 x + 2y = 0, T (4, 2). d ) 6 x^2 + y^2 − 2 xy + 2x + 3y − 60 = 0, T (3, 0).
- Determinar la nueva ecuación de la recta L : 4x+3y −5 = 0, después de una rotación según un ángulo θ = arctg(3/4).
- Por una rotación de ejes coordenados, transformar la ecuación L : x − 2 y − 3
en otra que carezca del término x.
- Si al efectuar una rotación de ejes según un ángulo agudo θ, la pendiente de la recta L : 3x + y − 4
2 = 0 es 1 / 2 , calcular el ángulo de rotación θ y la nueva ecuación de la recta L.
- El sistema XY se traslada al punto (− 2 , 1) y luego se rota un ángulo θ, resultando el sistema X′Y ′. En este nuevo sistema la ecuación de la recta L es y′^ = 3x′^ − 2 y un punto sobre la parte positiva del eje Y ′^ es (− 4 , 5) (en el sistema XY ). Hallar en XY la ecuación de la recta L 1 , de pendiente positiva sabiendo que forma un ángulo de 45 ◦^ con la recta L que pasa por L ∩ X′.
- El sistema XOY es rotado en un ángulo α obteniéndose el sistema X′OY ′. EL punto (− 2
3 , 2) se halla en la parte positiva del eje Y ′. Si el sistema X′OY ′. Si el sistema XOY es trasladado al punto P (1,
- con respecto al sistema X′OY ′, se obtiene el sistema X′′P Y ′′. Determinar la ecuación en el sistema original de la recta L cuya ecuación en el sistema X′′P Y ′′^ es x′′^ = − 12.
- El punto medio de una cuerda de una parábola P : x^2 − 2 x − 25 y + 76 = 0 es M (2, 5). Obtener la ecuación de la recta que contiene a dicha cuerda.
- En cada uno de los ejercicios hallar la ecuación tangente y normal a la parábola en el punto de contacto dado
a ) y^2 − 4 x = 0; (1, 2) b ) y^2 + 4x + 2y + 9 = 0; (− 6 , 3) c ) x^2 − 6 x + 6y − 11 = 0; (− 2 , −1)
- Demostrar que la ecuación de la normal a la parábola y^2 = 4px en P = (x 1 , y 1 ) es
y 1 x + 2py = x 1 y 1 + 2py 1
- Dados el segmento AB de extremos A(− 2 , 5) y B(4, 2) y la parábola P : y^2 +4x+4y =
- Hallar sobre la parábola un punto T tal que unido a A y B determine un triángulo cuya área sea mínima. ¿Cuál es el valor del área?
- Hallar la condición sobre λ y B para que la recta y = λx + B sea tangente a
a) y^2 + 4px b) x^2 = 4py
- Sea la parábola y = −x^2 + 4x + 3. Hallar el área del triángulo limitado por la recta y = 2, la tangente y normal a la parábola en el punto de abscisa 3.
- Hallar la mínima distancia entre los puntos de la parábola y^2 = x − 1 y la recta 2 y = x + 6.
- Con referencia a la parábola y^2 − 2 x + 6y + 9 = 0, hallar los valores de k para los cuales las rectas de la familia x + 2y + k = 0:
a ) Cortan a la parábola en dos puntos diferentes b ) Son tangentes a la parábola c ) No cortan a la parábola
- Sea la circunferencia C : x^2 + y^2 − 8 x − 16 y + 76 = 0, y sean A y B dos puntos de ellas cuyas ordenadas son iguales a 7.
a ) Hallar la ecuación de la parábola con vértice V , cuyo lado recto tiene extremos A y B. b ) Hallar la intersección V de las rectas tangentes a dicha circunferencia en los puntos A y B.
- Hallar el ángulo agudo de intersección de la circunferencia x^2 +y^2 = 25 y la parábola x^2 − 4 y − 4 = 0 en cualquiera de sus dos puntos de intersección.
- Sea la parábola P : y^2 − 8 x − 4 y + 12 = 0, cuyo foco es F. Por el punto T (9, 10) se traza la recta tangente L a dicha parábola que intersecta a su directriz en un punto D. Si por T se traza la recta L 1 perpendicular con L y que intersecta al eje de la parábola en el punto N , entonces:
a ) Hallar la medida del ángulo DFT. b ) Demostrar que el triángulo TFN es isósceles.
- En la parábola P 1 : y^2 = 32x se considera: el punto p 0 ∈ P 1 tiene como ordenada a 12, L es la recta tangente a P 1 en p 0 , q 0 es punto simétrico de p 0 con respecto al eje X, L 1 es la recta que pasa por q 0 y es ortogonal a L, T es el punto de intersección de la directriz de P 1 con L 1. Hallar la ecuación de la parábola P 2 cuyo eje focal es la directriz de P 1 , su foco es T , y su directriz es la recta y = 1.
- Una parábola de eje vertical pasa por los puntos A(4, −1), B(6, 2) y C(− 2 , 2). De- terminar la ecuación de la cuerda de contacto relativa al punto P (1, −5).
- Un ingeniero mecánico puede construir un motor para carros fórmula 1 a un costo de S/. 500. 00 cada uno. Si el ingeniero vende los motores a x nuevos soles por unidad, se estima que 300 − 2 x motores se venderán por mes. Calcule el precio de venta por motor que dará al ingeniero las máximas utilidades totales mensuales.
- Hallar el valor de la constante p de modo que la distancia entre las directrices de la elipse (5 − p)x^2 + (14 − p)y^2 = (5 − p)(14 − p), sea de 8 u.
- Una elipse cuyos focos son puntos de trisección del eje mayor, tiene su centro en el origen y como directriz la recta x = 9. Hallar la longitud del eje menor.
- Determinar la excentricidad de la elipse si:
a ) su eje menor se ve desde uno de los focos formando un ángulo de 60 ◦. b ) el segmento entre los focos se ve desde los vértices del eje menor formando un ángulo recto. c ) el segmento de la perpendicular bajada desde el centro de la elipse a su directriz se divide por la mitad en el vértice de la elipse.
- Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos y vértices coinciden con los focos y vértices de las parábolas P 1 : y^2 + 4x − 12 = 0 y P 2 : y^2 − 4 x − 12 = 0.
- Hallar la ecuación de la cuerda focal de la elipse E : 3x^2 + 4y^2 = 8 cuya longitud es de 7 u.
- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos sobre el eje X, sabiendo que pasa por P (8, 12) y que la distancia desde P al foco izquierdo es 20.
- B 1 y B 2 son los extremos del eje menor y P un punto de la elipse b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 , a > b. Si B 1 , P y M son tres puntos colineales, así como B 2 , N y P , siendo M y N puntos del eje focal, demostrar que OM × ON = a^2 , donde O es el centro de la elipse.
- Sea la elipse E : b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 y L una recta tangente a E que forma con los ejes coordenados un triángulo isósceles. Hallar la distancia del centro de la elipse a la recta L.
- Dada la elipse E : 4x^2 + 9y^2 = 72 y un segmento AB de extremos A(3, 6) y B(0, 8), hallar el punto de la elipse que unido a AB determine un triángulo cuya área es un valor extremo (máximo y mínimo). Halle también dichas áreas.
- Demostrar que el área del paralelogramo limitado por las asíntotas de la hipérbola H : b^2 x^2 − a^2 y^2 = a^2 b^2 y las rectas trazadas por cualquiera de sus puntos y paralelas a las asíntotas, es una cantidad constante, igual a ab/ 2.
- Determinar los valores de k de modo que la ecuación ( x −4)
2 9+ k +^
y^2 5+ k = 1^ represente una hipérbola. Gráfique la curva para k = − 7 , halle sus focos, excentricidad y las asíntotas.
- Dada la hipérbola H : b^2 x^2 − a^2 y^2 = a^2 b^2 , (a > b), si α es el menor ángulo que forman sus asíntotas y e es su excentricidad, expresar tg(α) en términos de e.
- Sea H una hipérbola con centro C(2, −3) y con eje transverso vertical de longitud 10 u. Determinar la ecuación de la hipérbola si el segmento intersectado por las asíntotas sobre una directriz tiene longitud igual a la distancia entre las directrices.
- Sea E la elipse cuyos focos son los puntos F 1 (0, 2) y F 2 (− 6 , 2) y el área del rectángulo circunscrito a E, cuyos lados son paralelos a los ejes focal y normal de E es 80 u^2. Sea H la hipérbola cuyas as’intotas son los ejes focal y normal de E, tal que el eje transverso de H tiene pendiente positiva y P (− 7 , 0) ∈ H. Determinar la ecuación de E y las ecuaciones de las directrices de H.
- Determinar la ecuación de la recta que pasa por el foco de mayor abscisa de la hipérbola H : 16x^2 − 9 y^2 − 64 x + 54y − 161 = 0, y que con el eje transverso forma un ángulo de 120 ◦.
- Determinar los valores de n para que cada lado recto de la hipérbola H : x^2 − 4 y^2 − 10 x + 8ny − 55 = 0, de eje focal paralelo al eje X, mida 2 u.
- En la hipérbola x^2 a^2
y^2 b^2
hallar un punto (x 0 , y 0 ) para el cual sus vectores focales son perpendiculares entre si.
- Hallar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas tienen las ecuaciones
y = 2 ∓
(x − 1)
y pasa por el punto (
- Las directrices de una hipérbola tienen como ecuaciones L 1 : 2x + y − 4 = 0 y L 2 : 2x + y + 6 = 0 respectivamente. Si uno de sus focos es F 1 (2, 5), determinar la ecuación de dicha hipérbola.
- Los vértices de una hipérbola están en los puntos V 1 (4, 3) y V 2 (− 2 , 1) y su excentri- cidad es e = 3. Determinar la ecuación del eje focal, las coordenadas de los focos, las ecuaciones de las directrices y la ecuación de la hipérbola.
- Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto de contacto dado
a ) 25 x^2 − y^2 = 100, (− 3 , 6
b ) 4 y^2 − x^2 = 1, (− 1 , −
√ 2 2 ) c ) 4 x^2 − 3 y^2 = 24, (3, 2)
- Sea la hipérbola H : 16x^2 − 9 y^2 = 144. Si por N (0, 3) se traza una recta L perpen- dicular a N F 2 , siendo F 2 el foco izquierdo de H.
a ) Demostrar que el punto L ∩ eje focal pertenece a la directriz correspondiente al foco F 1 b ) Demostrar que L es tangente a la hipérbola y hallar el punto de contacto.
- Sea P 0 (x 0 , y 0 ) un punto exterior a la hipérbola H : x^2 a^2
y^2 b^2 = 1. Demostrar que la ecuación de la cuerda de contacto T S para la hipérbola H está dada por L : x 0 x a^2
y 0 y b^2
- Calcular el área del triángulo formado por las asíntotas de la hipérbola
x^2 4
y^2 9
y la recta 9 x + 2y = 24.
- Hallar la ecuación de dos rectas perpendiculares trazadas desde el foco derecho de la hipérbola x^2 16
y^2 9
a sus asíntotas.
x^2 9
y^2 16
- El punto (1, −2) pertenece a una hipérbola, la cual tiene como uno de sus focos (− 2 , 2), teniendo por recta directriz respecto a ese foco 2 x − y − 1 = 0. Determinar la ecuación de la hipérbola.
- El centro de una hipérbola es el origen, su recta focal es uno de los ejes coordenados y una de sus asíntotas es la recta 2 x− 5 y = 0. Determinar la ecuación de la hipérbola H, suponiendo que (4, 6) ∈ H.
- Determinar el ńgulo de intersección de las asíntotas de la hipérbola
9 x^2 − y^2 − 36 x − 2 y + 44 = 0
