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SEGUNDA TAREA DE CALCULO III
Leidy Katherin Narvaez (2140037-3753)
Universidad del Valle Cali, Colombia
E-mail:
leidy.katherin.narvaez@correounivalle.edu.co
Fecha: 2 1 /04/
12. Determine con cuatro decimales la longitud de la curva de intersección del cilindro 4x
2
+y
2
=4 y
el plano x + y + z = 2.
Solución:
Cilindro
2
2
Plano
- Utilizamos la ecuación del cilindro y la usamos en dos dimensiones que sería la ecuación
general de la elipse.
2
2
2
2
- Convertir la ecuación del cilindro a la forma de la ecuación general de la elipse, dividimos
toda la ecuación entre 4.
2
2
2
2
2
2
2
- Reescribimos la ecuación para hallar a y b y así usar la ecuación general de la elipse
- Con las ecuaciones paramétricas de la elipse
𝑟(𝑡) = 𝑎 cos(𝑡), 𝑏 sin(𝑡)
- Reemplazamos en x & y con la parametrización de la elipse
𝑟(𝑡) = cos(𝑡), 2 sin(𝑡)
- Para encontrar z usamos la ecuación del plano despejando z
- Reemplazamos en x & y con la parametrización de la elipse, reemplazamos en r(t) los valores
hallados en z y encontramos la curva de intersección del cilindro y el plano.
𝑟(𝑡) = cos(𝑡), 2 sin(𝑡), 2 − cos(𝑡) − 2 sin(𝑡)
- Para que t recorra toda la elipse este varía entre
- Posteriormente se halla el valor de la longitud de la curva, por ende, el primer paso es sacar
la derivada 𝑟(𝑡).
𝑟′(𝑡) = − sin(𝑡), 2 cos(𝑡) , sin(𝑡), − 2 cos(𝑡)
Con el resultado de la derivada, sacamos la longitud de arco
𝐿 = ∫ √(− sin(𝑡))
2
2
2
) +(sin(𝑡))
2
2 𝜋
0
𝐿 = ∫ √sin (𝑡)
2
- 4 cos (𝑡) + 4 cos (𝑡) + sin (𝑡)
2 2 2
2 𝜋
0
Figura 3. Código en Wolfram y grafica 3D de la intersección
Figura 4. Intersección del cilindro 4x2 +y2 =4 y el plano x + y + z = 2.
16. Reparametrice la curva:
2
2
a. Con respecto a la longitud de arco medida desde el punto (1, 0) en la dirección de t creciente.
Solución:
✓ Se realiza la resta de fraccionarios del primer término y se simplifica hasta su forma más
simple.
2
2
2
2
2
2
✓ Derivamos r(t)
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
✓ Sacamos la norma del resultado de la derivada de la función.
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
𝑡
0
2
𝑡
0
2
𝑡
0
✓ A continuación, para la reparametrizacion se despeja t y se sustituye en la simplificación de
la curva.
✓ Reemplazamos en la función principal
2
2
1 + (+tan (
s
2
2 tan (
s
1 + (+tan (
s
2
✓ Después de la sustitución, simplificar a cada termino de 𝒓(𝒔) de manera individual
2 tan (
s
1 + (+tan (
s
2
✓ Utilizando la identidad pitagórica tan 𝜃 + 1 = sec 𝜃
2 2
2 tan (
s
sec (
s
2
✓ Usamos la ley de la oreja
2 sin (
cos (
cos (
2
✓ Se cancela el coseno del denominador con uno de los cosenos del numerador.
𝑟(𝑠) = 2 sin (
) cos (
✓ Se utiliza la identidad trigonométrica de ángulos múltiples, sin( 2 𝜃) = 2 sin(𝜃) cos(𝜃), el
resultado 𝑟(𝑠) es igual con la excepción que el Angulo es diferente, por ende, para poder
usarla tenemos que tener lo mismo en el lado izquierdo de la ecuación,
Entonces,
𝑟(𝑠) = 2 sin (
) cos (
) = sin
✓ Simplificar el otro termino de 𝒓(𝒔)
1 + (+tan (
s
2
sec (
s
2
41. La gráfica de 𝑟(𝑡) = 〈𝑡 −
3
2
3
2
𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑡〉 se muestra en la figura 13.1.12.
a. ¿Dónde piensa usted que la curvatura es mayor?
b. Use un SAC para determinar y graficar la función curvatura.
c. ¿Para cuáles valores de t la curvatura es mayor?
sin(𝑡), 1 −
cos(𝑡), 𝑡⟩
- Para hallar la curvatura de r(t), usamos la fórmula de la curvatura
|𝑟′(𝑡) × 𝑟′′(𝑡)|
3
✓ Se realizo la primera y segunda derivada de r(t)
cos(𝑡),
sin(𝑡), 1
) sin(𝑡), (
) cos(𝑡), 0 )
✓ Se realizo el producto cruz de r’(t) y r’’(t)
r’(t) × r’’(t)=
[
𝒾
𝒿
𝓀
3
2
cos 𝑡
3
2
sin 𝑡 1
3
2
sin 𝑡
3
2
cos 𝑡 0
]
r’(t) × r’’(t) =
𝒾
→ [
sin 𝑡 1
cos 𝑡 0
] −
𝒿
→ [
cos 𝑡 1
sin 𝑡 0
] +
𝓀
→ [
cos 𝑡
sin 𝑡
sin 𝑡
cos 𝑡
]
r’(t) × r’’(t) =
𝒾
cos 𝑡) −
𝒿
sin 𝑡) +
𝓀
cos 𝑡 −
cos 𝑡 − (
sin 𝑡
2
2
✓ Se saca factor común de (−
9
4
) y queda la identidad trigonométrica fundamental.
r’(t) × r’’(t) =
𝒾
cos 𝑡) −
𝒿
sin 𝑡) +
𝓀
cos 𝑡 −
(cos 𝑡 + sin 𝑡
2 2
r’(t) × r’’(t) =
𝒾
cos 𝑡) −
𝒿
sin 𝑡) +
𝓀
cos 𝑡 −
✓ Se realiza la norma de r’(t)
cos(𝑡))
𝟐
sin(𝑡))
𝟐
1 − 3 cos 𝑡 +
cos 𝑡 +
2
sin 𝑡 + 1
2
′
1 − 3 cos 𝑡 +
(cos 𝑡
2
2
− 3 cos 𝑡
✓ Se saca la norma del producto cruz |𝒓′(𝒕) × 𝒓′′(𝒕)|
𝑟′(𝑡) × 𝑟′′(𝑡)
cos 𝑡 +
2
sin 𝑡 +
2
cos 𝑡 −
2
|𝑟′(𝑡) × 𝑟′′(𝑡)| =
cos 𝑡 +
2
|𝑟′(𝑡) × 𝑟′′(𝑡)| =
cos 𝑡 +
2
✓ Con los resultados encontrados, reemplazamos en la fórmula de la curvatura
|𝑟′(𝑡) × 𝑟′′(𝑡)|
3
PlotRange - > All,
BoxRatios - > {1, 1, 1},
PlotLabel - > "Curva r(t)"],
"r-t-plot"]
Figura 6. La curvatura
67. La molécula del ADN tiene la forma de una hélice doble (véase la figura 3 de la página 850). El
radio de cada hélice es de alrededor de 10 ángstroms (1 Å= 10
cm). Cada hélice se eleva alrededor
de 34 Å durante cada vuelta completa, y hay unas 2.9× 10
8
vueltas completas. Estime la longitud de
cada hélice.
✓ Una hélice es una curva C en el espacio de manera que, respecto a una recta r fijada, la recta
tangente a cada punto de C forma un ángulo constante con la recta r.
𝐿 = 34 ( 29 × 10
8
1 vuelta completa son 34 Å
✓ Vista la molecula desde arriba del plano corresponde a una circunferencia de radios 10
✓ Se usa la ecuacion parametrica de la helice para representar la curva en el plano o en el
espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una
variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una
función dependiente del parámetro.f(x, y, z) = r ∙ cos(t)𝒾 + r ∙ sin(t 𝒿) + c ∙ t𝓀
f(x, y, z) = 10 cos(t)𝒾 + 10 sin(t 𝒿) + (
) ∙ t𝓀
L = ∫
f(x'(t), y'(t), z'(t))
b
a
dt
✓ Definimos los limites de integracion:
a = 0
b =
2. 9 × 10
8
∙ 2 π
✓ Como el radio es 10 ángstroms, la ecuación queda:
𝑟(𝑡) = 〈 10 cos(t)𝒾 + 10 sin(t 𝒿) + (
) ∙ t𝓀〉
− 10 sin
t
t
✓ Se realiza el cambio de unidad de Ángstrom a cm para la facilidad de los cálculos posteriores,
el límite de integración va de cero hasta la dimensión de cada vuelta completa con la totalidad
de vueltas de la hélice.
((− 10 sin(t)))
2
2
34
2 𝜋
2
- 9 × 10
8
∙ 2 π
0
dt
sin t
2
2
2
- 9 × 10
8
∙ 2 π
0
dt
2
3
4
5
✓ Se evalúa 𝑃( 0 ) ya que tenemos una ecuacion con 5 variables por esto se deben encontrar las
incógnitas, para esto empezamos a evaluar la ecuación.
✓ Para hallar 𝒷 encontramos la derivada de 𝑃′(𝓍) y la evaluamos en 𝑃′( 1 )
2
3
4
✓ Sacamos la segunda derivada de 𝑃′(𝓍)
2
3
4
2
3
✓ Con la fórmula de la curvatura hallamos el valor de 𝒸
2
3
2
2
4
6
8
2
3
2
2
4
6
8
2
2
3
✓ Como ya hallamos el valor de 𝒸 = 0 con ese valor lo reemplazamos en 𝓀
✓ Después de hallar 3 de las 5 incógnitas iniciales, nos queda un sistema de ecuaciones 3 x 3.
✓ Se usa el método de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones.
1
2
2
3
3
3
✓ De la ecuación 3 del sistema (1) encontramos con la variable 𝓍 3
3
3
3
4
5
CloudDeploy[Plot[6 x^5 - 15 x^4 + 10 x^3, {x, 0, 1}, PlotStyle - > Blue,
AxesLabel - > {"x", "P(x)"},
PlotLabel - > "Polinomio P(x)"],
"polynomial-plot"]
✓ Este código desplegará el polinomio P(x) en Wolfram Cloud, trazando el rango de x de 0 a
Figura 8. Polinomio P(x) de grado 5
❖ Problema adicional:
Considere la curva
((( 4 + cos(18t))cost)i + ((( 4 + cos(18t))sint)j + (
3
10
sin(18t))k, t ∈ [ 0 ,2π]
Describa la curva con sus palabras.
a. Calcule su curvatura en cada punto.
b. ¿Cuál es su longitud?
c. ¿Qué puede decir de la curvatura de la curva?
✓ Para calcular la curvatura de una curva paramétrica en tres dimensiones, utilizaremos la
fórmula de la curvatura. Dada una curva paramétrica r(t)=(x(t),y(t),z(t)), la curvatura k se
calcula con la siguiente ecuación:
𝑟′(𝑡) × 𝑟′′(𝑡)
3
✓ Donde r′(t) y r′′(t) son la primera y segunda derivadas de r(t), respectivamente, y × denota
el producto cruzado de vectores.
✓ Primero, calculemos las derivadas de r(t).
✓ Para r(t)= [x(t), y(t), z(t)]:
x(t)=4 + cos (18t)⋅cos (t)
y(t)= 4 + cos (18t)⋅sin (t)
sin ( 18 𝑡)
✓ Calcularemos las derivadas r′(t) y r′′(t).
✓ Para x'(t), la derivada de x(t) con respecto a t:
x(t) = 4 + cos(18t) ∙ cos(t)
x'(t) = - 18 sin(18t) ∙ cos(t) - cos(18t) ∙ sin(t)
Para y'(t), la derivada de y(t) con respecto a t:
y(t) = 4 + cos(18t) ∙ sin(t)
y'(t) = - 18 sin(18t) ∙ sin(t) + cos(18t) ∙ cos(t)
Para z'(t), la derivada de z(t) con respecto a t:
sin( 18 𝑡)
cos
