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Maximización de ganancias en la
producción de salchichas
Solución: Maximización de ganancias en la
producción de salchichas
Función de ganancia
La función de ganancia se define como: G(x) = x * p(x) - c(x) Donde: - x es la cantidad de salchichas producidas - p(x) es el precio de venta de las salchichas - c(x) es el costo de producción de las salchichas
Sustituyendo los valores dados, tenemos: G(x) = x(20 - x/2) - (10 + 2x) G(x) = 20x - x^2/2 - 10 - 2x G(x) = 18x - x^2/
Puntos críticos
Derivamos la función de ganancia para encontrar los puntos críticos: G'(x) = 18 - x = 0 x = 18
Evaluamos la segunda derivada en el punto crítico: G''(x) = -1 G''(18) = -
Al ser G''(18) < 0, el punto crítico x = 18 corresponde a un máximo.
Solución
Por lo tanto, se debe fabricar x = 18 kg de salchichas para maximizar las ganancias.
El precio de venta en ese punto será: p(18) = 20 - 18/2 = 11 €
La ganancia obtenida será: G(18) = 18(18 - 18/2) - 10 = 329,41 €
Solución: Análisis de la velocidad de
circulación de vehículos
Función de velocidad
La función de velocidad se define como: v(t) = 6t - 0,5t^
Puntos críticos
Derivamos la función de velocidad para encontrar los puntos críticos: v'(t) = 6 - t = 0 t = 6 o t = 4
Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos: v''(t) = -1 v''(6) = 6 > 0, por lo que t = 6 es un mínimo. v''(4) = -6 < 0, por lo que t = 4 es un máximo.
Solución
Por lo tanto, a las 4 de la tarde circulan los vehículos con mayor velocidad, y a las 6 de la tarde circulan con menor velocidad.
Solución: Análisis de la concentración de
microorganismos
Función de concentración
La función de concentración se define como: C(x) = 90 + 15x - 0,75x^
Puntos críticos
Derivamos la función de concentración para encontrar los puntos críticos: C'(x) = 15 - 1,2x = 0 x = 12,
Evaluamos la segunda derivada en el punto crítico: C''(x) = -1,2 C''(12,5) = -1,2 < 0, por lo que x = 12,5 es un máximo.
Solución
Por lo tanto, la concentración de microorganismos crece hasta que hayan transcurrido 12,5 años, es decir, hasta el 1 de julio de 2002. En ese punto, la concentración será de 183,75 microorganismos.
Solución: Análisis de la afluencia y gasto de
clientes
Función de número de clientes
La función de número de clientes se define como: c(h) = -h^2 + 8h
Puntos críticos
Derivamos la función de número de clientes para encontrar los puntos críticos: c'(h) = -2h + 8 = 0 h = 4
Evaluamos la segunda derivada en el punto crítico: c''(h) = -2 c''(4) = -2 < 0, por lo que h = 4 es un máximo.
Función de gasto
La función de gasto se define como: g(h) = 300 - 25h
