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Operaciones lineales en R
n
y sus propiedades
Ejercicios
Objetivos. Aprender a demostrar propiedades de las operaciones lineales en R n .
Requisitos. Propiedades de las operaciones lineales en R^3 y su demostraci´on.
Explicar notaciones y justificar igualdades
Es importante comprender bien el significado de cada notaci´on y justificar correctamente
las f´ormulas.
Ejemplo. Sean α, β, γ ∈ R. Indicar las correspondencias exactas entre las notaciones y
sus significados:
αβ + αγ
α(β + γ)
la suma de los productos αβ y αγ
el producto del n´umero α por la suma β + γ
Ejemplo. Sean α, β, γ ∈ R. Explicar por qu´e α(β + γ) = αβ + αγ:
Por la propiedad conmutativa de la adici´on en R.
Por la propiedad asociativa de la adici´on en R.
Por la definici´on de la multiplicaci´on en R.
#X^ Por la propiedad distributiva en R.
Dos estilos de trabajar con n-tuplas
Primer estilo: escribir tuplas. La n-tupla con componentes a 1 ,... , an se denota bre-
vemente por
[
ak
]n k=1.
- Sea a =
[
ak
]n k= ∈ Rn^ y sea λ ∈ R. Establezca las correspondencias exactas entre las
notaciones y sus significados:
[ λa
]n k=
λ
[
ak
]n k=
el producto de λ por
[
ak
]n k=
la n-tupla con componentes λak
- Sea a =
[
ak
]n k= ∈ Rn^ y sea λ ∈ R. Explique por qu´e λ
[
ak
]n k=
[
λak
]n k=
Por la propiedad conmutativa de la multiplicaci´on en Rn.
Por la definici´on del producto de un vector del espacio Rn^ por un escalar.
Por la propiedad conmutativa de la multiplicaci´on en R.
Por la definici´on de n-tupla.
Segundo estilo: escribir una componente general. Dada una n-tupla a ∈ R n , su
k-´esima componente se denota por ak.
- Sean a ∈ Rn, λ ∈ R y k ∈ { 1 ,... , n}. Establezca las correspondencias exactas entre
las notaciones y sus significados:
(λa)k
λak
la k-´esima componente del producto de λ por a
λ multiplicado por la k-´esima componente de a
- Sean a ∈ Rn, sea λ ∈ R y sea k ∈ { 1 ,... , n}. Explique por qu´e (λa)k = λak:
Por la definici´on del producto de un vector del espacio Rn^ por un escalar.
Por la propiedad conmutativa de la multiplicaci´on en R.
Por la propiedad conmutativa de la multiplicaci´on en R
n .
Por propiedades de sub´ındices.
Definici´on de las operaciones lineales en R
n
- Definici´on de la suma de dos elementos de Rn.
Sean a =
[
ak
]n k= , b =
[
bk
]n k= ∈ Rn. Entonces la suma de a y b se define de la siguiente
manera:
a + b :=
[ ]
k=.
En otras palabras,
a + b ∈ ︸ ︷︷ ︸ ?
y
∀k ∈ { ︸ ︷︷ ︸ ?
} (a + b)k = ︸ ︷︷ ︸ ?
- Definici´on del producto de un n´umero real por un elemento de Rn.
Sean λ ∈ R y a =
[
ak
]n k= ∈ Rn. Entonces el producto de λ por a se define de la siguiente
manera:
λa :=
[ ]
k=
En otras palabras,
λa ∈ ︸ ︷︷ ︸ ?
y
∀k ∈ { ︸ ︷︷ ︸ ?
} (λa)k = ︸ ︷︷ ︸ ?
Demostraci´on de la propiedad asociativa de la adici´on en R
n
- Sean a, b, c ∈ Rn. Demuestre que
(a + b) + c = a + (b + c). (1)
Primera demostraci´on. Usamos la siguiente notaci´on para las componentes de las tuplas
a, b, c:
a =
[
ak
]n k=1,^ b^ =^
[ ]n k=1,^ c^ =^
[ ]
k=.
Vamos a transformar la expresi´on (a + b) + c que est´a escrita en el lado izquierdo de la
f´ormula (1) en la expresi´on a + (b + c) escrita en el lado derecho de la misma f´ormula.
(a + b) + c
(i)
[
ak
]n k=
[
bk
]n k=
[
ck
]n k=
(ii)
[ ]n k=
[
ck
]n k=
(iii)
[
(ak + bk) + ck
]
k=
(iv)
[ ]
k=
(v)
[
ak
]n k=
[ ]n k=
(vi)
[ ]
k=
[ ]
k=
[ ]
k=
(vii) ==== a + (b + c).
Justificaci´on:
(i) Notaci´on para las componentes de las tuplas a, b, c.
(ii) Definici´on de la adici´on en R n .
(iii) Definici´on de la suma de dos elementos de R n .
(iv)
(v) Definici´on de la suma de dos elementos de Rn.
(vi)
(vii)
Demostraci´on de la propiedad distributiva
de la multiplicaci´on por escalares en R
n
con respecto a la adici´on en R
n
- Sean a, b ∈ Rn^ y sea λ ∈ R. Demuestre que
λ(a + b) = λa + λb. (3)
Primera demostraci´on. Usamos la siguiente notaci´on para las componentes de las tuplas
a y b:
a =
[
ak
]n k= , b =
[ ]n k=
Vamos a transformar la expresi´on λ(a + b) escrita en el lado izquierdo de la f´ormula (3)
en la expresi´on λa + λb escrita en el lado derecho de la misma f´ormula.
λ(a + b)
(i) === λ
[
ak
]n k=1 +^
[
bk
]n k=
(ii) === λ
[ ]n k=
(iii)
[
λ(ak + bk)
]
k=
(iv)
[ ]
k=
(v)
[
λak
]n k=
[ ]n k=
(vi) ==== λ
[ ]
k= +^ λ
[ ]
k=
(vii)
Justificaci´on:
(i) Notaci´on para las componentes de las tuplas a y b.
(ii)
(iii) Definici´on del producto por escalares en Rn.
(iv) Propiedad distributiva en R.
(v)
(vi)
(vii)
- Sean a, b ∈ Rn^ y sea λ ∈ R. Demuestre que
λ(a + b) = λa + λb. (4)
Segunda demostraci´on. Primero verifiquemos que las tuplas λ(a + b) y λa + λb son de la
misma longitud. Por la definici´on de las operaciones lineales en R n obtenemos lo siguiente:
a ∈ Rn
b ∈ R n
λ ∈ R
a + b ∈ λa ∈
λb ∈
Ahora elijamos un ´ındice arbitrario k ∈ { 1 ,... , n} y demostremos que la k-´esima compo-
nente de λ(a + b) es igual a la k-´esima componente de λa + λb.
λ(a + b)
k
(i) === λ(a + b)k
(ii) === λ(ak + bk)
(iii)
(iv)
(v)
λa + λb
k
Justificaci´on:
(i) Definici´on del producto por escalar en Rn.
(ii)
(iii)
(iv)
(v) Definici´on de la suma de dos elementos de R n .
