¡Descarga Propiedades de los Números Reales: Un Análisis Detallado para Arquitectura y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
NÚMEROS REALES
El objetivo, es estudiar los números reales con sus operaciones y los distintos
subconjuntos que lo componen.
Históricamente, la primera actividad matemática que realizó el hombre, fue la de contar
objetos, dando lugar a la aparición del:
Conjunto de los número naturales positivos
El conjunto de los números naturales positivos también llamados “enteros positivos” es:
N 4
N ,
N 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,.......... 4 N , 209 N ,
La búsqueda de solución para ecuaciones del tipo:
x ab con a bN y ba
muestra la necesidad de ampliar el conjunto
N , con el agregado de los naturales negativo N y el cero.
El conjunto de los números naturales negativos es:
N 4
N ,
N 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,.......... 4 N , 209 N ,
Y el cero, es un conjunto con un solo elemento: 0 .
Con estos tres conjunto se obtiene el conjunto de los números enteros:
Z
Z ,
Z 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ...... 0 , 1 , 2 , 3 , 4 .......... 4 Z , 27 Z ,
Para resolver ecuaciones de la forma: c *xd con 0 c d Z , tuvo que agregarse
un nuevo tipo de número, los números fraccionarios, obteniéndose.
El conjunto de los números racionales:
3 Q , Q , 2 Q
Q ,
Q ,
; ab Z ; b 0 ; 4 Q , 17 Q , b
a Q
Nota: Los números racionales tienen un desarrollo decimal finito o periódico. Ejemplo:
2 , 37 , 5 , 26 5 , 26262626 ........ 3 , 6 3 , 6666666666 .........
En la antigüedad se conocía longitudes cuya medida eran iguales a 2 , e , , que
no se pueden expresar como número racionales, y se los denomino números irracionales.
El conjunto de los números irracionales tiene un desarrollo decimal infinito y no periódico,
ejemplo:
I 5 ,..... 2 ,,e,...e,......... .
Representado con diagramas de Venn:
N ZQR , IR
Q I , QIR
Ejemplos:
N
Z
Q
I
R
- 1 , 5 , 90 , 5 Q? NO ; 5 Q
2) Q? SI
; 3) 0 R? SI
Z N? NO ; 5 Z y 5 N
N Z? SI ; xN xZ
^ e^ ,,^3 I?^ SI ; 7) ^0 ,e,,^3 I? NO ,^0 ^ I
Representación aproximada en la recta de los números reales.
Propiedades del conjunto de los números naturales
1) La adición o suma es una operación cerrada (el resultado es otro elemento del
conjunto)
a N y bN ab N
No tiene elemento neutro, 0 N
2) El producto es una operación cerrada, a N y bN a*b N
Tiene elemento neutro x N 1 N / 1 xx 1 x
3) La sustracción o resta no es una operación cerrada
si a 12 N y b 30 N ab 12 30 18 N
Definición: Número primo es un número entero que tiene exactamente 4 (cuatro)
divisores : p es primo si
p 1
y sus únicos divisores son 1 y p
(^) . Ejemplos:2,3,5,7,11,13.....
Todo número natural distinto de 1 (uno) se puede escribir como producto de naturales
primos y esta descripción es única salvo el orden de los factores ejemplos:
10 2 * 5 5 * 2 15 3 * 5 5 * 3
Observaciones:
1) Números naturales pares,
2 , 4 , 6 , 8 ,..... , xN/x 2 k, kN o xR/x 2 k,k N
2) Números naturales impares,
1 , 3 , 5 , 7 ,..... , xN/x 2 k 1 ,kN o xN/x 2 k 1 ,kN 0
donde N 0 N { 0 } , ^ xR/x 2 k 1 , k N
3) Números naturales múltiplo de 3 (tres),
3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 ,....... xN/ x 3 k , k N
Conjunto de los número enteros es:
Z N { 0 } N
N opuestos de los números naturales , N x N / x N
2) con bd 0 b*d
a*c
d
c
b
a
3) con b c d 0 b*c
a*d
d
c : b
a
Observaciones:
1) Todo número racional tiene una única representación como fracción irreducible con
denominador positivo ( b
a se dice irreducible si a y b no tienen factores comunes
distintos de 1
(^) )
Ejemplo, 2
2) Todo número decimal periódico puede ser expresado como cocientes de números
enteros, ejmplo
a) (^) 0 , 1 0 , 11111111 .... , x 0 , 1 10 *x 10 * 0 , 1 , 10 *x 1 , 1 operando
9 x 1 x
( x 0 , 1 )
10 *x 1 , 1
b) 1000
c)
99 x 13 x
x 0 , 13
100 *x 13 , 13
0 , 13 0 , 13131313 , x 0 , 13 100 *x 100 * 0 , 13
d)
90 x 11 x
10 x 10 * 0 , 12 1 , 2
100 *x 100 * 0 , 12 12 , 2
0 , 12 0 , 1222222 , x 0 , 12 100 *x 100 * 0 , 12
e) 9900
0 , 3541 0 , 354141414141 .... , x
f) 990
0 , 867 0 , 867676767 .... , x
El conjunto de los números racionales es denso , pues cada vez que tomo 2 (dos)
números racionales siempre encuentro al menos uno entre ellos.
La unión de los conjuntos racionales con los irracionales se obtiene el conjunto de los
números reales, que es completo y denso Q IR.
Propiedades del conjunto de los números reales
a b cR
Propiedad asociativa (S1) a (bc)(ab)c
Propiedad conmutativa (S2) a bba
Neutro para la suma (S3) a R, 0 R/ a 0 0 aa
Existencia del opuesto (S4) a R, (a) / a(a)(a)a 0
Propiedad asociativa (P1) a (bc)(ab)c
Propiedad conmutativa (P2) a bba
Neutro para el producto (P3) a R, 1 R / a* 1 1 *aa
Existencia del inverso (P4)
a R con a 0 , a R / a*a a *a 1
1 1 1
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma (D)
a (bc)aba*c
Propiedades de la relación de igualdad:
1) Reflexión a a
2) Simetría a b ba
3) Transitividad a b , bc ac
4) Uniformidad de la suma si ab acbc
5) Uniformidad del producto si ab acbc
A partir de las propiedades del conjunto de los números reales y las anteriores podemos
deducir las siguientes reglas conocidas de operaciones de los números reales:
1) si ab ac bc
2) a b R , ! x / axb , xb(a) Nota: ! significa “existe un
único”
3) ( ab)ab
4) a * 0 0 a R
5) si a 0 y abac bc
6) si a 0! x / a*x b , x a *b
1
7) ( a)baba*(b)
8) ( a)(b)ab
9) a *b 0 a 0 b 0
Relación de orden en el conjunto de los números reales
Proposiciones válidas para la relación “ < ” que se lee “menor que” tal que satisface los
siguientes axiomas de orden:
Ley de tricotomía: Dado a bR se satisface una y solo una de las siguientes relaciones:
a b , ab , ab
Ley de transitividad: si ab bc ac
Ley de monotonía: si ab abbc ab cR
si ab c 0 acbc a b R
- La potenciación no es distributiva respecto de la suma ni de la resta, es decir: ( a
b)
n a
n b
n a, b R
Ejemplo: (5 + 3)^2 = 8^2 = 64 52 + 3^2 = 25 + 9 = 34
64 34, por lo tanto la potencia no se distribuye con respecto a la suma.
RADICACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Definición: Dado un número natural n 2 y un número real “a”, se llama raíz n-ésima de
“a” al número “b” tal que la potencia n-ésima de “b” es igual a “a”.
a
n
= b b
n
= a , n N, donde “n” se llama índice ; “a” se llama radicando y “b”,
raíz.
Ejemplos: 1) 8 = 2 pues 2^3 = 8 2) 3
3 ^1 pues
(-1/3)^3 = - 1/
"Toda raíz de radicando negativo e índice par no tiene solución en el conjunto de los
números R. En otras palabras, la radicación no es cerrada en R"
Propiedades: La operación radicación verifica las siguientes propiedades:
1) Distributiva respecto del producto:
n n n ab a b siempre que
n n a y b
existan.
2) Distributiva respecto del cociente:
n (^) n n a :b a : b siempre que
n n a y b
existan.
3) Raíz de raíz:
n (^) m n.m a a
Observaciones:
- Toda raíz de radicando negativo e índice par no tiene solución en el conjunto de los
números reales.
Si el índice es impar, la raíz real es única y del mismo signo que el radicando.
Si el índice es par y el radicando positivo, existen dos raíces reales opuestas.
La radicación no es distributiva respecto de la suma o resta:
n n n n n n a b a b , ab a b
- Sea aR; n, m y p N, consideremos
n (^) m n .p m.p a a
¿Es posible obtener una relación entre ambas expresiones? Analicemos los distintos
casos con algunos ejemplos:
8 4 8.^1 /^44. 1 / 4
3 2 3.^42. 4 12 8 5 5 5
Definición: se llaman radicales a las expresiones formadas por el signo radical y una
expresión numérica o literal debajo del mismo.
2 a ;
(^3 ) (^) 3 b 5 a ; 35
- ¿Es siempre posible simplificar un radical? Analicemos los siguientes casos:
a) Sea
(^6 ) 4 , si resolvemos aplicando la definición de potencia y luego la definición de
radicación, tenemos: 4 64 2
(^6 3 )
Ahora, resolvemos multiplicando el índice de la raíz y el exponente del radicando por el
mismo número: 4 4 4 2
6 3 6.^1 /^33. 1 / 3 . Luego, los resultados coinciden.
b) Resolvemos
5 5 ( 2 ) aplicando la definición de potenciación y luego la definición de
radicación:
5 5 5 . Ahora, resolvemos multiplicando el índice de la raíz y el
exponente del radicando por el mismo número: ( 2 ) ( 2 ) 2
5
1
5
1
5 5 . Luego,
los resultados coinciden.
c) Sea
2 ( 2 ) , resolvemos de la misma manera que en los casos anteriores:
2
1
2
1
2 2 . Luego, los resultados no coinciden
No siempre es posible simplificar un radical de radicando negativo.
En general: Si n es impar:
3 3 5 5 5
3 (^3 3 )
Si n es par: 2 64 2 , ( 3 ) 9 3
(^6 6 )
Las Potenciación y Radicación son operaciones inversas.
Racionalización de denominadores
Si el denominador de un cociente contiene un factor de la forma
n k
a , con k n y a 0 ,
entonces al multiplicar numerador y denominador por
n nk a
eliminaremos el radical del
denominador pues
a a a a a
n k n nk n knk n n
Ejemplo:
y
y
y
y
y
y
y y
3 2
3 3
3 2
3 2
3 2
3 3
Si el denominador es de la forma a b se debe multiplicar por la diferencia de los mismos
(conjugado). Análogo procedimiento se utiliza para la resta de radicales en el denominador.
Ejemplos:
log 2 8 = 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 23 = 8
log 3 9 = 2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 3
2 = 9
Log 100 = 2 porque 102 = 100
log 81 3 = 1 / 4 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 81
1 (^4) = 3
- log 1 / 4 2 = −
1 2
1 4
−
1 2 = 4
1 (^2) = (^) √ 4 = 2
Propiedades
log𝑏(𝑚. 𝑛)^ = log𝑏 𝑚 + log𝑏 𝑛
log𝑏(𝑚/𝑛)^ = log𝑏 𝑚 − log𝑏 𝑛
log𝑏 𝑚
𝑛 = 𝑛. log𝑏 𝑚
- log𝑏 𝑎 =
log 𝑎 log 𝑏
ln 𝑎 ln 𝑏
(cambio de base)
ECUACIONES
Definición:
Se llama ecuación toda igualdad donde está definida una, o más variables denominadas
incógnitas de la ecuación. y se representa con una letra.
Nota: Una de las mayores dificultades con que se encuentra un alumno al iniciarlos
estudios formales está en el uso y significa de las letras. El pensamiento formal se logra
cuando se puede manejar elementos abstractos y concretos.
Resolución de ecuaciones
- x 1 x 2 5
- 2 x 3 2 x 5 3) x 16 0
2 4) x x 2 0
2
Los casos 1) y 2) son ecuaciones lineales con una única solución y sin solución
respetivamente (se sugiere hallar los valores de x).
Los casos 3) y 4) son ecuaciones cuadráticas. La primera de ellas se puede resolver
simplemente despejando y en el segundo caso usando la fórmula resolvente para los
trinomios de segundo grado:
𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 donde las raíces son: 𝑥 =
−𝑏±√𝑏^2 − 4 𝑎𝑐 2 𝑎
Si 𝑏
2 − 4 𝑎𝑐 > 0 entonces 𝑥 1 , 2 =
−𝑏±√𝑏^2 − 4 𝑎𝑐 2 𝑎
𝑆𝑖 𝑏^2 − 4 𝑎𝑐 = 0 entonces 𝑥 1 , 2 =
−𝑏 2 𝑎
𝑆𝑖 𝑏^2 − 4 𝑎𝑐 < 0 entonces no tiene solución en los números reales.
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Ejemplos
- log 4 (𝑥 + 1 ) =
1 2
- log 4 𝑥 ↔ log 4 (𝑥 + 1 ) − log 4 𝑥 =
1 2
log 4
1 (^2) ↔ 𝑥 + 1 = 2 𝑥 ↔ 𝑥 = 1
- log 𝑥 + log ( 2 𝑥 − 1 ) = 1 ↔ log[𝑥. ( 2 𝑥 − 1 )]^ = 1 ↔ 𝑥( 2 𝑥 − 1 )^ = 10 ↔ 2 𝑥
2 − 𝑥 −
10 = 0 ↔ 𝑥 1 =
5 2
𝑦 𝑥 2 = − 2 (𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓 ó 𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎). 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 2
- log 6 (log 4 3 𝑥) = 0 ↔ log 4 3 𝑥 = 60 ↔ 3 𝑥 = 41 ↔ 𝑥 =
4 3
- 2
𝑥+ 1 − 16 = 0 ↔ 2
𝑥+ 1 = 2
4 ↔ 𝑥 + 1 = 4 ↔ 𝑥 = 3
- 3 𝑥+^2 + 3 𝑥^ = 270 ↔ 3 𝑥^32 + 3 𝑥^ = 270 ↔ 3 𝑥( 9 + 1 )^ = 270 ↔ 3 𝑥^ = 27 ↔ 3 𝑥^ = 33 ↔
𝑥 = 3
- 3 𝑥+^2 = 155 ↔ 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 log 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 (𝑥 + 2 ). log 3 = log 155 ↔ 𝑥 + 2 =
log 155 log 3
INTERVALOS
Un intervalo es en conjunto de números reales.
Definición:
Se llama intervalo abierto de extremos a y b , con a b , al conjunto de los x que
están entre (^) a y b , sin tener en cuenta los extremos. Notaremos, utilizando la notación
de conjunto C a,b xR / ax b.
Definición:
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b , con ab , al conjunto de los x
que están entre a y b , incluyendo los extremos. Notaremos, utilizando la notación de
conjunto C a,b xR / ax b.
Intervalos semi-abiertos:
Definición:
Se llama intervalo abierto en el extremo b , con ab , al conjunto de los x que
están entre a y b , incluyendo el extremo a. Notaremos, utilizando la notación de
conjunto C a,b xR / ax b.
Definición: Se llama intervalo abierto en el extremo a , con ab , al conjunto de
los x que están entre a y b , incluyendo el extremo b. Notaremos, utilizando la
notación de conjunto C a,b xR/ ax b.
Intervalos infinitos (incluyendo el extremo):
Definición:
Dado un número a se llama intervalo infinito, al conjunto de los x que son igual o
mayores que a. Notaremos, utilizando la notación de conjunto
B a, xR / a x.
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
Definición:
Si x es un número real su valor absoluto se escribe (^) x y se define
x si x 0
x si x 0 x
Ejemplos:
Valor absoluto de un número 10 ( 10 ) 10 0 0 15 15
Hallar el valor absoluto por definición:
x 7 si x 0 x 7
x 7 si x 0 x 7 x 7 ; x 7
Graficamos en la recta real:
- Hallar el valor de la variable x tal que
2 x 1 7 ; 2 x 2 3 ; x 4 8
x 4 si x 4
x 12 si x 4
x 4 8 si x 4
x 12 si x 4
(x 4 ) 8 si x 4 0
x 4 8 si x 4 0
x 4 8
x ( 4 , 4 )
x [ 4 , 12 )
x ( 4 , ) x ( , 4 )
x ( , 12 ) x [ 4 , )
x 4 si x 4
x 12 si x 4
Solución: x 4 , 12
(x 5 ) 2 si x 5 0
x 5 2 si x 5 0
x 5 2
PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
Propiedad 1:
x 0 , xR. Demostración:
x si x 0
x si x 0 x 0
El valor absoluto siempre es positivo.
Propiedad 2:
x 0 , six 0
Demostración:
O
x 0
x 0 si x 0
x 0 si x 0 x 0
Propiedad 3:
x x , xR^ ;
x si x 0
x si x 0
( x) si x 0
x si x 0 x 0
la demostración coincide es igual a x
Otra forma x x ( 1 )x 1 x x
Propiedad 4:
x y yx , x y R^ ;^ y x (xy) xy ,
por propiedad 3
Propiedad 5:
y* x y * x x^ y R
Caso 1: x 0 y 0 , y y , x x , yx yx y * x
xy 0
Caso 2: x 0 y 0 , y y , x x , yx yx y * x
Caso 3: x 0 y 0 , y y , x x , yx y(x) y * x
Caso 4: x 0 y 0 , y y , x x , yx (y)(x) y * x
Propiedad 6:
x y R con y 0 y
x
y
x ;
y
x
y
x
x *y y
x *y x y
x x y
x
y
x
aplicvalorabs porpropa 5
Propiedad 7:
Si b R ; x b bxb
a) Si x b bxb
x b, b x b, 0
x 0 ,b
x b si x 0
x b si x 0
x b si x 0
x b si x 0 x b
b) Si bxb x b
x 0 x x
x 0 x x
x b x b x x
x b x x b
Propiedad 8:
Si b R ; x b xb xb
a) Si x b bxb
x , b b, x , b
x b,
x b si x 0
x b si x 0
x b si x 0
x b si x 0 x b
- 3 x 2 5
a b
a b
a b
a b 6 x 2 3 x 4 ; a b
6 x 2 3 x 4 ; 6 x 3 x 4 2 ; 3 x 6 ; x 2
6 x 3 x 4 2 ; 9 x 2 ; x
6 x 2 3 x 4 ; 6 x 2 3 x 4 ;
Solución:
x
- 4 3 5 x 8. Planteo 4 3 5 x 3 5 x 8
Aplicando propiedades:
4 3 5 x ; 3 5 x 4 3 5 x 4
Intersección
3 5 x 8 ; 8 3 5 x 8
Entornos: Se llama entorno de centro c y radio r, al intervalo abierto (𝑐 − 𝑟; 𝑐 + 𝑟).
También pueden expresarse con ayuda de valor absoluto. Por ejemplo el intervalo de centro
0 y radio r, sería (−𝑟; 𝑟) y expresado como valor absoluto sería |𝑥| < 𝑟.
Es decir, serían todos los números reales cuya distancia al 0 no supera las r unidades. Por
ejemplo, el intervalo de centro 0 y radio 3 sería (-3;3). Observemos que cualquier número
que esté dentro de ese intervalo se encuentra a una distancia menor que 3 unidades
respecto del cero.
Del mismo modo, |𝑥 − 𝑐| < 𝑟 significa que estamos refiriéndonos a los números cuya
distancia al centro a no supera las r unidades.
Análogamente, podríamos pensar que los números cuya distancia al centro a se encuentre
a más de r unidades se podría expresar |𝑥 − 𝑐|^ > 𝑟.
Ejemplo 1: Expresar como valor absoluto los números cuya distancia a 5 sea menor o igual
a 4 unidades.
Evidentemente el centro es c=5 y el radio r=4, y el intervalo es (5-4;5+4), es decir (1;9). Es
fácil comprobar que cualquier número que pertenezca al mismo está a menos de 4 unidades
de 5, por ejemplo el número 7 está a 2 unidades.
En valor absoluto es |𝑥 − 5 |^ < 4.
Ejemplo 2: Expresar como valor absoluto los números que pertenecen a
En este caso estamos hablando de los números anteriores a - 2 y superiores a 4. Es
conveniente encontrar el punto medio entre ellos, simplemente como un promedio. El centro
a sería 𝑐 =
− 2 + 4 2
= 1 y el radio es la distancia entre el 4 y el 1, es decir 3 unidades. 𝑟 = 4 −
A partir de estos ejemplos surge claramente que si estamos ante intervalos de la forma
a) (𝑎; 𝑏)^ 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑐 =
𝑎+𝑏 2
𝑦 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑟 = 𝑏 − 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 |𝑥 − 𝑎|^ < 𝑟.
b) (−∞; 𝑎)𝑈(𝑏; +∞)^ 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑦 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 |𝑥 − 𝑎|^ > 𝑟.
CONJUNTOS ACOTADOS
Definición: Sea A R con AO , se dice que c es una cota superior de A si
x c xAa, b
Definición: Sea A R con AO , se dice que b es una cota inferior de A si
x b xA a, d
Definición: Sea A R con AO , se dice que A está acotado superiormente si
A ^ a, b^ tiene alguna cota superior
Definición: Sea A R con AO , se dice que A está acotado inferiormente si
A a, b^ tiene alguna cota inferior
a b cc
b a d
a b c
b a d
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
Propiedad 1:
^
n
i 1
n
i 1
i
n
i 1
ai bi ai b
Propiedad 2:
ab a b , a R
n
i 1
n
i 1
i i
Propiedad 3:
n
i 1
b b b b b b b ............ b n b
Ejemplo:
1 ) x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x n
n
i 1
i
n
i 1
2 i
n
i 1
n
i 1
i
n
i 1
2 i
n
i 1
i
2 i
n
i 1
2 (^) i ^
Ejercicios:
1 ) x 1 ; 2 ) 6 x 1 ; 3 ) (i x 3 )
i
7
i 1
4
i 1
i
4
i 1
i
^ ^
; 5 ) Calcular 5 y 7 si y 17 i
i 4 a 4 )
6
n 2
n
6
n 2
n
5
i 1
3
