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Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Interpretación geométrica de la suma y el producto
Si
1
z y
2
z son complejos, ¿qué representa el número
1 2
z + z
. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos
1 2
λz + μz si λ y μ son reales y verifican λ + μ= 1?
Solución:
Gráficamente el afijo del número complejo
1 2 1 2 1 2
z z x x y y
i
representa el punto medio del vector que une el origen con el afijo del número
complejo
1 2
z +z
1 2
λz + μz son los puntos de la recta
1 2 1 2 1 2 1
λz + μz = 1 − μ z + μz = z + μ z −z
es decir, la recta que pasa por
1
z y cuyo vector director es
2 1
z − z.
Demuéstrese que si los puntos
1
z ,
2
z ,
3
z son los vértices de un triángulo equilátero, entonces:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
z + z + z = z z + z z +z z
3 1
2 1
arg( )
3 1 3 1
3
arg( )
2 1
2 1
i z z
i
i z z
z z e z z
e
z z
z z e
π
−
−
( )
( )
1 2
3 1
arg
1 2 1 2
3
arg
3 2
3 2
i z z
i
i z z
z z e z z
e
z z
z z e
π
−
−
ya que
3 1 2 1
arg arg
z z z z
π
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Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Números Complejos
3 2 1 2
arg arg
z z z z
π
Por lo tanto,
3 1 1 2 2 2 2
3 1 3 2 3 2 1 2 1 2 1 1 2
2 1 3 2
z z z z
z z z z z z z z z z z z z
z z z z
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
⇒ z + z + z = z z + z z +z z
Veamos si es cierto o no el recíproco, es decir, veamos si es cierto que dados
1
z ,
2
z ,
3
z son
los tres diferentes verificando
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
z + z + z = z z + z z + z z entonces forman un
triángulo equilátero.
Se realiza la traslación del triangulo llevando zo al origen:
1
z = z − z. Los números son
ahora:
{ }
2 1 3 1 2 3
0, z − z , z − z = 0, z ,z
Entonces, la igualdad
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
z + z + z = z z + z z + z z se transforma en
2 3 2 3
z z = z +z
despejando
( )
3
*2 * * *2 * * *2 *
3 2 3 2 3 2 2 2
resolvemos 2
la ecuación
de segundo
grado en z
z − z z + z = ⇒ z = z + z − z ⇒
( )
3 2 2 3 2
z z i z z z i
Esto significa que
3
z es
2
z girado
π
radianes (60 grados) y como
± i = se tiene
que
3 2
z = z. Por lo tanto,
{ }
2 3
0, z ,z forman un triángulo equilátero lo que significa que
{ }
{ }
1 2 1 2 1 1 1 2 3
z , z + z , z + z − z = z , z ,z.
Un triangulo equilátero tiene su centro en el origen y un vértice en el punto (1,0). Determinar los otros
dos vértices.
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Ejercicios: Números Complejos
z z z z
a z z b c d az z bz bz ciz ciz d
i
⇔ azz + z b ( − ci ) + z b( + ci) + d= 0
Módulo
Indicar si es correcto o falso el enunciado siguiente, razonando la respuesta:
Sean
1 2
z ,z ∈ » de módulo 1, entonces
1 2 1 2
z + z = 2 ⇔ z =z
⇒ Como
1 2
z ,z ∈ » de módulo 1, llamando
1
φ = arg z y
2
ψ = arg z en forma
exponencial serán
1
i
z e
φ
= y
2
i
z e
ψ
=. Luego,
( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
z + z = z + z z + z = z + z z + z =
1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1
= z z + z z + z z + z z = 2 + z z +z z
En consecuencia,
( )
1 2 2 1
1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 4 1 Re 1
z z z z
z z z z z z z z
( )
( )
Re 1 cos 1 2
i
e k
φ ψ
φ ψ φ ψ π
−
y, por tanto, como
1
i
z e
φ
= y
2
i
z e
ψ
= la última afirmación es lo mismo que decir,
1 2
z = z.
⇐ La implicación en el sentido ⇐ es trivial ya que
si
1 2
z = z entonces
1 2 1
z + z = 2 z, y, por tanto
1 2 1
z + z = 2 z = 2
Otra forma.- También puede realizarse la demostración simplemente operando en forma
binómica. Teniendo en cuenta que
1
z y
2
z son de módulo unidad su representación es
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Fundamentos Matemáticos I
1 2
z = cos φ + isen φ z = cosψ +isenψ
se cumplirá
2 2
1 2
2 = z + z = cos φ + cosψ + sen φ +senψ
operando,
2 2 2 2
2 = cos φ + cos ψ + 2 cos φ cos ψ + sen φ + sen ψ + 2 sen senφ ψ=
= 2 + 2 cos φ cos ψ + sen senφ ψ = 2 1 + cos φ −ψ
Luego,
2
1 2 1 2
2 = z + z ⇔ 4 = z + z ⇔ 1 = cos φ − ψ ⇔
1 2
1 2
1
por hipótesis
z z
ϕ ψ k π ϕ ψ k π z z
= =
y, por tanto
1 2
z = z.
Dos números complejos no nulos son tales que
1 2 1 2
z + z = z − z. Probar que
1
2
z
z
es imaginario.
Método 1.- Por hipótesis,
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
z + z = z − z ⇔ z + z = z − z ⇔
1 2 1 2 1 2 1 2
⇔ z + z z + z = z − z z − z ⇔
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2
⇔ z z + z z + z z + z z = z z − z z − z z + z z ⇔
( ) ( )
1 2 2 1 1 2
⇔ 2 z z + z z = 0 ⇔ Re z z = 0
luego
( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1
2 2 1
2 2
1
1 1
1 1
Re z z i Im z z Im z z
z z z
i
z
z z
z z
donde se ha aplicado que
( ) 1 2
Re z z = 0 y, por tanto,
1
2
z
z
es imaginario.
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Fundamentos Matemáticos I
Luego, los valores pedidos son
a = b=
Lugares geométricos
Describir los conjuntos de puntos del plano determinados por las siguientes ecuaciones
(a) z − 2 i ≤ 1
Sea z = a + bientonces z − 2 i = a + (b − 2)i, se cumplirá
2 2 2 2
z − 2 i ≤ 1 ⇔ a + (b − 2) ≤ 1 ⇔ a + (b − 2) ≤ 1
El conjunto buscado es el interior del círculo de centro (0,2) y radio 1.
(b) z − 2 > z− 3
Sea z = x + iy entonces z − 2 = ( x − 2)+ iy y z − 3 = ( x − 3)+ iy, sus módulos
2 2 2 2
z − 2 = (x − 2) + y z − 3 = (x − 3) +y
y por tanto,
2 2 2 2
z − 2 > z − 3 ⇔ ( x − 2) + y > ( x − 3) + y ⇔
2 2 2 2 5
⇔ x + − x + y > x + − x + y ⇔ x > ⇔ x>
La solución es el conjunto
{ }
R = x + i y / x > 5 / 2, x y, ∈ ℜ
(c) z − 1 + z+ 3 = 10
Forma 1: Por definición de elipse se trata de una elipse de focos los puntos 1 y =3 y semieje
mayor 5
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Ejercicios: Números Complejos
Forma 2: Sea z = x + iy, entonces z − 1 = ( x − 1)+ iy, z + 3 = ( x + 3)+ iy, luego
2 2
2 2
z − 1 + z + 3 = 10 ⇔ x − 1 + y + x + 3 + y = 10
Pasando una de las raíces al segundo miembro y elevando al cuadrado
2
2 2
2 2
x 1 y 10 x 3 y
2
2 2 2 2 2
x + 1 − 2 x + y = 100 + (x + 3) + y − 20 x + 3 +y
2
2
− 8 x − 108 = − 20 x + 3 +y
2
2
2 x + 27 = 5 x + 3 +y
Elevando nuevamente al cuadrado,
2 2
2
2 x + 27 = 25 x + 3 +y
2 2 2 2 2 2
4 x + 27 + 108 x = 25( x + 3) + y = 25(x + 9 + 6 x +y)
2 2
21 x + 42 x + 25 y = 504
Completando cuadrados
2 2
21( x + 2 )x + 25 y = 504
2 2
21 ( x + 1) − 1 + 25 y = 504
2 2
21(x + 1) + 25 y = 525
Se trata de la elipse
2 2 2 2
2
x + y x+ y
(d) z z > 4
Sea z = x + iy, z = x − iy entonces
2
2 2
z z > 4 ⇔ x + iy x − iy = x + y = z > 4 ⇔ z > 2
Luego z z > 4 es la región del plano exterior de la circunferencia de centro (0,0) y radio 2.
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Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Números Complejos
Calculamos en primer lugar la expresión de x y de y en función de t. Multiplicando por el
conjugado del denominador
1(2 cos )
(2 cos )(2 cos )
t isent
t isent t isent
2 2 2 2
2 cos 2 cos
5 4 cos 5 4 cos (2 cos ) 4 cos 4 cos
t
t sent t sent
i i
t t t sen t t t sen
Luego
2 cos
5 4 cos 5 4 cos
t sent
x y
t t
Para comprobar que ( )
x y, está en la circunferencia de centro ( )
a b, y radio r basta verificar
que
2 2
2
x − a + y − b = r. En nuestro caso ( )
a b
y
r =. Es evidente que
cualquier punto de la forma
2 cos
5 4 cos 5 4 cos
t sent
t t
cumple la ecuación de la circunferencia. En efecto,
2 2
2
2 2 cos 2
3 5 4 cos 3 5 4 cos
t sent
x y
t t
2
2
2 2
6 3 cos 10 8 cos
(5 4 cos )
9 5 4 cos
t t sen t
t
t
2
2 2 2
2 2
4 5 cos 9 16 25 cos 40 cos 9
9(5 4 cos )
9 5 4 cos
t sen t t t sen t
t
t
2
2
2
25 16 cos 40 cos 1 1
9(5 4 cos )
t t
t
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Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Potencias de exponente natural
Escribir en forma binómica el complejo:
1 cos
1 cos
n
x isenx
z
x isenx
Método 1.- Sea
1
1 cos 1
ix ix ix ix
e e e e
z x isenx i
i
− −
2 2
ix ix
ix
ix ix
e e
e
e e
1
1 cos 1
ix ix ix ix
e e e e
z x isenx i
i
− −
2 2
ix ix
ix
ix ix
e e
e
e e
−
Por lo tanto,
( )
( )
1
1
n n
n ix ix
ix
inx
ix ix
e e
z e
z e
e e z
−
−
Método 2.- Sea
1 1
z = 1 + cos x + isenx z = 1 + cosx −isenx
entonces
1 1
1 1
1
1 1 1
n
n n
n
n n
n
z z
z z
z
z
z z z
Si consideramos que en forma exponencial la expresión de
1
z es
i
re
θ
se tiene
2
2 2
1 1
1
2 2 2
1 1
cos cos 2 2
n
n n n n
n n n n
n
z z r isen r n isen n z
z
r r r
z z
θ θ θ θ
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Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Raíces enésimas
12 Calcular
6
z = 1 − 3 i
Calculando su módulo y argumento
arg
r z
z arctg
π
φ
se tiene que sus raíces sextas son:
2
3
6
6
k
k
z k
π
π
−
(a) Demuestre que la suma de las raíces n-ésimas de la unidad es cero.
(b) Demuestre que el producto de las raíces n- enésimas de la unidad es 1 ó –1.
(a) Las raíces n- enésimas de la unidad son de la forma:
2
k
i
n
k
z e k n
π
Por tanto,
2 2 4 1 1 1
2
0 0
n n n
i i i i
n n n n
k
k k
z e e e e
κπ π π
π
− − −
= =
∑ ∑
Esto es la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón
2
i
n
e
π
y
primer termino 1, es decir,
1
2
2
0
n
i
k
i k
n
e
z
e
π
π
−
=
∑
(b) Considerando ahora el producto,
1
0
2 2 4 1 2 4 1 1
0 ... 2
2
0
n
k
n n n
i i i i k
i i i
n n n n n n n
k
k
z e e e e e
π π π π π
π
π
−
=
− − −
=
∏
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Ejercicios: Números Complejos
como,
1
0
n
k
n n
k
−
=
∑
se tiene
1
( 1)
0
n
n i
k
k
si n par
z e
si n impar
π
−
=
∏
Logaritmos complejos
De entre todas las raíces n-ésimas del complejo 1 + 3 i. ¿Hay alguna raíz cuyo logaritmo principal sea
real?
Calculamos en primer lugar 1 3
n
n
z son los números complejos
n
r
n
φ + κπ
con k = 0,1, 2,...(n − 1);
En este caso z = 1 + 3 i, luego
( )
2
r = 1 + 3 = 2
arctg arctg
π
φ = = =.
Por tanto, 1 3
n
n
n
π
con k = 0,1, 2,...( n−1)
es decir,
2
3
k
n
n
k
z
π
= con k = 0,1, 2,...(n −1)
2 cos
n
k
k k
z isen
n n
π π
π π
con k = 0,1, 2,...( n−1)
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Ejercicios: Números Complejos
r
i
ω
ω
( )
( )( )
2 2
c di i
r
i i
c d
( ) ( )
2 2
2 2
c d i c d
c d
r
c d
c d
1 2
⇔ c = ± d = ± ⇔ ω = + i ω = − − i
Luego
2
3
2
1
log ln 2 ´ ´ , 0,
k
i
e k k i k Z k
π
π
π
ω π π
2
2
3
2
2
log ln 2 ´ ´ , 0,
k
i
e k k i k k
π
π
π
ω π π
− +
Observación: Puede ser interesante considerar la expresión de ω de la forma:
cos
it
ω = e = t + isent ya que al tener módulo uno quedará perfectamente determinado si se
conoce
arg ω = t.
(a) Escribir la forma binómica y exponencial el número complejo
x
i
z
i
dando x = (numero de
lista del alumno en clase) + 1000
(b) Calcular log log
x
i
z
i
Supongamos que x = 121 + 1000 = 1121
( )
( )( )
1121 4*28 1 1 2
i i
i i i i
z i
i i i i i
−
En forma exponencial z se expresará
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Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
2 2
i
z
z e ya que
arctg
φ
φ
Calculamos su logaritmo
log log log
x
i
z i
i
ln 2
i arctg k π k
La rama principal se obtiene para k = 0
log ln
z i arctg
Potencias complejas
Sea “z” un número complejo de representación binómica z = a + bi y consideramos la potencia
z
Se pide, para cada una de las condiciones siguientes el conjunto de todos los complejos que la cumplen y un
ejemplo:
( ) ( ) ( )
( )
log 2 2
log 1 log 1
4
1
x iy k i z z i x iy i
i e e e
π
log 2 2
log 2 2
4
4
y x k i
x y k
e e k
π
π π
π
A - Que la potencia tenga algún valor real.
log 2 2 0 log 2 2 ´ ´
sen y x k y x k k k
π π
π π π
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Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
siendo k k, ´ ∈
Polinomios
Hallar los números complejos z tales que
2
2
z + 2 z + z − z+ 9 = 0
Sea z = a + bidebemos encontrar a y b de forma que:
2 2
a + bi + 2 a − bi + a + bi − a − bi + 9 = 0 ⇔
2 2 2 2
⇔ a − b + 2 abi + 2 a − 2 b − 4 abi + 2 bi + 9 = 0 ⇔
2 2
2 2
a b
a b i ab b
ab b
Se distinguen dos casos:
Caso 1: b = 0 , entonces por la primera ecuación
2
a = − 3 , esto es absurdo pues a y b son
números reales.
Caso 2: b ≠ 0 , entonces a = + 1 , y sustituyendo en la primera ecuación
2
− 3 b − 12 ⇒ b= ± 2
Luego los números complejos son:
1 2
z = + 1 + 2 i z = + 1 − 2 i
¿Cuántas raíces tienen los polinomios? ¿Puedes decir algo sobre el número de raíces reales? ¿Por qué?
(a) ( )
5 2
p x ( ) = 2 + 2 i x + 3 x + 2 i
5 raíces en ». No se puede decir nada sobre las reales porque p x( ) no es un polinomio con
coeficientes en .
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Ejercicios: Números Complejos
(b)
7 6
p x ( ) = 2 x + 3 x + 2
7 raíces en ». Tiene al menos una real por ser el grado impar.
(c)
5 2
p x ( ) = 3 x + 3 x + 2
5 raíces en ». Tiene al menos una real por ser grado impar.
(d)
7 6
p x ( ) = 3 x + ( 2 + 2 )i x + 2
7 raíces en ». No se puede decir nada sobre las reales porque p x( ) no es un polinomio con
coeficientes en .
Si F ( z ) es un polinomio con coeficientes reales y F ( 2 + 3 i )= 1 − i ¿a qué es igual F ( 2 − 3 i). ¿Queda
determinada F ( a − bi)conociendo F ( a + bi), si los coeficientes de F ( z )no son todos reales?
a) Sea
0 1
n
n n
F z = a + a z + + a z a ≠ , entonces como sus coeficientes son reales
( ) 0 1 0 1
n n
n
n
F z = a + a z + + a z = a + a z + + a z =F z
luego,
F (2 − 3 )i = F (2 − 3 )i = 1 − i = 1 +i
b) En el caso de que los coeficientes de
F z no sean todos reales no se determina el
valor de
F a − bi conocido el de
F a + bi. Por ejemplo, en el caso de
2
F z ( ) =iz
2
F (2 + 3 )i = i(2 + 3 )i = i(4 + 12 i − 9) = i( − 5 + 12 )i = − 12 − 5 i
2
F (2 − 3 )i = i(2 − 3 )i = i(4 − 12 i − 9) = i( − 5 − 12 )i = 12 − 5 i
Hallar la relación que deben verificar los coeficientes a , b , c , d reales para que las raíces de la ecuación
2
z + (a + bi) + (c + di) = 0
tengan el mismo argumento.
Sean
1
z ,
2
z las raíces. Expresándolas en forma exponencial serán
