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NOTAS DE ALGEBRA I´
AUTOR: ARIEL PACETTI. RETOQUES: MAT´IAS GRA NA˜
- Conjuntos, relaciones y funciones
1.1. Conjuntos.
Definici´on. Un conjunto A es una colecci´on de objetos tales que, dado un objeto cualquiera v, se puede determinar si v pertenece a A o no.
Ejemplos. Algunos ejemplos f´aciles de conjuntos:
- A = { 1 , 2 , 3 }.
- A = {©, △, }.
- A = ∅ = {} es el conjunto vac´ıo, que no tiene ning´un elemento.
- A = {n´umeros enteros}. Si A es un conjunto y v es un elemento cualquiera, notamos v ∈ A si v pertenece al conjunto A y v 6 ∈ A si el elemento v no pertenece al conjunto A.
Definici´on. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que A es un sub- conjunto de B o que A est´a contenido, o incluido, en B (y escribimos A ⊂ B) si todo elemento v ∈ A satisface que v ∈ B.
Muchas veces es ´util tener en claro qu´e quiere decir que un conjunto no est´e in- cluido en otro. Lo contrario de “todo elemento de A est´a en B” es “existe al menos un elemento en A que no est´a en B”. Esto es, para probar que A 6 ⊂ A, es necesario encontrar (o probar que existe) un elemento x ∈ A tal que x /∈ B.
Ejercicios. Decidir si son ciertas las siguientes afirmaciones y en caso afirmativo demostrarlas:
- { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 3 }.
- { 1 , 2 , 3 } ⊂ {{ 1 }, 2 , 3 , 4 }.
- ∅ ⊂ { 1 , { 1 }}. ¿C´omo podemos explicitar un conjunto A? Hasta aqu´ı conocemos una ´unica manera: listando todos sus elementos. ¿C´omo podemos explicitar un conjunto de otra manera? La respuesta es por comprensi´on. Esto es, dando alguna propiedad que cumplen los elementos que est´an en el conjunto y no cumplen los elementos que no est´an en el conjunto. Un primer ejemplo (que presenta problemas) es B = {n : n es par}. Este ejemplo tiene el problema de que no se dice qu´e n´umeros se consideran. Todos entendemos que 2 ∈ B. Pero ¿− 2 ∈ B? Cuando se escribe n en la definici´on de B, se consideran tambi´en n´umeros negativos? ¿Y otro tipo de n´umeros? La soluci´on a este problema es decir precisamente a qu´e tipo de elementos nos referimos cuando decimos “n es par”. La forma correcta entonces de definir este conjunto es B = {n ∈ N : n es par} (si es que queremos trabajar solo con n´umeros positivos), o B = {n ∈ Z : n es par} (si es que queremos trabajar tambi´en con n´umeros negativos). 1
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Un ejemplo cl´asico que muestra la necesidad de especificar el conjunto de los objetos sobre los que miramos la propiedad es la paradoja de Russell y Zermelo (1901), sea A = {B : B 6 ∈ B}. ¿Es cierto que A ∈ A? Ejemplos de conjuntos definidos por comprensi´on son A =
x ∈ R : x^2 < 2
A =
x ∈ Q : x^2 < 2
A = {n ∈ N : n es primo}. A = {n + 1 : n ∈ Z y n es primo} = {n ∈ Z : n − 1 es primo}.
Definici´on. Si A y B son dos conjuntos, decimos que A = B si tienen exactamente los mismos elementos. En otras palabras, A = B si A ⊂ B y B ⊂ A.
Al trabajar con conjuntos, uno quiere poder definir ciertas operaciones entre ellos. Los ejemplos b´asicos de operaciones de conjuntos son:
La uni´on (notada ∪): dados conjuntos A y B, A ∪ B es el conjunto formado por los elementos que est´an en el conjunto A o est´an en el conjunto B. Recordemos que “o” en matem´atica significa que es verdadera al menos una de las dos afirmaciones. La intersecci´on (notada ∩): dados conjuntos A y B, A ∩ B es el conjunto formado por los elementos que est´an en A y est´an en B. La diferencia (notada A − B ´o A\B): son los elementos que est´an en A y que no est´an en B.
Ejemplos. Tomemos los conjuntos:
A = { 1 , 2 , 8 , − 1 }, B = {{ 1 }, 2 , 10 , 15 }. Entonces A ∪ B = { 1 , 2 , 8 , − 1 , { 1 }, 10 , 15 }, A ∩ B = { 2 }, A − B = { 1 , 8 , − 1 }, B − A = {{ 1 }, 10 , 15 }. A = {enteros pares}, B = {enteros impares}. Entonces A ∪ B = Z, A ∩ B = ∅, A − B = A y B − A = B. A un conjunto cualquiera y B = ∅. Entonces A∪∅ = A, A∩∅ = ∅, A−∅ = A y ∅ − A = ∅. Si A = B ¿c´omo son A ∪ B, A ∩ B y A \ B?
Definici´on. Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si A ∩ B = ∅; Es decir, si no tienen elementos en com´un. ¿C´omo son A \ B y B \ A si A y B son disjuntos?
Un procedimiento usual es trabajar dentro de un conjunto referencial V. Si A y B son subconjuntos de V , entonces A ∪ B, A ∩ B y A \ B est´an tambi´en dentro de V. La existencia de un conjunto referencial permite hablar de complementos:
Definici´on. Si A es un subconjunto de un conjunto referencial V , el complemento de A (notado Ac) es el conjunto de los elementos de V que no est´an en A, o sea Ac^ = V − A.
Ejemplo. Consideremos el conjunto V = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } y A = { 1 , 9 , 5 , 3 }. Entonces, Ac^ = { 2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 10 }. Si miramos el conjunto (Ac)c^ = { 1 , 3 , 5 , 9 } = A, ¿ser´a esto siempre cierto? O sea, si A es un subconjunto de un conjunto referencial V , ¿es cierto que (Ac)c^ = A?
Aqu´ı surge el siguiente problema: ¿c´omo podemos probar una igualdad entre dos conjuntos cualesquiera? Una herramienta muy ´util (para probar igualdades entre
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Antes de hacer varios otros ejemplos de diagramas de Venn (y sus demostracio- nes), veamos otra manera de demostrar una igualdad entre conjuntos: la llamada tabla de verdad. Supongamos que queremos probar que una operaci´on entre un cier- to n´umero de conjuntos es igual a otra operaci´on de los mismos (por ejemplo la Ley de de Morgan). El m´etodo entonces consiste en considerar, dado un elemento, todas las posibilidades de pertenecer o no a cada uno de los conjuntos involucrados. Luego, se debe estudiar para cada caso si el elemento pertenece a los conjuntos que se quiere comparar. Veamos c´omo ser´ıa la Ley de de Morgan:
x ∈ A x ∈ B x ∈ (A ∪ B) x ∈ (A ∪ B)c^ x ∈ Ac^ ∩ Bc V V V F F V F V F F F V V F F F F F V V Para hacer la notaci´on mas sencilla, en general simplemente escribimos A ∪ B en lugar de la afirmaci´on x ∈ A ∪ B. Es claro que dos operaciones de conjuntos dan el mismo conjunto si y solo si tienen la misma tabla de verdad, y esto ocurre si y solo si tienen el mismo diagrama de Venn.
Ejemplos. Probar o dar un contraejemplo de las siguientes afirmaciones:
- A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
- A − B = A ∩ Bc.
- Dados dos conjuntos A y B, definimos la operaci´on diferencia sim´etrica entre ellos (y la notamos A △ B) , como A △ B = (A ∪ B) − (A ∩ B). Calcular la tabla de verdad de est´a operaci´on. ¿C´omo se puede definir en t´erminos de los elementos de A y de B?
Un gran problema de los diagramas de Venn es que se vuelven impracticables al realizar operaciones entre muchos conjuntos. Las tablas de verdad se pueden hacer en cualquier caso, pero el n´umero de casos a considerar crece “demasiado” con el n´umero de conjuntos (ya veremos en el pr´oximo cap´ıtulo qu´e quiere decir esto). Consideremos el siguiente problema: vamos al kiosco a comprar algunas cosas, y cuando llegamos la persona que atiende nos informa que no disponen de cambio alguno, con lo cual s´olo nos pueden vender cosas si pagamos justo. Mirando la billetera encontramos que traemos una moneda de $1, un billete de $2 y un billete de $5. ¿Qu´e cosas podemos pagar con estos billetes? El resultado surge de hacer una cuenta que seguramente todos hicimos en alguna circunstancia. Una opci´on es irnos sin comprar nada (o sea d´andole nada al kios- quero), y las otras opciones son juntar $1, $2, $3, $5, $6, $7 u $8. Lo que hicimos fue calcular del conjunto { 1 , 2 , 5 } todos sus posibles subconjuntos, y luego sumar los elementos de cada subconjunto, as´ı obtuvimos los subconjuntos: ∅, { 1 }, { 2 }, { 1 , 2 }, { 5 }, { 1 , 5 }, { 2 , 5 } y { 1 , 2 , 5 }.
Definici´on. Si A es un conjunto, notamos con P(A) el conjunto de partes de A que es el conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto A.
Ejercicios
- ¿Qui´en es P(∅)?
- Si A = { 1 , { 1 }, { 1 , 2 }, − 3 }, ¿qui´en es P(A)?
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Por ´ultimo, otra operaci´on importante entre dos conjuntos es el producto carte- siano. Dados A, B conjuntos, el producto cartesiano de ambos (denotado por A×B) es el conjunto de pares (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B.
Ejemplos.
Si A y B es el conjunto de n´umeros reales, su producto cartesiano es el plano Eucl´ıdeo (donde constantemente hacemos gr´aficos de funciones). Si A = { 1 , π, − 8 } y B =
4 ,^0
, su producto cartesiano es
A × B = {(1,
), (1, 0), (π,
), (π, 0), (− 8 ,
Para asegurarnos de que no nos olvidamos ning´un elemento, podemos listar los elementos de A × B en una tabla, donde en las columnas ponemos los elementos de un conjunto y en las filas los elementos del otro. En el ejemplo anterior quedar´ıa A\B 3 / 4 0 1 (1, 3 /4) (1, 0) π (π, 3 /4) (π, 0) − 8 (− 8 , 3 /4) (− 8 , 0) El producto cartesiano lo utilizamos en m´as cosas de las que pensamos. Por ejemplo, si al levantarnos decidimos vestirnos, tenemos ciertas alternativas de pan- talones (o polleras), distintas alternativas de remeras, zapatos, etc. Luego tenemos un conjunto que podemos llamar de “calzado”, otro conjunto de “ropa inferior” y un ´ultimo conjunto de “ropa superior”. Cada opci´on de vestimenta corresponde a un elemento del producto cartesiano de estos tres conjuntos.
Definici´on. Definimos el cardinal de un conjunto como el n´umero de elementos que posee.
Pregunta. ¿Qu´e cardinal tiene el producto cartesiano de dos conjuntos finitos?
En breve volveremos al c´alculo de cardinales de conjuntos.
1.2. Relaciones.
Definici´on. Dados dos conjuntos A y B una relaci´on (binaria) de A en B es un subconjunto R de A × B.
Dado a ∈ A y b ∈ B, decimos que a est´a relacionado con b (y lo escribimos aRb) si el par (a, b) ∈ R.
Ejemplos. Tomamos como conjunto A = {a, b, c} y B = { 1 , 2 }.
Consideremos R = A × B. O sea todo elemento del conjunto A est´a rela- cionado con todo elemento del conjunto B. Consideremos R = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)}. ¿Es cierto que aR2? ¿Y que bR1? Consideremos R = ∅. ¿Es cierto que aR2? Consideramos ahora relaciones R ⊂ A × A. La ventaja de estas relaciones es que (si A es finito) las podemos representar mediante un grafo dirigido. Un grafo dirigido es un conjunto de puntos (llamados v´ertices) y un conjunto de flechas entre los v´ertices. Por ejemplo, el grafo 1 → 2, 2 → 3 del conjunto { 1 , 2 , 3 , 4 } (ver la Figura 2). No vamos a hacer uso de la teor´ıa de grafos, aunque ´esta juega un rol esencial en varias ramas de la matem´atica y la computaci´on (como el estudio de circuitos, en las simulaciones de epidemias, etc).
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aRc). En t´erminos del grafo, R es transitiva si hay un “camino directo” por cada “camino en etapas”.
Preguntas. ¿Puede una relaci´on ser sim´etrica y antisim´etrica? Si una relaci´on es sim´etrica y transitiva, ¿es reflexiva?
Ejercicio 1.1. Uno puede definir una operaci´on de “inversi´on” en el conjunto de relaciones R ⊂ A × A donde R−^1 := {(b, a) : (a, b) ∈ R} (o sea permutar las coordenadas de los elementos de la relaci´on R). ¿Qu´e tiene que satisfacer R para que R−^1 = R?
Algunas combinaciones de las propiedades anteriores son importantes, y tienen una teor´ıa rica de fondo, raz´on por la cual se les da un nombre.
Definici´on. Una relaci´on R ⊂ A × A se dice:
- de equivalencia si es reflexiva, sim´etrica y transitiva.
- de orden (u orden parcial ) si es reflexiva, antisim´etrica y transitiva.
- de orden total si es una relaci´on de orden parcial y adem´as, dados a, b ∈ A vale que aRb ´o bRa (o sea los elementos se pueden comparar dos a dos). Un ejemplo a tener en mente son: si A es el conjunto de los n´umeros reales (o naturales, o racionales) entonces = es una relaci´on de equivalencia y ≤ es una relaci´on de orden total. Tomamos el conjunto A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } y definimos la relaci´on R por aRb si a divide a b. Por ejemplo, (2, 4) ∈ R, (2, 10) ∈ R, (2, 7) ∈ R/. Entonces R es una relaci´on de orden. Pero no es de orden total ya que, por ejemplo, ni 2R 3 ni 3R2. Otro ejemplo: si miramos el conjunto de partes de un conjunto, y tomamos la relaci´on dada por la inclusi´on (o sea ARB si A ⊂ B) obtenemos una relaci´on de orden parcial. ¿Por qu´e no es total? Las relaciones de equivalencia son muy importantes. Una relaci´on ∼ de equiva- lencia en un conjunto A parte al conjunto en las llamadas clases de equivalencia. Veamos un ejemplo. Tomamos A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } y ∼⊂ A × A dada por a ∼ b si, al dividirlos por 3, a y b tienen el mismo resto. Por ejemplo, 1 ∼ 4 porque 1 dividido 3 es 0 y el resto es 1, y 4 dividido 3 es 1 y el resto es 1. Tambi´en 1 ∼ 7 y 1 ∼ 10. El grafo de ∼ est´a en la Figura 5.
1 7
(^410)
2
5 8
3
6 9
Figura 5. Grafo de la relaci´on ∼
Si a ∈ A, su clase de equivalencia es ¯a = {b ∈ A : a ∼ b}. Notar que a ∈ ¯a por ser reflexiva. En el ejemplo de la Figura 5, ¯1 = { 1 , 4 , 7 , 10 }, ¯2 = { 2 , 5 , 8 }, ¯3 = { 3 , 6 , 9 }. Adem´as, 1 = 4 = 7 = 10, 2 = 5 = 8, 3 = 6 = 9.
Proposici´on 1.2. Si R es una relaci´on de equivalencia en A × A, y a, b ∈ A entonces o bien ¯a = ¯b, o bien ¯a y ¯b son disjuntas.
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Demostraci´on. Supongamos que no son disjuntas; entonces se puede tomar alg´un c ∈ a¯ ∩ ¯b. Veamos que ¯a ⊂ ¯b. Si d ∈ ¯a, queremos probar que d ∈ ¯b. Para esto, sabemos que a ∼ d, a ∼ c y b ∼ c. Por simetr´ıa, sabemos que c ∼ a. Entonces, por transitividad, como b ∼ c, c ∼ a y a ∼ d, tenemos que b ∼ d. Esto prueba que d ∈ ¯b. Y como este razonamiento lo hicimos para cualquier d ∈ a¯, hemos probado que ¯a ⊂ ¯b. Si hacemos el mismo razonamiento comenzando con elementos de ¯b, obtenemos la otra inclusi´on y la igualdad de ambos conjuntos.
Luego si A es un conjunto y ∼ es una relaci´on de equivalencia en A, podemos considerar el conjunto de clases de equivalencia. Este es un nuevo conjunto, cuyos elementos son subconjuntos de A. Como ejemplo, si tomamos el caso de la figura 5, el conjunto de clases de equivalencia es
{{ 1 , 4 , 7 , 10 }, { 2 , 5 , 8 }, { 3 , 6 , 9 }},
que tiene tres elementos.
Ejercicios. 1. Decidir si las siguientes relaciones son de equivalencia y en caso de serlo, calcular el conjunto de clases. a) A es un conjunto cualquiera y R = {(a, a) : a ∈ A}. b) La relaci´on de la figura 6.
b
t
d p
p1 (^) p
p
p
e f
c
a
Figura 6
c) A = N y definimos R de la siguiente manera: si n, m ∈ N, nRm si y solo si n + m es par. d ) En el conjunto de alumnos de la facultad definimos una relaci´on di- ciendo que dos alumnos est´an relacionados si cursan una materia en com´un. e) ¿Qu´e pasa si en el ´ıtem anterior ponemos como relaci´on la condici´on de cursar exactamente las mismas materias?
- Si A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } y R es una relaci´on de equivalencia tal que las clases son {{ 1 , 3 }, { 2 , 5 }, { 4 }}, graficar R.
- ¿Puede el conjunto {{ 1 , 3 }, { 2 , 5 }, { 1 , 4 }} ser el conjunto de clases para al- guna relaci´on de equivalencia en el conjunto A del ´ıtem anterior?
1.3. Funciones. Otra familia importante de relaciones son las llamadas funcio- nes. Dados dos conjuntos A, B, una funci´on de A en B es una relaci´on f ⊂ A × B con las siguientes dos propiedades:
Para todo elemento a ∈ A existe un elemento b ∈ B tal que af b. Si a ∈ A es tal que existen b 1 , b 2 ∈ B con af b 1 y af b 2 entonces b 1 = b 2 (o sea el elemento del ´ıtem anterior es ´unico).
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Algunas propiedades importantes que pueden satisfacer las funciones son: Una funci´on f es inyectiva si satisface la siguiente propiedad: si f (a) = f (b) entonces a = b. Equivalentemente, para que f sea inyectiva, dos elementos distintos deben tener im´agenes distintas. Una funci´on f es suryectiva o sobreyectiva si para todo b ∈ B, existe a ∈ A tal que f (a) = b. Equivalentemente, para que f sea suryectiva, debe ser B = Im(f ) (o sea, el codominio debe ser igual a la imagen). Una funci´on f es biyectiva si es inyectiva y suryectiva.
Ejercicios. Determinar si cada una de las funciones del ejercicio anterior es inyec- tiva, suryectiva o biyectiva. Como en el caso anterior, si R es una relaci´on en A × B, definimos su “inversa” como R−^1 ⊂ B ×A como R−^1 := {(b, a) : (a, b) ∈ R}. Si f : A → B es una funci´on, que propiedades debe satisfacer para que la relaci´on f −^1 sea una funci´on?
Respuesta: es preciso que f se biyectiva.
Definici´on. Si f : A → B es una funci´on biyectiva, llamamos funci´on inversa de f a la funci´on f −^1.
1.3.1. Composici´on de Funciones. Cuando trabajamos con conjuntos, definimos algunas operaciones entre conjuntos. Nos gustar´ıa poder definir algunas operaciones entre funciones. El problema es que no se pueden operar funciones cualesquiera. Por ejemplo, pudimos definir la operaci´on inversa en el subconjunto de las funciones biyectivas (no en todo el conjunto de las funciones). Supongamos que tenemos tres conjuntos A, B, C, y dos funciones f : A → B y g : B → C. Definimos la composici´on de g con f (y notamos g ◦ f ) como la funci´on g ◦ f : A → C dada por (g ◦ f )(a) = g(f (a)) (ver la ilustraci´on en la figura 8).
f g^
A (^) g⚬f C
Figura 8. Composici´on de dos funciones g ◦ f
Pregunta: Supongamos que f : A → B y g : C → D. ¿Que condici´on hay que pedirle a f y g para poder componer g con f?
Respuesta: Si queremos definir g◦f (a) := g(f (a)), entonces precisamos que f (a) ∈ C. Luego la condici´on necesaria y suficiente para poder componer g con f es que Im(f ) ⊂ C, o sea que la imagen de f est´e contenida en el dominio de g. Notar que la composici´on de funciones es una operaci´on binaria de {f : A → B} × {g : B → C} en {h : A → C}.
NOTAS DE ALGEBRA I´ 11
Ejemplos. 1. Consideremos las funciones f : Z → Z, g : Z → Z dada por f (n) = |n| y g(n) = n^2. Calcular g ◦ f y f ◦ g.
- Consideremos f : N ∪ { 0 } → Z y g : Z → N ∪ { 0 } dadas por
f (n) =
n/ 2 si n es par − (n+1) 2 si n es impar y
g(n) =
2 n si n ≥ 0 − 2 n − 1 si n < 0. Calcular f ◦ g. ¿Qu´e se puede deducir de f y de g?
- Dado A un conjunto cualquiera, consideremos la funci´on identidad, idA : A → A dada por idA(a) = a. Probar que idA es el neutro para la compo- sici´on en {f : A → A}, o sea idA ◦f = f ◦ idA = f.
Proposici´on 1.3. Si f : A → B es una funci´on biyectiva, entonces existe una ´unica funci´on g : B → A tal que f ◦ g = idB y g ◦ f = idA.
A dicha funci´on g la llamamos la inversa de f y la notamos f −^1.
Dem: Como f es biyectiva, ya vimos que podemos definir la relaci´on inversa f −^1 y esta relaci´on resulta ser una funci´on tambi´en. Veamos que f −^1 satisface las dos condiciones, y que es la ´unica funci´on que lo hace. Si b ∈ B, f −^1 (b) por definici´on es el ´unico elemento a ∈ A tal que f (a) = b. Luego (f ◦ f −^1 )(b) = f (a) = b y se sigue que f ◦ f −^1 = idB. Similarmente, (f −^1 ◦ f )(a) = f −^1 (f (a)) que es el ´unico elemento ˜a ∈ A tal que f (˜a) = f (a). Pero el ´unico tal elemento es ˜a = a, con lo cual (f −^1 ◦ f )(a) = a y se sigue que f −^1 ◦ f = idA.
Veamos la unicidad de g. Supongamos que tenemos dos funciones g, h : B → A tales que f ◦ g = f ◦ h = idB y g ◦ f = h ◦ f = idA. Dado b ∈ B, como f es biyectiva, existe un ´unico a ∈ A tal que f (a) = b. Luego g(b) = g(f (a)) = a = h(f (a)) = h(b) con lo cual h = g pues toman el mismo valor en todos los elementos de B.
Ejercicio 1.2. Probar que si f : A → B tiene una funci´on inversa, o sea existe una ´unica g : B → A tal que f ◦ g = idB y g ◦ f = idA entonces f es biyectiva.
Preguntas: Supongamos que A y B son dos conjuntos finitos. Si f : A → B es una funci´on cualquiera, ¿se puede dar alguna relaci´on entre |A| y |B|? ¿y si f es inyectiva? ¿y si f es suryectiva? ¿y si f es biyectiva? Ya discutiremos las respuestas en la parte de combinatoria.
- Inducci´on Comencemos viendo el siguiente ejercicio:
Ejercicio 2.1. Calculemos la suma de los 5 primeros n´umeros naturales, ¿cu´anto da? Calculemos ahora la suma de los primeros 6 n´umeros naturales. ¿Cu´anto da? Miremos ahora la funci´on f : N → N, dada por f (n) = n(n 2 +1). ¿Cu´anto vale en 5? ¿Y en 6? ¿Qu´e podemos “conjeturar”? Verificar que esta conjetura es cierta para n = 7, 8 , 9.
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(n+1)(n+2)
- Como^ P^ (n) es cierta (por hip´otesis inductiva),
1 + · · · + n + (n + 1) = n(n + 1) 2
- (n + 1) = n(n + 1) + 2(n + 1) 2
(n + 1)(n + 2) 2 que es lo que quer´ıamos probar.
Ahora s´ı, veamos por qu´e el principio de inducci´on funciona. Llamemos P al conjunto donde vale la propiedad P. Es decir, P = {n ∈ N : P (n) es cierta}. Que- remos ver que P = N. Para probar esto, alcanza con ver que P satisface el ´ultimo axioma de Peano. Es decir, debemos ver que 1 ∈ P y que si n ∈ P entonces n + 1 ∈ P. Pero esto es justamente lo que dice el principio de inducci´on.
Ejemplo. ¿Cu´anto vale la suma f (n) =
∑n i=0 2 i? Calculemos los primeros t´erminos
de esta sucesi´on: f (1) = 3, f (2) = 7, f (3) = 15. ¿Qu´e pasa si le sumamos 1 a esta sucesi´on? Obtenemos 4, 8 , 16. Estos n´umeros son conocidos: son potencias de 2. Es decir, f (1) = 2^2 − 1, f (2) = 2^3 − 1, f (3) = 2^4 − 1. Probemos por inducci´on que f (n) = 2n+1^ − 1. Es claro que para n = 1 la f´ormula vale; de hecho, ya lo vimos. Veamos que, si es cierta para n, entonces es cierta para n + 1.
n∑+
i=
2 i^ =
∑^ n
i=
2 i^ + 2n+1^ = H.I.
2 n+1^ − 1 + 2n+1^ = 2 · 2 n+1^ − 1 = 2n+2^ − 1
como quer´ıamos ver.
La sigla “H.I.” significa “hip´otesis inductiva”. Se suele utilizar para indicar que, precisamente en ese paso, hemos usado que la afirmaci´on P (n) es cierta.
Ejemplo. Probar que 2n^3 + n + 31 ≥ 3 n^2 para todo n ≥ −2.
Este ejercicio nos plantea probar una proposici´on que no es cierta s´olo para el conjunto de n´umeros naturales, sino para todos los n´umeros enteros mayores o igua- les que −2. ¿C´omo podemos probar esto? Una manera f´acil (aunque no muy ´util en general) es aplicar el principio de inducci´on para el conjunto de n´umeros naturales, y despu´es probar que la f´ormula es cierta para n = − 2 , −1 y 0. La desventaja de este m´etodo es que si queremos probar una afirmaci´on para los enteros mayores o iguales que − 10 .000, tenemos que verificar a mano 10.001 casos. ¿Ser´a cierto que podemos usar el mismo proceso de inducci´on, verificando que el primer caso a con- siderar es cierto y que si la afirmaci´on es cierta para un n´umero entonces tambi´en lo es para el siguiente? La respuesta es “s´ı”, y es bastante intuitivo que ´este es el caso (si uno piensa en el domin´o, realmente no importa c´omo llamamos a la primera pieza). Si tenemos una afirmaci´on P (n) de la cual queremos probar su veracidad en un conjunto P = {n ∈ Z : n ≥ n 0 } para alg´un n 0 entero, lo que podemos hacer es el cambio de variables m = n + 1 − n 0. Entonces n ≥ n 0 ⇐⇒ m ≥ 1. Entonces podemos probar la afirmaci´on P (m) para m ≥ 1, y esto se puede hacer usando inducci´on. En el ejemplo anterior, m = n + 1 − (−2) = n + 3, o n = m − 3, por lo que P (m) es la afirmaci´on 2(m − 3)^3 + (m − 3) + 31 ≥ 3(m − 3)^2. Podemos probar que esto es verdadero por inducci´on para m ≥ 1. Pero tambi´en podemos simplemente adaptar el principio de inducci´on a conjuntos como el mencionado, P = {n ∈ Z : n ≥ n 0 }. Para ilustrar, resolvamos el ejercicio: P (−2) es cierta, ya que 2 · (−8) + (−2) + 31 = 13 ≥ 3 · 4 = 12.
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Supongamos que P (n) es cierta y veamos que P (n + 1) tambi´en lo es.
2(n + 1)^3 + (n + 1) + 31 = 2n^3 + n + 31 + 6n^2 + 6n + 2 + 1 ≥ H.I.
3 n^2 + 6n^2 + 6n + 3 = 3(n + 1)^2 + 6n^2 ≥ 3(n + 1)^2
Lo que acabamos de hacer es usar lo que muchas veces se llama principio de inducci´on corrida. Enunciemos este principio, cuya demostraci´on no es otra cosa que el cambio de variables que mencionamos.
Teorema 2.2 (Principio de inducci´on corrida). Sea n 0 un n´umero entero y su- pongamos que tenemos una afirmaci´on P (n) para cada n´umero entero n ≥ n 0. Si queremos probar que P (n) es cierta para todo n ≥ n 0 , y logramos probar que
(primer caso) P (n 0 ) es cierta, (paso inductivo) para todo n ≥ n 0 vale que si P (n) es cierta entonces P (n + 1) tambi´en lo es,
entonces la afirmaci´on vale para todo n ≥ n 0.
Ejemplo. Consideremos la siguiente afirmaci´on: Si en un conjunto de alumnos de Algebra I, un alumno est´´ a anotado en la Licenciatura en Matem´atica, todos lo est´an. Veamos la demostraci´on: la vamos a hacer por inducci´on en el n´umero de alum- nos. Esto es, probaremos que si n es un n´umero natural, hay n alumnos en Algebra´ I y uno est´a anotado en Matem´atica, todos lo est´an. El primer caso es n = 1, es decir, el conjunto es de un solo alumno. Es claro que si tenemos un conjunto con un solo alumno, y es alumno de la Licenciatura en Matem´aticas, entonces todos lo son. Supongamos ahora que tenemos un conjunto de n + 1 alumnos y que al me- nos uno de ellos hace Matem´atica. Tomemos de los n + 1 alumnos un subconjunto (cualquiera) de n de ellos, con la condici´on de que tenga al alumno de Matem´atica. Luego, por hip´otesis inductiva, esos n alumnos hacen la Licenciatura en Matem´ati- ca. Ya hemos probado que todos salvo quiz´as un alumno est´an en la Licenciatura en Matem´atica. Saquemos de nuestro conjunto de n alumnos a uno de ellos, y agre- guemos al alumno que nos qued´o sin incluir en la hip´otesis inductiva. Nuevamente tenemos un conjunto de n alumnos, con uno de ellos que hace Matem´atica, con lo cual el alumno no considerado en el paso inductivo anterior tambi´en debe hacer la Licenciatura en Matem´atica. ¿Qu´e est´a mal en esta demostraci´on?
Ejercicio 2.2. Si r es un n´umero natural cualquiera, probar que para todo n ∈ N vale que 1r^ + · · · + nr^ ≥
∫ (^) n 0 x
r (^) dx.
Hay otros dos principios “equivalentes” al principio de inducci´on. Uno de ellos es el Principio de inducci´on completa o global, que dice:
Teorema 2.3 (Principio de inducci´on completa (o global)). Dada una afirmaci´on P (n), n ∈ N, supongamos que
- P (1) es verdadera, y
- si P (k) es cierta para todo 1 ≤ k ≤ n entonces P (n + 1) es cierta.
Entonces la afirmaci´on es cierta para todo n ∈ N.
16 AUTOR: ARIEL PACETTI. RETOQUES: MAT´IAS GRA NA˜
Si n = 1, f (1) = 2, y f (2) = 1 con lo cual (f ◦ f )(1) = 1 o sea podemos tomar m = 2. Supongamos que la afirmaci´on vale para 1 ≤ k ≤ n y veamos que vale para n + 1. Para poder calcular f (n + 1) tenemos que separar en casos seg´un la paridad de n.
- Si n es impar, n + 1 es par con lo cual f (n + 1) = n+1 2. Como n+1 2 ≤ n para todo n ∈ N, podemos aplicar la Hip´otesis Inductiva a k = n+1 2. Existe entonces m ∈ N tal que f m^
( (^) n+ 2
= 1, con lo cual f m+1(n+1) =
- Si n es par, n + 1 es impar, con lo cual f (n + 1) = n + 2 y f 2 (n + 1) = f (n + 2) = n+2 2 = n 2 + 1. Pero si n ≥ 2 (que es el caso por ser n par), n 2 + 1^ ≤^ n, con lo cual podemos aplicar la Hip´otesis Inductiva a^
n 2 + 1. Luego existe m ∈ N tal que 1 = f m^
( (^) n 2 + 1
= f m+2(n + 1).
Problema abierto: Consideremos una modificaci´on de la funci´on anterior, y de- finamos g : N → N dada por:
g(n) =
n/ 2 si n es par, 3 n + 1 si n es impar.
¿Es cierto que para todo n ∈ N existe un m ∈ N tal que f m(n) = 1? Este problema es conocido como Problema de Collatz, y la respuesta no se conoce. Se “conjetura” que la respuesta es “s´ı”, pero no hay una demostraci´on. Num´ericamente, est´a pro- bado que es cierto para n ≤ 5 · 1018.
Ejemplo. Todo subconjunto acotado T de los naturales tiene un m´aximo elemento. Para probarlo, llamemos P = {n ∈ N : t ≤ n ∀t ∈ T }. Como T es acotado, sabemos que el conjunto P es no vac´ıo, con lo cual tiene un primer elemento. Queda como ejercicio para el lector verificar que este primer elemento pertenece al conjunto T (y por lo tanto es un m´aximo).
2.1. Inducci´on como herramienta para construir sucesiones. Hasta ahora usamos el principio de inducci´on como herramienta para probar afirmaciones. Este es un uso “pasivo” de la inducci´on. Pero el principio de inducci´on tiene tambi´en un lado constructivo. Recordemos la definici´on de sucesiones:
Definici´on. Una sucesi´on (en el conjunto A) es una funci´on f : N → A.
En general tomaremos como conjunto A el cuerpo de n´umeros reales. Si f : N → A es una sucesi´on, vamos a escribir an en lugar de f (n), y a la funci´on f la escribiremos (an)n∈N. Hasta aqu´ı hemos visto c´omo definir sucesiones de manera “expl´ıcita”, o sea diciendo cu´anto vale la funci´on en cada n´umero natural (por ejemplo an = n^2 ). Una manera alternativa de definir una funci´on es darla de manera recursiva. Esto es, se definen algunos valores (iniciales) de la funci´on y se da una f´ormula para calcular el resto de los valores a partir de los ya conocidos. Por ejemplo, definimos la funci´on f : N → N dada por f (1) = 1 y f (n) = n · f (n − 1). Luego el valor f (3) = 3 · f (2) = 3 · 2 · f (1) = 3 · 2 · 1 = 6. Veremos m´as adelante que para todo n ∈ N, f (n) = n! =
∏n i=1 i.
NOTAS DE ALGEBRA I´ 17
Las sucesiones cuyos valores dependen de valores ya conocidos se llaman suce- siones recursivas o sucesiones por recurrencia. Las preguntas que uno se hace sobre ellas, y que debemos contestar, son: ¿est´an bien definidas? O sea, ¿esto que defi- nimos es realmente una funci´on? Y por otro lado, ¿se pueden definir de manera expl´ıcita? Antes de avanzar con estas preguntas, veamos otro ejemplo. Definimos a : N → Z de la siguiente manera:
a 1 = 2, a 2 = 4, a 3 = 14, an+1 = 10an − 31 an− 1 + 30an− 2 si n ≥ 3.
Se puede ver que el valor de a 4 depende del de a 3 , a 2 y a 1 , que est´an definidos. Una vez que est´a calculado a 4 , con ese valor y el de a 3 y a 2 calculamos a 5 , etc. Podemos calcular los primeros valores de a:
a 1 = 2, a 2 = 4, a 3 = 14, a 4 = 76, a 5 = 446, a 6 = 2524, a 7 = 13694, a 8 = 72076, a 9 = 371966.
Sin embargo, estos n´umeros no dicen mucho. Si con estos valores queremos calcular a 10 ser´a sencillo. En cambio, si queremos calcular a 100 , deberemos calcular todos los n´umeros ai con i ≤ 99. Esto no es muy c´omodo. Lo que nos convendr´ıa en ese caso es contar con una f´ormula cerrada. Esto es, una f´ormula en la que an no dependa de los anteriores sino solo de n. Supongamos por un momento que nos dicen que para todo n ∈ N, an = 2n+1^ − 3 n^ + 5n−^1. Si esto es cierto, tendremos una f´ormula cerrada para an. Podemos intentar ver si coinciden algunos valores. Llamemos bn = 2n+1− 3 n+5n−^1. Queremos entonces ver si an = bn, y calculamos b 1 : b 1 = 2^2 − 31 + 5^0 = 4 − 3 + 1 = 2, es decir que b 1 = a 1. Podemos hacer lo mismo con b 2 y b 3 : b 2 = 2^3 − 32 + 5^1 = 8 − 9 + 5 = 4, b 3 = 2^4 − 33 + 5^2 = 16 − 27 + 25 = 14, es decir que tambi´en coinciden. Tenemos entonces la sospecha de que efectivamente an = bn para todos los n ∈ N. Pero solo vimos tres casos. Para probarlo en general, debemos usar inducci´on global.
El primer paso, con n = 1, ya lo vimos. Supongamos entonces que ak = bk para k ≤ n y veamos que es cierto para k = n + 1. Si n + 1 = 2 ´o n + 1 = 3 (es decir, si n = 1 ´o n = 2), ya vimos que an+1 = bn+1. Podemos entonces suponer que n ≥ 3, lo que nos permite usar la definici´on recursiva de a:
an+1 = 10an − 31 an− 1 + 30an− 2
H.I.
10(2n+1^ − 3 n^ + 5n−^1 ) − 31(2n^ − 3 n−^1 + 5n−^2 )
- 30(2n−^1 − 3 n−^2 + 5n−^3 ) = 2n−^1 (10 · 4 − 31 · 2 + 30 · 1) − 3 n−^2 (10 · 9 − 31 · 3 + 30 · 1)
- 5n−^3 (10 · 25 − 31 · 5 + 30 · 1) = 2n−^1 · 8 − 3 n−^2 · 27 + 5n−^3 · 125 = 2n+2^ − 3 n+1^ + 5n^ = bn+
No es cierto que toda sucesi´on recursiva tenga una f´ormula cerrada, pero en la mayor´ıa de los ejemplos que consideraremos ese ser´a el caso. Por otra parte, aun cuando una sucesi´on definida de manera recursiva tenga una f´ormula cerrada, no siempre ser´a sencillo hallarla. En el ejemplo anterior la f´ormula cerrada nos
NOTAS DE ALGEBRA I´ 19
de movimientos necesarios para pasar todos los discos al poste de la derecha? ¿Hay una f´ormula cerrada para esta sucesi´on? El punto fundamental es que si sabemos resolver el problema con n discos, lo podemos resolver con n + 1 de la manera que sigue: movemos primero los n discos de arriba al poste del medio (esto lo sabemos hacer, es simplemente intercambiar el rol de los postes del medio y de la derecha); luego, movemos el n + 1-´esimo disco a la derecha, y por ´ultimo movemos los n discos del medio a la derecha. Esto dice que si Hn cuenta cu´antos movimientos son necesarios si tenemos n discos, entonces Hn+1 = 2Hn + 1. Adem´as, es claro que H 1 = 1, pues si tenemos un solo disco lo pasamos en un solo movimiento. Con esta regla recursiva, obtenemos los primeros valores de H:
H 1 = 1, H 2 = 2 · 1 + 1 = 3,
H 3 = 2 · 3 + 1 = 7,
H 4 = 2 · 7 + 1 = 15,
H 5 = 2 · 15 + 1 = 31,
H 6 = 2 · 31 + 1 = 63,
lo cual indica que posiblemente sea Hn = 2n^ − 1.
Ejercicio 2.3. Probar que efectivamente Hn = 2n^ − 1.
Seg´un la leyenda, hay en un templo de Hanoi monjes que mueven 64 discos de oro siguiendo las reglas de este juego. La leyenda dice que una vez que terminen de mover la ´ultima pieza ser´a el fin del mundo. Suponiendo que mueven un disco por segundo, ¿cuanto tiempo tardar´an en moverlos todos?
La sucesi´on de Fibonacci. La famosa sucesi´on de Fibonacci debe su nombre a Leo- nardo Pisano Bigollo, m´as conocido como “Fibonacci” (aprox. 1170-1240). Fibonac- ci public´o en el a˜no 1202 un libro, Liber Abaci, donde entre otras cosas propuso el siguiente problema: si colocamos una pareja de conejos en un ´area cerrada, ¿cu´antos conejos habr´a luego de n meses si cada pareja de conejos produce una nueva pareja de conejos cada mes, los conejos nunca mueren y una pareja a los dos meses de nacida puede comenzar a tener hijos? En el mes primer mes, cuando los ponemos, tenemos una pareja de conejos beb´es. En el segundo mes tenemos la misma ´unica pareja, pero son adultos. En el tercer mes, tenemos una pareja original m´as una pareja beb´e (hijos de la pareja original), o sea tenemos dos parejas. En el cuarto mes, la pareja original tiene otra pareja de beb´es, y adem´as la pareja del mes 2 se convierte en adulta (tenemos tres parejas). En el quinto mes, las dos parejas adultas que hay tienen parejas beb´es, y tenemos cinco parejas. Si calculamos algunos n´umeros m´as, vemos que los siguientes meses tenemos: 8, 13, 21, 34... Para encontrar una f´ormula para esta sucesi´on, llamenos An al n´umero de parejas adultas en el mes n y Bn al n´umero de parejas beb´es. Llamamos tambi´en Fn al total de parejas, Fn = An + Bn.
mes An Bn Fn 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 2 .. .
n An Bn An + Bn n + 1 An + Bn An 2 An + Bn n + 2 2 An + Bn An + Bn 3 An + 2Bn
20 AUTOR: ARIEL PACETTI. RETOQUES: MAT´IAS GRA NA˜
Notar que el n´umero de conejos en el mes n + 2 es el n´umero que hab´ıa en el mes n + 1 m´as el n´umero de parejas adultas del mes n + 1, que es el n´umero de parejas del mes n. Luego la sucesi´on Fn satisface la recurrencia Fn+1 = Fn + Fn− 1 para todo n ≥ 2. Adem´as, los primeros dos valores de F son F 1 = 1, F 2 = 1. Por la proposici´on 2.5, estas condiciones definen una ´unica sucesi´on, a la que llamamos sucesi´on de Fibonacci. A los n´umeros de la sucesi´on se los conoce como n´umeros de Fibonacci. ¿Habr´a una f´ormula que d´e Fn? La respuesta (aunque no natural) es “s´ı”. Para sucesiones dadas por recurrencias con coeficientes constantes (o sea
f (n) = a 1 f (n − 1) + · · · + ar f (n − r)
donde ai son n´umeros reales fijos) existen m´etodos generales para calcular f´ormulas cerradas. En estas notas nos conformaremos con calcular (a mano) una f´ormula para los n´umeros de Fibonacci. Notar que los n´umeros crecen de manera muy r´apida, con lo cual uno podr´ıa esperar que Fn = arn, o sea que sean (salvo una constante) potencias de un n´umero. Veremos que este no es exactamente el caso, pero “casi”. Si suponemos por un instante que son potencias de un n´umero r, ¿qui´en es r? Una forma de calcularlo es mirar el cociente de dos n´umeros consecutivos de Fibonacci. Si miramos los primeros valores de la sucesi´on, vemos que los cocientes sucesivos no dan siempre lo mismo (2, 3 / 2 , 5 / 3 , 8 / 5 ,... ), con lo cual nuestro primer enfoque no funciona. Pero 5/3 = 1.666, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.615, 34/21 = 1 .619 y as´ı siguiendo. Estos cocientes, parecen estar acerc´andose a un n´umero, pero ¿a cu´al? ¿Por qu´e existe este l´ımite? Dentro de las muchas propiedades que satisfacen los n´umeros de Fibonacci (en la web hay much´ısima informaci´on al respecto) una importante es la siguiente:
Proposici´on 2.6 (Identidad de Cassini). Fn+1Fn− 1 −F (^) n^2 = (−1)n^ para todo n ≥ 2.
Dejamos como ejercicio probar (por inducci´on) tal identidad. Luego, “veamos” que Fn F+1n es de Cauchy. Si miramos dos t´erminos consecutivos,
Fn+ Fn
Fn Fn− 1
(−1)n FnFn− 1
Dejamos como ejercicio ver que esto implica que la sucesi´on es de Cauchy, es decir, que para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que si n, m son ambos > N , entonces | F Fn+1n − F Fmm+1 | < ε. Esto dice que existe el l´ımite de los cocientes sucesivos de n´umeros de Fibonacci. Ahora
Φ := (^) nl´→∞ım
Fn+ Fn = (^) nl´→∞ım
Fn + Fn− 1 Fn = 1 + l´ n→∞ım
Fn− 1 Fn
Multiplicando por Φ, obtenemos que Φ^2 = Φ + 1, o sea Φ es ra´ız del polinomio x^2 − x − 1. Usando la f´ormula para las ra´ıces de un polinomio cuadr´atico, vemos que Φ = 1 ±
√ 5
- Como debe ser positivo, tenemos que Φ =^
1+√ 5 2 = 1,^618 ... Este n´umero Φ es el llamado n´umero de oro o la proporci´on divina. Si tenemos un segmento partido en dos lados de longitudes a y b (a ≥ b) nos podemos preguntar c´omo tienen que ser a y b para que la proporci´on entre todo el segmento y a sea la misma que entre a y b. En ecuaciones, si llamamos x a esta proporci´on, tenemos que x = a b = a+ a b= 1 + b a = 1 + (^) x^1. Entonces debe ser x = Φ. El n´umero de oro aparece en muchos contextos en medicina, biolog´ıa, en el arte (por ejemplo Leonardo Da
