¡Descarga Nociones Básicas del Álgebra y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
NOCIONES
BASICAS
SOBRE EL
ALGEBRA
República Bolivariana de Venezuela Instituto Universitario De Tecnología Industrial “Rodolfo Loero Arismendi” Matemáticas I, Sección 1DH Profesora: Alumno: Virginia Anes Carlos Rojas V-29.582. Porlamar, Junio del 2020
ÍNDICE
Pág. INTRODUCCIÓN 3 Nociones Básicas del Álgebra: 4 Expresión algebraica Término algebraico Clasificación de las expresiones algebraicas Operaciones Básicas: 4 Suma de Polinomios Sustracción de Polinomios Multiplicación de expresiones algebraicas División de monomios Productos Notables: 7 Binomio al cuadrado: Binomio de suma al cuadrado Binomio de una resta al cuadrado Producto de binomios conjugados Producto de dos binomios con un término común Polinomio al cuadrado Binomio al cuadrado: Para el binomio al cubo de una suma Para el binomio al cubo de una resta Cubo de un trinomio Factorización: 13 Factorización de suma de cubos Factorización de una diferencia de cuadrados Factorización de la diferencia de dos cuadrados Factor común: Factor común monomio Factor común polinomio Factor común por agrupación de términos CONCLUSION 18 BIBLIOGRAFIA 19
NOCIONES BASICAS DEL ALGEBRA
El Álgebra es una rama de las matemáticas que estudia los números y sus propiedades en forma general. No necesita el valor de un número para poder saber sus propiedades y operarlo, para ello lo sustituye por un símbolo que generalmente es una letra. Expresión algebraica: A las expresiones compuestas por números y letras y las diferentes operaciones se les denomina algebraicas. Término algebraico: Es la expresión algebraica que consta de un solo símbolo o varios símbolos no separados entre sí por los signos + o −. Por ejemplo, la expresión algebraica 2x 2 + 7xy − 28 consta de tres términos: 2x^2 , 7xy y −28. La parte numérica de cada uno se conoce como coeficiente y las letras forman la parte literal. El tercer término se llama independiente; es decir, no tiene parte literal y por tanto no depende de esta. Clasificación de las expresiones algebraicas: Las expresiones algebraicas que tienen un solo término con exponentes enteros positivos en las variables, se llaman monomios. Las expresiones que involucran suma o resta de monomios se llaman polinomios. Dentro de los polinomios se encuentran los binomios (dos términos) y los trinomios (tres términos). OPERACIONES BASICAS Suma de polinomios La suma de dos o más polinomios da como resultado un polinomio formado por la suma de los términos de cada polinomio. Cuando hay términos semejantes, hacemos reducción de tales términos. Ejemplo. Sumemos los polinomios p(x, y) = 3x 2 y + 2xy + 4xy^2 y q(x, y) = 4x 2 y + 3x + 5 p(x) + q(x, y) = 3x 2 y + 2xy + 4xy^2 + 4x 2 y + 3x + 5 = 7x 2 y + 2xy + 4xy^2 + 3x + 5 Pues se suman los dos términos semejantes.
Sustracción de polinomios La diferencia de dos polinomios se obtiene adicionando al minuendo el opuesto del sustraendo. El opuesto de un polinomio es el ponimonio que tiene los mismos términos pero con signos opuestos. Ejemplo. Calculemos la siguiente diferencia: t(x) = (3x 2 + 7x + 2) − (x 2 + 2x + 1) t(x) = 3x 2 + 7x + 2 + (−x 2 − 2x − 1) opuesto del sustraendo = 3x 2 + 7x + 2 − x 2 − 2x − 1 = (3x 2 − x 2) + (7x − 2x) + (2 − 1) = 2x 2 + 5x + 1 Multiplicación de expresiones algebraicas
- El producto de dos o más monomios se obtiene multiplicando los coeficientes entre sí. Luego se multiplican los literales aplicando la ley de los exponentes para potencias de igual base.
- La multiplicación de un monomio por un polinomio se realiza multiplicando el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
- Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada término de un polinomio por cada término del otro. Luego adicionamos los resultados. Ejemplo. Veamos un ejemplo de cada caso
- (4x 3 y) (−3x 2 yz^3 ) (4x 3 y)(−3x 2 yz^3 ) = (4 · (−3)) (x 3 · x 2 ) (y · y) (z 3 ) = −12x 5 y 2 z 3
- 2x (3x − 5x 2 y) 2x (3x − 5x 2 y) = (2x) (3x) − (2x) (5x 2 y) = 6x 2 − 10x 3 y
PRODUCTOS NOTABLES
Los productos notables son operaciones algebraicas, donde se expresan multiplicaciones de polinomios, que no necesitan ser resueltas tradicionalmente, sino que con la ayuda de ciertas reglas se pueden encontrar los resultados de las mismas. Binomio al cuadrado Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de potencia, donde los términos son sumados o restados: a. Binomio de suma al cuadrado: es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Se expresa de la siguiente manera: (a + b)2 = (a + b) * (a + b). Ejemplo 1 (x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5² (x + 5)² = x² + 2 (5x) + 25 (x + 5)² = x² + 10x+ 25. Ejemplo 2 (4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b) (4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b (4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2. b. Binomio de una resta al cuadrado: se aplica la misma regla del binomio de una suma, solo que en este caso el segundo término es negativo. Su fórmula es la siguiente: (a – b)2 = [(a) + (- b)] (a – b)2 = a2 +2a * (-b) + (-b) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Ejemplo 1 (2x – 6)2 = (2x)2 – 2 (2x * 6) + 62 (2x – 6)2 = 4x2 – 2 (12x) + 36 (2x – 6)2 = 4x2 – 24x + 36. Ejemplo 2 Producto de binomios conjugados Dos binomios son conjugados cuando los segundos términos de cada uno son de signos diferentes, es decir, el del primero es positivo y el del segundo negativo o viceversa. Se resuelve elevando cada monomio al cuadrado y se restan. Su fórmula es la siguiente: (a + b) * (a – b) En la siguiente figura se desarrolla el producto de dos binomios conjugados, donde se observa que el resultado es una diferencia de cuadrados. Ejemplo 1
(7x + 4) (^) * (7x – 2) = (7x (^) * 7x) + (4 – 2)* 7x + (4 (^) * -2) (7x + 4) (^) * (7x – 2) = 49x^2 + (2)* 7x – 8 (7x + 4) (^) * (7x – 2) = 49x^2 + 14x – 8. Polinomio al cuadrado En este caso existen más de dos términos y para desarrollarlo, cada uno se eleva al cuadrado y se suman junto con el doble de la multiplicación de un término con otro; su fórmula es: (a + b + c)^2 y el resultado de la operación es un trinomio al cuadrado. Ejemplo 1 (3x + 2y + 4z)^2 = (3x)^2 + (2y)^2 + (4z)^2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz) (3x + 2y + 4z)^2 = 9x^2 + 4y^2 + 16z^2 + 12xy +24xz + 16yz. Binomio al cubo Es un producto notable complejo. Para desarrollarlo se multiplica el binomio por su cuadrado, de la siguiente manera: a. Para el binomio al cubo de una suma: El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el segundo. Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado. Más el cubo del segundo término. (a + b)^3 = (a + b) (^) * (a + b)^2
(a + b)^3 = (a + b) (^) * (a^2 + 2ab + b^2 ) (a + b)^3 = a^3 + 2a^2 b + ab^2 + ba^2 + 2ab^2 + b^3 (a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3. b. Para el binomio al cubo de una resta: El cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo. Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado. Menos el cubo del segundo término. (a – b)^3 = (a – b) (^) * (a – b)^2 (a – b)^3 = (a – b) (^) * (a^2 – 2ab + b^2 ) (a – b)^3 = a^3 – 2a^2 b + ab^2 – ba^2 + 2ab^2 – b^3 (a – b)^3 = a^3 – 3a^2 b + 3ab^2 – b^3. Ejemplo 1 (a + 3)^3 = a^3 + 3(a)^2 (3) + 3(a)(3)^2 + (3)^3 (a + 3)^3 = a^3 + 3 (a)^2 (3) + 3(a)(9) + 27 (a + 3)^3 = a^3 + 9 a^2 + 27a + 27. Ejemplo 2
FACTORIZACION
Es el proceso que transforma un polinomio en una multiplicación de factores primos. Factorización de suma de cubos: Es el producto de un binomio por un trinomio, donde el binomio es la suma de las raíces cúbicas de los términos cúbicos y el trinomio es el cuadrado de la primera raíz cúbica, menos el producto de ambas raíces cúbicas, más el cuadrado de la segunda raíz cúbica. ( a + b )( a^2 – ab + b^2 ) Ejemplo 1 (a + b)(a^2 – ab + b^2 ) = a^3 + b^3 , a^2 - ab + b^2 a + b a^3 - a^2 b + ab^2
- a^2 b - ab^2 + b^3 a^3 + b^3 Ejemplo 2
x^2 - 2x + 4 x + 2 x^3 - 2x^2 + 4
- 2x^2 - 4x + 8 y^3 + 8 Factorización de una diferencia de cuadrados: La factorización de una diferencia de cuadrados está formada por una ecuación con dos términos: uno positivo y el otro, negativo. Ambos deben de ser raíces cuadradas exactas. Y lo que se hace es realizar una resta entre ellos. De ahí el nombre de factorización por diferencia de cuadrados. x^2 – y^2 = (x + y) (x - y) Ejemplo 1 Diferencias de cuadrados con coeficientes enteros: 9a^4 – 25b^6 = 9a^4 – 25b^6 = [3a^2 ]^2 – {5b^3 }^2 Ejemplo 2 Con estas raíces se escribe el producto de binomios conjugados. 9a^4 – 25b^6 = [3a^2 ]^2 – {5^3 }^2 = ([3a^2 ] + {5b^3 }) ([3a^2 ] – {5b^3 }) = (3a^2 + 5b^3 ) (3a^2 – 5b^3 ) Ejemplo 3 Diferencia de cuadrados con coeficientes racionales. m^2 n^4
p^6 p^2 = ([ mn^2 ]+ {
q^3 p})([ mn^2 ]
q^3 p) = ( mn^2
q^3 p)( mn^2
q^3 p) 49 4 7 2 7 2 7 2 7 2
Ejemplo 1 El factor común es: Ejemplo 2 El factor común es: o Factor común polinomio: Es un polinomio que se repite como factor en cada uno de los términos de un polinomio. x(a + b) + y(a + b) = (a + b) (x + y) Ejemplo 1 x (a + b) + m(a + b) Factor común: (a + b) Ejemplo 2 2x(a-1) – y(a-1) Factor común: (a-1)
o Factor común por agrupación de términos: Cuando todos los términos de un polinomio no tienen la misma parte literal, se agrupan los términos que sí la tienen y se hallan los respectivos factores comunes. ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b) (x + y) Ejemplo 1 17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z) = (17x +3y +7z)(a – m) m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1] = (x + 2)(m + 3 – 1) Ejemplo 2 ax + ay + 4x + 4y ax + ay + 4x + 4y =(ax + ay)(4x + 4y) = a(x + y) + 4(x + y) = (x + y)(a + 4)
BIBLIOGRAFIA
BELTRAN, A. (s.f). Abril, 2013. “Nociones Básicas – Álgebra” obtenido de https://materialanamariabeltran.files.wordpress.com/2013/07/algebra- basica.pdf D´ALESSIO, V. (s.f). “ Productos notables: explicación y ejercicios resueltos” obtenido de https://www.lifeder.com/productos-notables/ ¿Qué es binomio al cuadrado en Matemáticas? Obtenido de https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/algebra/binomio- cuadrado.html “Productos Notables” obtenido de https://www.todamateria.com/productos-notables/ “Factorización de una diferencia de cuadrados” obtenido de http://lms.colbachenlinea.mx/tc-colbach/ScormViewer/tc-colbach/contenido/ materias/01Primero/cvm1/scorm/ 224_factorizacin_de_una_diferencia_de_cuadrados.html “Factorización de una diferencia de cuadrados” obtenido de https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/algebra/diferencia-de- cuadrados-l10954#:~:text=La%20factorizaci%C3%B3n%20de%20una %20diferencia,factorizaci%C3%B3n%20por%20diferencia%20de %20cuadrados. “Factorización” obtenido de Colección Temática Santillana. Matemática 1 – 1ª ed. – Venezuela: Santillana, 2008
