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Ecuación de^

Cambio

(forma de derivada^ sustancia) Navict : Stokes (^) equation Di. Victor^ Varela^

A

Supongamos que^

estamos

gurados en un^ quente

funcion

"Derivada Parcial"^ Opescados^ D) #mit

D((x

Del

dilorjo vemos^ que^ la (^) concentración esta

en función^ del^ tiempo ,

a una^ posición fija^ X^ ,^ y^ ,^2 ,

nosotros podemos entonces^ calcular^

la velocidad

de (^) cambio de^ la^ concentración^

de pescados

La diferencia^ que tenemos entre 1 y 2 esque

el observador

no esta^ fijo en^ el^ espacio ,^ y se mueve^ a^ una^ velociday Esta derivada (^) es llamada

"Derivada Total"

x

• (^) uxt , (^) y

+ 4y(t ,^ zt,+^ +

• c(x M ,^ y,^2 ,t)^ .. - Si

aglicamos en^

esta (^) derivada Total (^) , como esta (^) en función^ del^ tiempo podamos expandar la

• D ↑

con la^ serie de^ Taylor : cuando^ y(x)

y X =^ Xo

entonces podemos expandir la^ función^ g(x) en

~ (^) na serie de^ Taylor al^ redador^ del^ punto X^ =^ Xo y(x) : 3)(x(x. Estoessinosotros aueremosconocerun al a el primar termino Uy(x

, yt

En (^) su forma (^) Vectorial

( ↑

Esta ecuación

puede ser (^) aglicada

gara

describir la^ velocidad^ de^ cambio^ de^ cuale quier

cantidad con

respecto al movimiento del observador con velocidad^ U. Ahora (^) si nosotros^ nos subieramos (^) a una calod y

desidimos que la^ corriente^ nos^

arrastre , e intentamos medir^ la^

concentración . En este

punto la velocidad del^ oscivador^ e^ es^ la^ misma que

la velocidad

, la^ cual^ tiene^ componentesiz *y , Ve (^) , si a calavier^ distanca

• mu = w^ - - Vy

Ahora nosotros^ necesitamos

expresar esta ecuación (^) de la Derivada garcial& terminos de^ La^ Derivada total :^ Para cualquier escalar (^) con ↓ (X , y, (^2) , t) (^) se (^) podra

realizar la

siguiente manipulación.

• : fevy PIf Dt La cantidad^ en^ el^ segundo^ parentesis^ es

Cero "Ol^ de^ acuerdo^ a^

la ecuación de^ continuidad

& hef

• (y . Esta es la^ ecuacion es pura cualquer^ funcion

f(x

, y^ , z , t)

Entonces la (^) ecuación anterior^ se ↓ ransforma (^) en :

(.f)

Con (^) estolaenaciónde^ Continuidad

En terminos de la Derivada^ Total^ se

expresa =

=

((X. V)

Esta ecuación nos dice^ como la^ densidad

incrementa (^) o decrementa, a como^ el^ observador

se mueva^ a^ lo^ largo del^ fluido,^ dependiendo de

&)Vo^ A)^ <O] compresión o^ [(V.^ V)^ (0] Expansión del^ Fluido

Ahora la^ Ecuación^ de (^) Movimiento =

toevv] - -(tot] +

En forma de derivada Total^

Deselerivate a ase (^) ↑ Novimiento

Esta Ecuación^ grade ser

-[

. +y

interpretada como

(masa) y(aceleración)^ = la (^) suma de

uerasexte a

se presion (^) , fuerzas^ viscosas

Simplificaciones mas^ comunes^

de la

cuación de^ Movimiento ⑨ Cuando^1 y M^ son^ constantes^ ,

la

Inserciónde^ la^ Ecuación de^ Newton

& convierte^ a^

la ecuación de (^) movimiento #avier-stokes , laecuación^ e^ en

trollada

para argumentos moleculares por Naviery posteriormente gara [.a + g umentos continuos^ por stokes · T^ =e^ M[Yutu)] +

• 1)^

-[ .+y & (^) cuación de (^) Movi miento derivada Total Esta ecuacion M de^ movimiento

esel

gunto de

partida para

describir (^) flujos Isotérmicos incompresibles

Newtonianos

cuaciones de movimiento garaunloaen -M- Coordenadas Cartesianas o Rectangulares

( + a Coordenadas Cilindricas^ (+, 0 , 2) 7 )+

(^7) =

Ahora la^ ecuación^ de^ Movimiento^ :

M

puede se^ escrita^ con^

la presion Modificada

para remplazar^ p^

con (^) Pelgh

p +M

Las ecuaciones de^

derivadas totales^

de

Movimiento (^) pueden ser^ transformadas a p^ omitiendo todos^ los^ terminos con la aceleración^ de^ la^ gravedad

p

Fluido (^) /le reside

② simplificación cuando^ cuando^ el termino

de la^ aceleración^ es^ despreciado^

en las

ecuaciones de^

Navier-Stokes

y esto se da^ cuando 20 =>

• MV^ +^ 19 Esta (^) es llamada^ laEcuación

de Stokes Lutilizada anterior

mete

para flogos^

laminares decenden

tes)

En esta ecuación cuando el^ fluido^ es

extremadamente lento^ el^ termino PV - XV] puede ser^ desgraciado Para

Algunos

fluidos como el^ de

Hagen- Porseville^ en^

un tubo^ , el termino

C [V.^ Vr]^ esta fuera (^) de la restricción

de fluido lento

La ecuación de (^) fluido de (^) Stokes es

importante en^ lubricación^ , estudio^

de Las particulas en^ movimiento (^) en

suspensión ,

fluso en medios^ porosos etc

Para la

mayoría

de (^) las aglicaciones de la^ ecuación^ de^ movimiento,^ nosotros

insertamos

, entonces para

describie

el (^) fluido Newtoniano^ a^ temperatura ce^. nosotros necesitamos^ Estado Estacionario La (^) ecuación de Continuidad Sevet ha ecuación de Movimiento & (Verv] =-[

. T)

Los componentes (^) =-M/Ov + (v)] +^ (m-k) (

. 2) a de [ La ecuación

p

= (^) g(f)

de estado

has eraciones

gara las (^) visco MIM(1) , K =^ K(e) sidades Si nosotros^ asumimos^ Myfctes ① Usamos la^ Ecuación^ de^ Continuidad ② Las (^) Evaciones de^ Navier-Stokes

bema (^2). 3 del libro

Balanze envolvente

(Shell (^) Balance) M = O AmaTr)

2 = π(r2-^ +2) D Velocidad total Perimetro (^) = 2Tr Elemento diferencial

del momentum^

en (^2) a travez de Pal (^) la superficia

= gz^

= h

que forma la^ corola

envolvente Ahora el (^) Balance S Si dividimos^ INDD = 0

D+ sacando limite^1 + - D po

+ - G

⑭ im

L [