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Una serie de ejercicios y problemas de lógica proposicional y resolución, incluyendo la demostración de equivalencias, la determinación de modelos, la construcción de refutaciones y la prueba de consecuencias lógicas. También incluye la definición de estructuras en lenguajes formales y la toma de decisiones sobre consistencia y consecuencia lógica.
Tipo: Ejercicios
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En el presente volumen se presentan los enunciados de los ejercicios del curso de “Lógica matemática y fundamentos (2010–11)”. Este volumen es complementario de Temas de "Lógica matemática y fundamentos"(2011-12). En cada tema los ejercicios se han dividido en dos grupos:
Ejercicios resueltos: son ejercicios comentados en las clases cuyas soluciones se en- cuentran en las transparencias y en Temas de "Lógica matemática y fundamentos"(2011- 12).
Ejercicios propuestos.
Ejercicio 1.1 Determinar cuáles de las siguientes expresiones son fórmulas proposicio- nales:
Ejercicio 1.2 Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones
Ejercicio 1.3 Demostrar por inducción que todas las fórmulas proposicionales tienen un número par de paréntesis.
8 Tema 1. Sintaxis y semántica de la lógica proposicional
Ejercicio 1.4 Para la siguiente fórmula
p → ¬q ∨ p
escribir la fórmula con paréntesis, construir el árbol de análisis y determinar todas sus subfórmulas.
Ejercicio 1.5 Calcular el valor de la fórmula (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r) en las siguientes inter- pretaciones
Ejercicio 1.6 Demostrar que para toda fórmula F se tiene que para todo par de intepre- taciones I 1 , I 2 , si I 1 (p) = I 2 (p) para todos las variables proposicionales de F, entonces I 1 (F) = I 2 (F).
Ejercicio 1.7 Determinar cuáles de las siguientes interpretaciones es modelo de la fór- mula (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r)
Ejercicio 1.8 Determinar si las siguientes fórmulas son satisfacible o insatisfacible.
Ejercicio 1.9 Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
Ejercicio 1.10 En cada caso, determinar todos los modelos de la fórmula proposicional correspondiente:
10 Tema 1. Sintaxis y semántica de la lógica proposicional
Ejercicio 1.13 Demostrar que F ≡ G syss |= F ↔ G.
Ejercicio 1.14 Determinar cuáles de las siguientes interpretaciones es modelo del con- junto de fórmulas S = {(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r), q → r}.
Ejercicio 1.15 Calcular los modelos de los siguientes conjuntos de fórmulas y decidir cuáles son consistente.
Ejercicio 1.16 Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
Ejercicio 1.17 Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
Ejercicio 1.18 Demostrar que las siguientes condiciones son equivalentes:
Ejercicio 1.19 Determinar si los siguientes argumentos son lógicamente correctos:
1.2. Ejercicios propuestos 11
Ejercicio 1.20 Determinar la corrección del siguiente argumento.
Se sabe que
Ejercicio 1.21 En una isla hay dos tribus, la de los veraces (que siempre dicen la verdad) y la de los mentirosos (que siempre mienten). Un viajero se encuentra con tres isleños A, B y C y cada uno le dice una frase
Determinar a qué tribu pertenecen A, B y C.
1.2. Ejercicios propuestos
Ejercicio 1.22 Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones
Ejercicio 1.23 Demostrar por inducción que todas las fórmulas proposicionales tienen el mismo número de paréntesis izquierdos que de derechos.
Ejercicio 1.24 Para cada una de las siguientes fórmulas,
1.2. Ejercicios propuestos 13
Ejercicio 1.30 Determinar si los siguientes argumentos son lógicamente correctos:
Ejercicio 1.31 Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspon- diente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:
puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.
Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.
Ejercicio 1.32 ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
Ejercicio 1.33 Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
14 Tema 1. Sintaxis y semántica de la lógica proposicional
Ejercicio 1.34 Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
Ejercicio 1.35 Demostrar o refutar las siguiente proposición: Si {F → G, F} es consistente, entonces {G} es consistente.
Ejercicio 1.36 Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:
Ejercicio 1.37 Demostrar o refutar las siguiente proposición: Para todo conjunto de fór- mula S y para toda fórmula F se verifica que si S 6 |= F entonces S |= ¬F.
16 Tema 2. Deducción natural proposicional
Ejercicio 2.2 Demostrar la adecuación de las reglas de deducción natural:
Ejercicio 2.3 Demostrar las reglas derivadas.
Ejercicio 2.4 Demostrar las equivalencias lógicas que aparecen en la transparencia 20 del tema 1:
2.2. Ejercicios propuestos 17
2.2. Ejercicios propuestos
Ejercicio 2.5 Probar mediante deducción natural:
2.2. Ejercicios propuestos 19
Ejercicio 2.6 Demostrar, por deducción natural, la corrección del siguiente argumento: Se sabe que
20 Tema 2. Deducción natural proposicional
Se observa un animal que tiene pelos, pezuñas y rayas negras. Por tanto, el animal es una cebra.
Ejercicio 2.7 Demostrar por deducción natural cada una de las argumentaciones váli- das del ejercicio 1.30.
Ejercicio 2.8 Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspon- diente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:
puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.
Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, demostrar por deducción natural que la dama está en la segunda puerta.
Ejercicio 2.9 Probar mediante deducción natural:
p ∨ r c) (p → q) → ((¬p → q) → q) d) (p ∨ (q → p)) ∧ q p e) ¬(p ∧ ¬q) p → q f ) (p → q) ∧ (p → r) |= p → (q ∧ r) g) (p 1 → p 2 ) ∧ (q 1 → q 2 ) (p 1 ∧ q 1 → p 2 ∧ q 2 ) h) ¬(¬p ∨ ¬q) p ∧ q i) ((p → q) ∨ (p → r)) → (p → q ∨ r) j) ((¬p ∨ ¬q) → (¬p ∧ r)) ¬q ∨ (p ∨ r)