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MOMENTOS y SISTEMAS EQUIVALENTES de FUERZAS
En el capítulo anterior se supuso que cada uno de los cuerpos considerados podía ser
tratado como si fuera una sola partícula. Sin embargo este punto de vista no siempre es
posible considerar, en general un cuerpo debe tratarse como un gran número de
partículas. Se tomará en cuenta el tamaño del cuerpo y la aplicación de las fuerzas en
distintos puntos.
Definiremos un Cuerpo Rígido como aquel que no se deforma , la mayoría de los cuerpos
que estudiaremos son considerados como Rígidos.
Las fuerzas que actúan sobre un Cuerpo Rígido se pueden dividir en :
1.- Fuerzas Externas : son las que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo Rígido en
consideración. Son responsables del comportamiento Externo del cuerpo Rígido, son las
causantes que el cuerpo se mueva o permanezca en reposo.
2.- Fuerzas Internas : son las que mantienen unidas las partículas que conforman el
cuerpo rígido.
El peso W de un cuerpo se considerará aplicado en su Centro de Gravedad.
Se puede concluir que cada una de las Fuerzas Externas que actúan sobre un cuerpo
rígido pueden ocasionar un movimiento de traslación, rotación o ambos siempre y cuando
dichas fuerzas no encuentren alguna oposición.
El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o de
movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un
punto dado de ese cuerpo se remplaza por una F′ que tiene la misma magnitud y
dirección, pero que actúa en un punto distinto , siempre y cuando las dos fuerzas tengan
la misma línea de acción.
Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido, deben ser representadas por una clase
de vector diferente, el vector deslizante, puesto que se puede permitir que las fuerzas se
deslicen a lo largo de la línea de acción, para las fuerzas que actúan sobre un cuerpo
rígido serán, en general, válidas para cualquier sistema de vectores deslizantes.
Sin embargo, resulta obvio que las fuerzas internas y las deformaciones producidas por
los dos sistemas son diferentes. En el primero la fuerza está a Tensión y, si no es
absolutamente rígido, se incrementará ligeramente su longitud; en el segundo está a
Compresión y, si no es absolutamente rígido, disminuirá ligeramente su longitud.
PRODUCTO VECTORIAL de DOS VECTORES
A continuación introduciremos un nuevo concepto: el momento de una fuerza
respecto a un punto. Primeramente recordaremos el producto Vectorial de dos Vectores. El
producto Vectorial de los Vectores P y Q se define como el vector V que satisface las
condiciones siguientes :
1.- La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q
2.- La magnitud de V es : V^ =PQ^ sen^ θ^ donde θ^ ≤^180 °
3.- La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha
La propiedad Asociativa NO es válida (P x Q) x S ≠ P x (Q x S)
Productos vectoriales expresados en términos de componentes rectangulares
A continuación determinaremos el producto Vectorial de cualquier par de Vectores
Unitarios
Ahora expresaremos el producto Vectorial V de dos vectores dados P y Q en términos de
las componentes rectangulares de dichos vectores.
V =P X Q=( Px i+P y j+ Pz k ) X ( Qx i+ Qy j+Qz k )
¿ Px Qy k−Px Qz J −Py Qx k +Py Qz i+ Pz Qx J −Pz Qy i V =P X Q=( Py Qz −Pz Qy )i+(Pz Qx −Px Qz ) j+( Px Qy−P (^) y Qx) k
V = V^ x i + V^ y j + V^ z k
Las componentes rectangulares del producto Vectorial V están dadas por :
V (^) x=Py Qz−Pz Qy V (^) y=¿ Pz Qx−Px Qz V^ =P^ X^ Q= | i j k Px Py Pz Qx Qy Qz| V (^) z=¿ Px Qy−P (^) y Qx
MOMENTO de una FUERZA con RESPECTO a un PUNTO
Cosideremos una Fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido, como se muestra en la
figura, esta posee magnitud y sentido.Si embargo el efecto de la Fuerza sobre el cuerpo
rígido también depende de su punto de aplicación A, y la posición de A se define por
medio de un vector r que une al punto de referncia O con A ; a este vector se le conoce
como vector de posición de A. El vector de posición r de la fuerza F se muestra en la
figura.
El momento de F con respecto a O s e d e f i n e como el producto Vectorial de r y F
M (^) o=r x F
COMPONENTES RECTANGULARES del MOMENTO de una FUERZA
El cálculo del momento de una fuerza en el espacio se simplifica considerablemente si el
vector de Fuerza y el vector de posición a partir de su punto de aplicación se
descomponen en sus componentes rectangulares x, y y z
r =x i+ y j+z k F=Fx i+ F (^) y j+F (^) z k M (^) o=r x F M (^) o = M x i + M y j + M z k M (^) x= y Fz −z F (^) y M (^) O=
i j k x y z
F x F y Fz|^
M (^) y=z Fx−x Fz M (^) z =x F (^) y− y Fx
Para calcular el momento M^ B de una fuerza F aplicada en A con respecto a un punto
arbitrario B , debemos utilizar un Vector de posición de A relativo a B, y se representa r^ A / B
que es r B ‒ r A
M B =
i j k x (^) A B y (^) A B z (^) A B F (^) x F (^) y Fz
Problemas.-
1.- Un poste A B de 6 pies está sostenido por tres tirantes como se muestra. Calcular
el momento con respecto a C de la fuerza ejercida por el cable BE sobre el punto B.
La tensión en el cable BE es de 210 lb.
r (^) B/ C= 3 i+ 4 j− 3 k F=
( 3 i− 6 j+ 2 k ) M (^) C= i j k 3 4 − 3 3 − 6 2
M (^) C= (^3 0) [ ( ( 8 − 18 ) i−( 6 + 9 ) j+(− 18 − 12 ) k (^) ) (^) ] MC=− 300 i− 450 j− 900 k M (^) C=√ Mx 2 +M (^) y 2
- Mz 2 =√ (− 300 ) 2 +(− 450 ) 2 +(− 900 )
2 M
C=^1 050 lb−ft − 450 j
C −^300 i
− 900 k
Tarea 2 - 1/5 Resolver problema siguiente (enviarla en TEAMS )
Calcular el Momento respecto al Punto D ( En el problema 1. ) MD =?
1º.- r B/D
M D = 300 [ 18 i+ 14 j+ 8 k ] M D = 5 400 i+ 4 200 j+ 2 400 k lb−ft
MC =? de la TAB MA =? de la TCB
R.- M^ C=−^7 200 i−^7 200 j^ lb−ft^ M^ A =−^5 400 i+^5 400 jlb−ft
4.- Una fuerza P cuya magnitud es de 60 lb se aplica en el punto B de la fig. Calcular el
momento de P respecto a) el origen de coordenadas O , b) el punto D
a) PBA =^
( 8 i− 4 j+ 8 k ) PBA = 20 ( 2 i− j + 2 k ) rB / O= 4 j M (^) O= i j k 0 1 0 2 − 1 2
M (^) O= 16 0 i− 160 k (^) lb−¿
b) PBA =^20 (^2 i^ −^ j+^2 k^ )^ r^ B/ D =^2 j−^3 k
M O=
i j k 0 2 − 3 2 − 1 2 20 M^ O=^20 i−^120 j−^80 k^ lb−¿
5.- Una fuerza Q cuya magnitud es de 90 lb se aplica en el punto C de la fig. Calcular el
momento de Q respecto a) el origen de coordenadas O , b) el punto D
a) QCA=^
(−i− 4 j+ 8 k )= 10 (−i− 4 j+ 8 k ) r (^) A / O= 8 i+ 8 k rC /O = 9 i+ 4 j M (^) O= i j k 1 0 1 − 1 − 4 8
M (^) O= 320 i− 720 j− 320 k lb−¿
b) QCA=^10 (−i−^4 j+^8 k^ )^ r^ A / D=^8 i−^2 j+^5 k^ rC / D=^9 i+^2 j^ −^3 k
M D =
i j k 9 2 − 3 − 1 − 4 8 10 M (^) D= 40 i− 690 j− 340 k lb−¿
Tarea 2 - 2/5 y 2 - 3/5 Resolver los problemas siguientes (enviarla en TEAMS )
MC =? de P MB =? de Q
PRODUCTO ESCALAR de dos VECTORES
El producto escalar de dos Vectores P y Q se define como el producto de las
magnitudes de P y Q con el coseno del ángulo 𝜃 formado por P y Q.
P • Q=P Q cos θ
Esta expresión NO es un vector es un Escalar , conocido como
producto escalar de igual forma se le conoce como ”producto punto”.
La propiedad Conmutativa SI es válida P • Q = Q • P
La propiedad Distributiva SI es válida P • (Q 1 + Q 2 ) = P • Q 1 + P • Q 2
La propiedad Asociativa NO es aplicable a los productos escalares.
(P • Q) • S No tiene ningún significado.
El producto escalar de dos Vectores P y Q expresado en términos de las
componentes rectangulares de dichos Vectores, y haciendo uso de la propiedad
distributiva nos quedaría:
P • Q=( Px i+ Py j+Pz k ) • ( Qx i+Qy j+ Qz k )
Usando la propiedad distributiva P • Q se expresa como la suma de los productos
escalares y se reduce a :
i• i= 1 j• j= 1 k • k= 1
Cuando el vector seleccionado a lo largo de OL es el vector Unitario λ, se escribe
POL=P• λ λ = cos 𝜃 x i + cos 𝜃 y j + cos 𝜃 z k
Descomponiendo P y λ en sus componentes rectangulares
POL=Px cos θx+ P (^) y cos θ (^) y+ Pz cos θz
TRIPLE PRODUCTO ESCALAR de tres VECTORES
Se define al triple producto escalar o triple producto mixto de tres vectores S, P y Q
como la expresión escalar. S • (P x Q)
Al triple producto escalar de S, P y Q se le puede dar una interpretación geométrica
simple, recordemos que el vector P x Q es perpendicular al plano que contiene a P y a Q
y su magnitud es igual al área del paralelogramo que tiene por lados a P y a Q, si esta
magnitud la multiplicamos por la proyección de S sobre la Normal al plano que contiene el
paralelogramo. Por lo tanto, el triple producto escalar es igual, en valor absoluto al volumen
del paralelepípedo que tiene por lados a los tres vectores S, P y Q.
Los seis triples productos escalares que se pueden formar con S, P y Q tendrán el mismo
valor absoluto, pero no el mismo signo.
S • ( P x Q)=P • ( Q x S )=Q• ( S x P)=¿ −S • ( Q x P)=−P • ( S x Q)=−Q • ( P x S) S • ( P x Q)=S • V =S (^) x V (^) x+ S (^) y V (^) y + Sz V (^) z ( 1 )
V =P X Q=( Py Qz−Pz Qy ) i+( Pz Qx−Px Qz ) j+( Px Qy −P y Qx ) k ( 2 )
Sustituyendo ( 2 ) en ( 1 ) se obtiene:
S • ( P x Q)=Sx ( P y Qz−Pz Qy ) +S y ( Pz Qx−Px Qz ) + Sz ( Px Qy−P y Qx )
Esta expresión puede escribirse en una forma más compacta
S • ( P x Q)= | Sx S (^) y Sz Px Py Pz Qx Q (^) y Qz^ |^
TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
MOMENTO de una FUERZA con RESPECTO a un EJE DADO
Consideremos la Fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido el momento M^ o de dicha
Fuerza con respecto a O ; el momento M^ OL de F con respecto a OL se define como la
proyección OC del momento M^ o sobre el eje OL. Representando al vector unitario a lo
largo de OL como λ, la proyección de un vector sobre un eje dado y el momento M^ o de
una Fuerza, tenemos:
M (^) OL=¿ λ^ • M (^) O ¿ λ^ • (r X F)
POL=P• λ
λ = cos 𝜃x i + cos 𝜃y j + cos 𝜃z k
Lo cual demuestra que el momento M^ OL de F con respecto al eje OL es el escalar que
se obtiene formando el triple producto escalar de λ , r y F
λx , λx , λx=cosenos directores del eje O L M (^) OL= | λx λy λz x y z Fx F (^) y Fz|^ x , y , z=coordenadas del puntode aplicación de F Fx , F (^) y , Fz ,=componentes de la fuerza F
Problemas.-
1.- Determinar los ángulos formados por los cables a ) AB y AC, b ) AB y AD
M C F =
M (^) C F =− 299 lb−¿ b ¿ O C= 12 i+ 8 j+ 9 k O C= 17 '
r =− 12 i ó r = 15 k
M O C=
M (^) O C=−211.8lb−¿
4.- Sobre una palanca en forma de T se ejerce una fuerza de 130 lb , (figura)
a) determinar el momento de la Fuerza respecto al lado AB b ) Si la fuerza se dirige a lo
largo de CO, calcular el momento MAB
a) λ^ A B =
12 i− 4 j+ 6 k 1 4
F=
(− 12 i+ 5 j) r (^) A D = 6 j M (^) A B=
M A B=
M (^) A B=308.6 lb−¿
b ) Si la fuerza se dirige a lo largo de CO, calcular el momento respecto al eje AB ( M A B )
F C O=
(− 12 i− 5 j) r (^) A O=− 4 j λ (^) A B = 12 i− 4 j+ 6 k 1 4
6 i− 2 j+ 3 k 7
M A B=
M (^) A B=−205.7 lb−¿
5.- Una fuerza P de 700 lb actúa a lo largo de la línea CD, determine el momento de
P
a) respecto al punto A
P=
( 6 i− 2 j− 3 k ) r (^) A D = 10 i+ k M (^) A = i j k 10 0 1 6 − 2 − 3
M (^) A = 200 i+ 3 600 j− 2000 k lb−ft
b) respecto a la línea AB λ^ A B =
6 i− 3 j− 6 k 9
2 i− j− 2 k 3 r (^) A D ó r (^) A C ó r (^) B C ó rB D M (^) A B=
M (^) A B=266.67 lb−ft M (^) A B=M (^) A • λ (^) A B
6.- Una fuerza Q de 210 lb actúa a lo largo de la línea B A. Calcular el momento de Q
a) respecto al punto D
misma partícula dos fuerzas iguales y opuestas y 5) mover una fuerza a lo largo de su
línea de acción. Estas operaciones se justifican fácilmente con base en la Ley del
Paralelogramo o Principio de Transmisibilidad.
En las figuras obtenemos M =120 lb – in en cada una de las formas y el efecto es girar
en contra de las manecillas.
SUMA DE PARES
M es la suma Vectorial de M 1 + M 2
DESCOMPOSICIÓN de una FUERZA en una FUERZA y un PAR
Cualquier fuerza F que actúe sobre un cuerpo rígido puede ser trasladada a un punto
arbitrario O siempre y cuando se agregue un par cuyo momento sea igual al momento de
F con respecto a O.
Mo es un vector libre y perpendicular al plano que contiene a r y a F, este puede ser
aplicado en cualquier lugar, sin embargo por conveniencia, se fija en O junto a F, y se hace
referencia a la combinación obtenida como un sistema fuerza-par (última figura ).
Si la fuerza F se traslada del punto A a uno diferente O′ se tendrá que calcular el
momento M^ O'^ = r′ X F con respecto a O′
O bien M^ O'^ = Mo + s X F M (^) O' (^) = r′ X F s + r = r′ M (^) O' (^) = ( s + r ) X F
Problemas.- 7.-Dos pares actúan sobre un bloque, como se indica. Remplazar los dos
pares por un par único.
M (^) A B= 6 ( 4 )= 2 4 lb−¿ M (^) C D = 5 ( 6 ) = 3 0 lb−¿ M 2 = 24 2
- 30 2 − 2 (^24 )^30 cos 120 ° M=46.92lb−¿ sen θ (^) y 30
sen 120 °
θ (^) y=33.67 ° θx=56.33 °θz = 90 °
