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Tema 2
ECUACIONES DIFERENCIALES
2.1. Introducci´on
Gran parte de los sistemas que nos rodean est´an sometidos al cambio, por tanto,
es un hecho cotidiano para todos nosotros. Las Matem´aticas son muy ´utiles para
investigar, entre otros, fen´omenos como el movimiento de los planetas, la desin-
tegraci´on de sustancias radiactivas, la velocidad de las reacciones qu´ımicas y los
patrones meteorol´ogicos. Por otro lado, los bi´ologos investigan en campos tales co-
mo la contaminaci´on o la din´amica de poblaciones. Incluso en ´areas, aparentemente
alejadas de la Matem´aticas, como las Ciencias Pol´ıticas o la Medicina, es frecuente
que recurran a los modelos matem´aticos, en los cuales la clave est´a en el cambio.
Muchos de estos modelos se expresan a trav´es de una ecuaci´on diferencial. Si y = f (t)
es una funci´on que relaciona las variables t e y, entonces su derivada
y′^ =
dy
dt
nos indica la tasa de cambio o velocidad de cambio de la variable y con respecto
de la variable t.
Cuando estudiamos un problema del mundo real necesitamos usualmente desarrollar
un marco matem´atico. Sabemos que el proceso por el que se crea y evoluciona este
marco es la construcci´on de un modelo matem´atico, siendo algunos de ellos muy
precisos, especialmente los de la F´ısica. Sin embargo, otros lo son menos, concreta-
mente los que tratan de problemas de Biolog´ıa o Ciencias Sociales. No obstante, en
los ´ultimos a˜nos los enunciados de estas materias se han vuelto lo suficientemente
precisos como para poder expresarlos matem´aticamente.
Un ejemplo de creaci´on de un modelo continuo lo tenemos en la predicci´on del
tiempo. En teor´ıa, si pudi´esemos programar en un ordenador todas las hip´otesis co-
rrectas, as´ı como los enunciados matem´aticos apropiados sobre las formas en que las
14 Tema 2 Ecuaciones diferenciales
condiciones clim´aticas operan, tendr´ıamos un buen modelo para predecir el tiem-
po mundial. En el modelo del clima global, un sistema de ecuaciones calcula los
cambios que dependen del tiempo, siendo las variables el viento, la temperatura y
la humedad, tanto en la atm´osfera como en la tierra. El modelo^1 puede predecir
tambi´en las alteraciones de la temperatura en la superficie de los oc´eanos.
Por todo lo comentado anteriormente, hemos puesto de manifiesto que en los mode-
los matem´aticos del mundo real tienen gran importancia el estudio de las ecuaciones
diferenciales. En cualquier lugar donde se lleve a cabo un proceso que cambie con-
tinuamente en relaci´on al tiempo (rapidez de variaci´on de una variable con respecto
a otra), suele ser apropiado el uso de las ecuaciones diferenciales.
EJERCICIO 1
Escribir una ecuaci´on diferencial que describa la situaci´on dada.
1 La cantidad de bacterias en un cultivo crece, en cada momento, a un ritmo que es proporcional al n´umero de bacterias presentes.
2 Cuando los factores ambientales imponen un l´ımite superior sobre su tama˜no, la poblaci´on crece a un ritmo que es conjuntamente proporcional a su tama˜no actual y a la diferencia entres u l´ımite superior y su tama˜no actual.
3 La raz´on a la que las personas oyen hablar sobre un nuevo aumento de precios es proporcional al n´umero de personas en la ciudad que no han o´ıdo hablar al respecto.
4 El ritmo con el que se propaga una epidemia en una comunidad es conjun- tamente proporcional a la cantidad de residentes que han sido infectados y al n´umero de residentes propensos a la enfermedad que no han sido infectados.
5 Si es cierto que en una econom´ıa estable la velocidad de disminuci´on del n´umero de personas y, con un salario de por lo menos x euros, es directa- mente proporcional al n´umero de personas e inversamente proporcional a su salario, obt´engase la ley de Pareto, es decir la expresi´on de y en funci´on de x.
2.2. ¿Qu´e es una ecuaci´on diferencial?
Aunque no sepamos que es una ecuaci´on diferencial, sin embargo estamos fami-
liarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones alge-
braicas. Adem´as, sabemos lo que se entiende por soluci´on de la ecuaci´on, aunque en
(^1) En el Centro Nacional de Investigaci´on Atmosf´erica de EEUU tienen un superordenador con
el nombre de CRAY que puede ejecutar un modelo parecido.
16 Tema 2 Ecuaciones diferenciales
Figura 2.1. Izquierda: escala normal. Derecha: escala logar´ıtmica
Si tomamos logaritmos neperianos (Figura 2.1 derecha) de los valores de la con- centraci´on, podemos ajustar esta nueva nube de puntos por una recta. Este pro- ceso lo llevamos a cabo con el programa Mathematicar y su soluci´on es la recta
- 45337 − 0. 164264 t, que corta al eje de ordenadas en el punto (0, 2 .45337) y su pen- diente es − 0 .164264. Por lo tanto, si la soluci´on del modelo es del tipo exponencial y(t) = Cekt, entonces ln y = ln C + kt. En consecuencia,
ln C = 2. 45338 ⇒ C = e^2.^45338 = 11.6275 ; k = − 0. 164265
Figura 2.2. Izquierda: ajuste lineal. Derecha: ajuste exponencial y(t) = 11. 6275 e−^0.^164264 t
Pasemos ahora a precisar algunos de los conceptos sugeridos.
Una ecuaci´on diferencial es aquella en la que aparece una funci´on desconoci-
da y una o m´as de sus derivadas. Cuando la funci´on desconocida depende de dos
o m´as variables, entonces las derivadas que aparecen en la ecuaci´on diferencial
ser´an derivadas parciales, y en este caso diremos que se trata de una ecuaci´on
en derivadas parciales. Si la funci´on depende s´olo de una variable independiente,
entonces la ecuaci´on recibe el nombre de ecuaci´on diferencial ordinaria (E.D.O.).
En este curso estudiaremos algunos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de
orden n que representaremos por
F (t, y,
dy
dt
d^2 y
dt^2
dny
dtn^
) = F (t, y, y′, · · · , yn)) = 0 ,
2.2 ¿Qu´e es una ecuaci´on diferencial? 17
donde F es una expresi´on matem´atica en la que aparecen la variable t, una funci´on
desconocida y, y las derivadas de y hasta el orden n.
EJEMPLO 2.
Las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales ordinarias. − 2 y′′^ + 3y′^ − y = et
y′(t) =
dy dt = ay − by^2
d^2 y dt^2
Las ecuaciones ∂^2 u(x, t) ∂x^2
c^2
∂^2 u(x, t) ∂t^2
∂^2 u ∂x^2
∂^2 u ∂y^2
∂^2 u ∂z^2
k
∂u ∂t
, u = u(x, y, z, t) ,
son ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales.
El orden de una ecuaci´on diferencial es el que corresponde a la derivada de mayor
orden que aparece en la ecuaci´on. De esta manera, y′^ = ay − by^2 es una ecuaci´on
diferencial ordinaria de primer orden, mientras que
∂^2 u(x, t)
∂x^2
c^2
∂^2 u(x, t)
∂t^2
es una ecuaci´on en derivadas parciales de segundo orden.
EJEMPLO 2.
Clasificar cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales como ordinarias o en derivadas parciales. Determinar el orden y la linealidad o no linealidad en cada caso. (a) y′^ + t^2 y = tet^ (b) y′′′^ + 4y′′^ − 5 y′^ + 3y = sen t
(c) ∂^2 u ∂x^2
∂^2 u ∂y^2
= 0 (d) t^2 dy + y^2 dt = 0
(e) dy dt
d^2 y dt^2
- 5y = 0 (f ) ∂^4 u ∂x^2 ∂y^2
∂^2 u ∂x^2
∂^2 u ∂y^2
(g) y′′^ + y sen t = 0 (h)
dr ds
d^2 r ds^2
(i) d^2 y dt^2
- t sen y = 0 (j) L d^2 q dt^2
+ R
dq dt
q c
(k) d^2 ρ dθ^2
ρ +
dρ dθ
2.3 Soluci´on de una ecuaci´on diferencial 19
2.3. Soluci´on de una ecuaci´on diferencial
Antes de desarrollar esta secci´on consideremos la ecuaci´on x^2 − 4 x + 3 = 0. Cuan-
do nos planteamos el problema de encontrar soluciones de esta ecuaci´on estamos
suponiendo que existe un conjunto X donde la variable x puede tomar valores. En
general, la ecuaci´on no es v´alida para todo valor x ∈ X y el problema de resolver la
ecuaci´on consiste en encontrar S ⊂ X tal que x^2 − 4 x + 3 = 0. Entonces S ser´a el
conjunto de soluciones, que en nuestro caso es { 1 , 3 }, y por tanto decimos que 1 y
3 son soluciones.
DEFINICI ´ON 2.3.1 Una soluci´on de la ecuaci´on diferencial
F (t, y, y′, · · · , yn)) = 0,
es cualquier funci´on y = ϕ(t), definida en un cierto intervalo I ⊂ IR, con derivada
de orden n en ese intervalo y tal que
F (t, ϕ(t), ϕ′(t), · · · , ϕ(t)n)) = 0 , ∀t ∈ I.
El proceso de determinar todas las funciones que son soluciones de una ecuaci´on
diferencial se llama resolver la ecuaci´on diferencial. Por ejemplo, la integraci´on es
un tipo muy simple de resoluci´on de ecuaciones diferenciales.
A diferencia de las ecuaciones algebraicas, las ecuaciones diferenciales tienen por
soluci´on una funci´on. Adem´as, una ecuaci´on diferencial tiene generalmente un n´umero
infinito de soluciones que recibe el nombre de soluci´on general. Algunas ecuaciones
diferenciales tienen soluciones que no pueden obtenerse de la soluci´on general y en
este caso reciben el nombre de soluciones singulares.
En ocasiones, se desea encontrar una soluci´on particular que satisfaga ciertas condi-
ciones adicionales llamadas condiciones iniciales. Las condiciones iniciales especifican
los valores de una soluci´on y de cierto n´umero de sus derivadas en un valor concreto
de la variable t (con frecuencia es t = 0, pero puede ser cualquier otro). El problema
de determinar una soluci´on de una ecuaci´on diferencial que satisfaga ciertas condi-
ciones iniciales se llama un problema de valores iniciales o de Cauchy.
EJEMPLO 2.
La ecuaci´on diferencial (y′(t))^2 + 1 = 0 no tiene soluci´on real, ya que no existe un n´umero real que elevado al cuadrado y sumado con uno valga cero.
La ecuaci´on t^2 + y^2 − 4 = 0 define en forma impl´ıcita una soluci´on de la ecuaci´on diferencial t + yy′^ = 0 en el intervalo − 2 < t < 2. En efecto, si derivamos en forma impl´ıcita la expresi´on t^2 + y^2 − 4 = 0 obtenemos, 2 t + 2yy′^ = 0 ⇒ t + yy′^ = 0. Si despejamos en la soluci´on el valor de y observamos que y = ±
4 − t^2 s´olo est´a definida en − 2 < t < 2.
20 Tema 2 Ecuaciones diferenciales
Si derivamos la funci´on y =
−t^4 si t < 0 t^4 si t ≥ 0 podemos comprobar que es soluci´on de la ecuaci´on diferencial ty′^ − 4 y = 0 en el intervalo −∞ < t < ∞.
EJEMPLO 2.
Estudiar si la funci´on y = 1 /t es una soluci´on de la ecuaci´on y′^ = −y^2 en el intervalo (0, +∞). La funci´on y = 1/t es derivable en el intervalo (0, +∞) y su derivada viene dada por y′^ = − 1 /t^2. Por lo que resulta inmediato que la funci´on y = 1/t satisface la ecuaci´on diferencial y′^ = −y^2.
2.3.1. Existencia y unicidad de soluciones
Una vez que sabemos lo que se entiende por ecuaci´on diferencial y soluci´on de la
misma, podemos preguntarnos:
¿Toda ecuaci´on diferencial tiene soluci´on?
En el caso de que ´esta exista, ¿cu´antas tiene?, ¿qui´enes son?
Antes de responder a estas preguntas, veamos el ejemplo siguiente:
EJEMPLO 2.
La ecuaci´on diferencial (y′(t))^2 + (y(t))^2 + 1 = 0 no tiene soluci´on ya que (y′(t))^2 + (y(t))^2 ≥ 0 para cualquier pareja de valores reales que tomen las funciones y′(t) e y′(t).
Es inmediato comprobar que
y(t) = t^3 + C , ∀t ∈ IR ,
es soluci´on de la ecuaci´on diferencial y′(t) = 3t^2 , para cualquier valor de la constante C. Por tanto, existe un n´umero infinito de soluciones.
En cuanto a la ecuaci´on y′′(t) = 0, cualquier funci´on cuya gr´afica sea una recta ser´a soluci´on. Tambi´en en este caso existe un n´umero infinito de soluciones.
22 Tema 2 Ecuaciones diferenciales
Es inmediato comprobar que el problema de valores iniciales
(y′)^2 = 4y , y(0) = 1 , (2.5)
tiene dos soluciones: (a) y = (t − 1)^2 , (b) y = (t + 1)^2.
TEOREMA 2.3.2 (Teorema de Cauchy-Peano) Sea (t 0 , y 0 ) ∈ IR^2 y suponga-
mos que existe un rect´angulo cerrado
R = {(t, y) ∈ IR^2 : |t − t 0 | ≤ a , |y − y 0 | ≤ b}
en el que la funci´on f es continua. Entonces el problema de valores iniciales
y′^ = f (t, y) , y(t 0 ) = y 0 ,
tiene al menos una soluci´on definida en el intervalo (t 0 − δ, t 0 + δ), donde
δ = m´ın
a,
b
M
, M = m´ax
(t,y)∈IR^2
|f (t, y)|. (2.6)
Hemos visto en el teorema de Cauchy-Peano que la continuidad de la funci´on f (t, y)
en una regi´on R garantiza que por cada punto de R pasa una soluci´on de la ecuaci´on
diferencial y′^ = f (t, y) ¿Ser´a tambi´en cierto que la continuidad de la funci´on f (t, y)
obliga a que por cada punto de R pase una ´unica soluci´on? El siguiente ejemplo nos
dar´a la respuesta a esta pregunta.
EJEMPLO 2.
Supongamos la ecuaci´on diferencial y′^ = f (t, y) = y (^23) , que podemos escribirla
y′y−^ (^23) = 1 ⇒ d dt
(3y (^13) ) = 1.
Integrando 3 y
1 (^3) = t + c ⇒ y =
t 3
, k = cte.
El problema de valores iniciales
y′^ = y
(^3) , y(0) = 0 ,
no tiene soluci´on ´unica, ya que y = t^3 / 27 , e y = 0 son dos soluciones del mismo.
2.3 Soluci´on de una ecuaci´on diferencial 23
Este ejemplo muestra una ecuaci´on diferencial con una funci´on f (t, y) = y^2 /^3 con-
tinua en un rect´angulo R que contiene al punto (0, 0), y sin embargo no tiene una
´unica soluci´on. Si queremos conseguir este ´ultimo objetivo ser´a necesario exigir a la
funci´on f nuevas condiciones.
TEOREMA 2.3.3 (Teorema de Picard) Sea (t 0 , y 0 ) ∈ IR^2 y supongamos que
existe un rect´angulo cerrado
R = {(t, y) ∈ IR^2 : |t − t 0 | ≤ a , |y − y 0 | ≤ b}
en el que las funciones f y
∂f
∂y
son continuas. Entonces el problema de valores
iniciales
y′^ = f (t, y) , y(t 0 ) = y 0 ,
tiene soluci´on ´unica definida en el intervalo (t 0 − δ, t 0 + δ), donde δ est´a dado por
OBSERVACI ´ON 2.3.
Los Teoremas 2.3.2 y 2.3.3 nos dan condiciones suficientes pero no necesarias
para garantizar la existencia y unicidad de soluciones para un problema de
valores iniciales.
La soluci´on de un problema de valores iniciales puede existir en un intervalo
mayor que el mencionado en los Teoremas 2.3.2 y 2.3.3.
En los Teoremas 2.3.2 y 2.3.3 hemos considerado rect´angulos R cerrados y
acotados. Pueden enunciarse teoremas an´alogos utilizando rect´angulos abiertos
R = {(t, y) ∈ IR^2 : |t − t 0 | < a , |y − y 0 | < b} ,
o bien rect´angulos del tipo
R = {(t, y) ∈ IR^2 : t 0 ≤ t < t 0 + a , |y − y 0 | < b}.
En estos casos tenemos que a˜nadir la hip´otesis de que las funciones f y
∂f
∂y
est´en acotadas.
EJEMPLO 2.
En el problema de valores iniciales
ty′^ = 2y , y(0) = 0 , (2.7)
las funciones f (t, y) = 2 y t
∂f (t, y) ∂y
t
2.4 An´alisis geom´etrico de y′^ = f (t, y) 25
- Campo de direcciones. Nuestra ecuaci´on diferencial define un campo de di- recciones en todo el plano Oty cuyas direcciones son constantes a lo largo de rectas paralelas al eje de abscisas t. Podemos construirlo (v´ease Figura 2.3) con ayuda del Mathematicar. << Graphics‘PlotField‘ PlotVectorField[{ 1 , y^2 }, {t, − 3 , 3 }, {y, − 3 , 3 }] Como la direcci´on que define el campo de la ecuaci´on y′^ = y^2 , en cada pun- to del plano depende s´olo de la coordenada y, entonces para cualquier y 0 los puntos de la forma (t, y 0 ) con t ∈ IR, se encuentran rodeados de un campo direccional id´entico. En consecuencia, las soluciones pueden obtenerse una de otra haciendo traslaciones en la direcci´on del eje t
Figura 2.3. Campo de direcciones de y′^ = y^2.
- Este hecho puede comprobarse si encontramos la soluci´on expl´ıcita de la ecuaci´on diferencial. Es inmediato comprobar que y(t) = − 1 /(t + c). Ob- servemos que esta familia de soluciones no contiene la soluci´on y = 0 para cualquier c finita.
Para este ejemplo ha sido muy f´acil encontrar la soluci´on de la ecuaci´on diferencial,
pero esto no es lo m´as frecuente. Por tanto, en gran parte de los casos ser´a nece-
sario hacer un estudio geom´etrico para conocer, al menos, el comportamiento de
las soluciones. Tengamos en cuenta que en muchos de los modelos que analizaremos
estaremos interesados no en la soluci´on concreta del problema, sino en su compor-
tamiento a “largo plazo”.
26 Tema 2 Ecuaciones diferenciales
2.5. Teor´ıa cualitativa de EDO aut´onomas
2.5.1. Introducci´on.
A finales del 1600 I. Newton y G. Leibnitz descubrieron el C´alculo y pusieron las
bases para el estudios de los Sistemas Din´amicos. En un principio y hasta momen-
tos recientes se ha intentado encontrar de forma exacta la soluci´on de la ecuaci´on
diferencial que modeliza a una determinada situaci´on. Sin embargo, existen modelos
aparentemente sencillos donde esto no es posible, por ejemplo el problema propuesto
a finales del siglo XIX por Poincar´e^2 conocido con el nombre de los tres cuerpos.
Los matem´aticos probaron que para este problema de atracci´on gravitatoria no era
posible dar su soluci´on expl´ıcita.
Por tanto, el desarrollo hist´orico de las ecuaciones diferenciales ha seguido dos
caminos diferentes. El primero, se caracteriza por una b´usqueda de soluciones ex-
pl´ıcitas, bien sea en f´ormulas exactas (lo que rara vez es posible) o bien en t´erminos
de series de potencias. En el segundo, se abandona toda intenci´on de resolver las
ecuaciones diferenciales en sentido tradicional y se intenta obtener informaci´on cuali-
tativa sobre el comportamiento general de las soluciones.
En esta secci´on realizaremos un estudio geom´etrico para obtener informaci´on so-
bre el comportamiento de las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales llamadas
aut´onomas. En las pr´oximas secciones estudiaremos la forma de resolver ciertos tipos
de ecuaciones diferenciales. En general, resolver una ecuaci´on diferencial es un pro-
blema dif´ıcil, sin embargo, en muchas ocasiones es posible dar informaci´on sobre las
soluciones sin necesidad de calcularlas.
2.5.2. Ecuaciones diferenciales aut´onomas
Ahora, nos centraremos en el problema de aprender cuanto sea posible sobre las
caracter´ısticas esenciales de las soluciones de ecuaciones diferenciales de la forma
y′^ = g(y) por an´alisis directo de la propia ecuaci´on. Este tipo de ecuaciones dife-
renciales recibe el nombre de aut´onomas pues el segundo miembro de la ecuaci´on
es “independiente del tiempo”, en el sentido de no aparecer t. Adem´as, si y(t) es
soluci´on de una ecuaci´on aut´onoma tambi´en lo es la funci´on y(t + c), para cualquier
constante c.
DEFINICI ´ON 2.5.1 Los puntos c ∈ IR tales que y(t) = c es soluci´on de la
ecuaci´on diferencial se llaman puntos de equilibrio.
Si suponemos que el comportamiento din´amico de un sistema biol´ogico est´a mode-
lado matem´aticamente por las curvas soluci´on de una ecuaci´on diferencial aut´onoma
(^2) A.H. Poincar´e (1854 - 1912) se le consider´o como el matem´atico m´as grande de su ´epoca.
Fund´o la din´amica topol´ogica y la topolog´ıa. En sus trabajos sobre la mec´anica celeste elabor´o la teor´ıa de los desarrollos asint´oticos, la cual, en la actualidad es una de las herramientas m´as poderosa del matem´atico aplicado
28 Tema 2 Ecuaciones diferenciales
Cada soluci´on no constante es asint´otica a una soluci´on constante, o bien,
crece o decrece sin l´ımite.
En nuestro ejemplo, observamos que si la condici´on inicial est´a pr´oxima al 0.5 ´o 2.5,
entonces se tiene que la soluci´on del problema de valores iniciales tiende a 0.5 ´o 2. 5
cuando t tiende a infinito. Por el contrario, si la condici´on inicial est´a pr´oxima al 3
pero sin serlo, entonces la soluci´on del problema de valores iniciales crece sin l´ımite
o decrece hacia 2.5. De alguna manera las soluciones constantes 0.5 y 2. 5 atraen a
las soluciones mientras que las soluciones constantes 2 y 3 las repelen.
Las ideas anteriores conducen a los conceptos de estabilidad e inestabilidad. As´ı,
las soluciones y(t) = 0.5 e y = 2.5 son estables mientras que y(t) = 2 o y(t) = 3
tienen un comportamiento inestable.
Intuitivamente, desde un punto de vista f´ısico solo interesan los puntos de equilibrio
que son “estables ”. Un p´endulo en la posici´on vertical superior est´a en equilibrio,
pero es muy improbable que eso ocurra. Adem´as, la menor perturbaci´on altera-
r´a completamente el comportamiento del p´endulo. Tal equilibrio es inestable. En
cambio, la posici´on de reposo inferior es estable; si la perturbamos ligeramente, el
p´endulo oscilar´a a su alrededor y (a causa del rozamiento) se aproximar´a gradual-
mente a ella de nuevo. De aqu´ı nace la idea intuitiva de fuente y sumidero.
DEFINICI ´ON 2.5.3 Decimos que un punto de equilibrio y 0 es:
Un sumidero si cualquier soluci´on con condici´on inicial “suficientemente cerca-
na” a y 0 es asint´otica a y 0 cuando t aumenta.
Una fuente, cuando todas las soluciones que comienzan cerca de y 0 se alejan
de y 0 cuando t aumenta.
Un nodo si no es fuente o sumidero.
En nuestro caso, el eje de ordenadas recibe el nombre de l´ınea fase, siendo los
puntos 0.5 y 2.5 sumideros y los puntos 2 y 3 fuentes.
Por lo comentado anteriormente, si c es un punto de equilibrio y g′(c) < 0 entonces
el cambio de signo es de positivo a negativo y las condiciones iniciales justo por
debajo de c dan lugar a funciones crecientes hacia c y las por encima de c funciones
decrecientes a la soluci´on constante. En el caso en que g′(c) = 0 no podemos asegurar
nada y es necesario ver si se produce cambio de signo. Si no se produce cambio de
signo tendremos que las soluciones por encima y por debajo de la constante son
ambas crecientes o decrecientes, es decir, por un lado se alejar´an de la soluci´on
constante y por otro se acercar´an.
2.5 Teor´ıa cualitativa de EDO aut´onomas 29
RESULTADO 2.5.4 En general, se cumple:
Si g(a) = 0 y g′(a) < 0 , entonces a es un estado de equilibrio estable para la
ecuaci´on diferencial aut´onoma y′^ = g(y).
Si g(a) = 0 y g′(a) > 0 , entonces implica que a es un estado de equilibrio
inestable para la ecuaci´on diferencial aut´onoma y′^ = g(y).
Si a es un estado de equilibrio para y′^ = g(y) en el cual g′(a) = 0, debemos
estudiar la situaci´on con m´as cuidado. Podemos encontrar ejemplos donde a
sea estable o inestable.
EJEMPLO 2.
En el estudio de los efectos de la selecci´on natural sobre una poblaci´on aparece la siguiente ecuaci´on diferencial,
y′(t) = 0. 01 y^2 (t)(1 − y(t)) (2.9) donde y(t) representa a la frecuencia con que se presenta cierto gen a, ¿contr´a quien va la presi´on selectiva? Para conocer el comportamiento a largo plazo del modelo bastar´a con realizar un estudio cualitativo de la ecuaci´on diferencial aut´onoma (2.9)) y para ello ser´a nece- sario encontrar y clasificar sus puntos de equilibrio. Los puntos de equilibrio son las soluciones y(t) constantes, por tanto aquellas fun- ciones donde y′(t) = 0, es decir y(t) = 1, y(t) = 0. Las soluciones constantes dividen a la regi´on {(t, y) ∈ IR^2 /t ≥ 0 , y ≥ 0 } en dos fran- jas (Figura 2.5 colores verde y amarillo). Para valores iniciales de y(t) pertenecientes a la primera regi´on 0 < y(t) < 1, la derivada es positiva y en consecuencia las solu- ciones y(t) son crecientes. Sin embargo, en la segunda regi´on 1 < y(t) (aunque sin sentido biol´ogico) la derivada y′(t) es negativa lo que indica que las funciones solu- ciones y(t) son decrecientes. Estos resultados nos permiten decir que el punto de equilibrio y(t) = 0 es inestable, mientras que y(t) = 1 es asint´oticamente estable (sumidero). A largo plazo, y para cualquier valor inicial 0 < y(0) < 1 las soluciones y(t) → 1
Figura 2.5.
2.6 Resoluci´on de E.D.O. de primer orden 31
Si y′^ = p(t)q(y) entonces (si q(y) 6 = 0) dividimos por q(y) e integramos respecto de
t, obteniendo: ∫
q(y)
dy =
p(t)dt.
EJEMPLO 2.
Si deseamos resolver dy dt = y cos t , y(π/2) = 1.
Estamos ante una ecuaci´on diferencial de variables separables. Procediendo tal y como hemos comentado anteriormente llegamos a dy y = cos t dt, (y 6 = 0).
Calculamos cada una de estas dos integrales ∫ dy y
cos t dt ⇒ ln |y| = sen t + c , c ∈ IR.
O bien
|y| = esen^ t+c^ = esen^ t^ ec^ ⇒ y = k esen^ t^ , k ∈ IR \ { 0 } (k = ± ec), (2.10)
Observemos que hemos podido separar las variables cuando y era distinto de cero. No obstante, es inmediato comprobar que la funci´on y = 0 tambi´en es soluci´on de la ecuaci´on diferencial. Dicha soluci´on tambi´en podemos obtenerla de (2.10), si admitimos que k pueda tomar el valor 0. En consecuencia, la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial viene dada por
y = k esen^ t^ , k ∈ IR. (2.11)
Ahora, si deseamos conocer la soluci´on particular que pasa por el punto (π/ 2 , 1), sustituimos los valores en (2.11),
y(π/2) = 1 ⇒ 1 = k esen^ π/^2 ⇒ k = 1/e.
La soluci´on del problema de valores iniciales vendr´a dada por
y = esen^ y−^1
EJEMPLO 2.
En ciertas situaciones se plantea determinar la relaci´on entre alg´un est´ımulo f´ısico y la reacci´on correspondiente que se produce en el sujeto. Supongamos que la fuerza de un est´ımulo es s y que la intensidad de la reacci´on es una funci´on de s, f (s). Algunos datos experimentales sugieren que la raz´on de cambio de la intensidad de la reacci´on con respecto al est´ımulo es directamente proporcional a la intensidad de la reacci´on e inversamente proporcional a la fuerza del est´ımulo.
32 Tema 2 Ecuaciones diferenciales
De los comentarios anteriores se desprende que f (s) satisface la ecuaci´on diferencial
f ′(s) = k
f (s) s para alguna constante positiva k. Es inmediato comprobar que la soluci´on general de esta ecuaci´on diferencial de variables separables viene dada por
f (s) = c sk
EJEMPLO 2.
La tasa de variaci´on de una poblaci´on de bacterias viene dada por la ecuaci´on dife- rencial y′(t) = (1 − t)y(t), siendo y(t) el n´umero de bacterias en el minuto t. Si inicialmente el n´umero de bacterias es y 0 , ¿cu´antas bacterias habr´a despu´es de t minutos? La ecuaci´on diferencial es de variables separadas
dy y
= (1 − t)dt ⇒ ln y =
t − t^2 2
t^2 2
Ahora encontramos la soluci´on particular correspondiente al valor y(0) = y 0 , es decir k = y 0. Por tanto y(t) = y 0 et−^
t^2 2
EJEMPLO 2.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
dy dt
et 2 y ; (2) y′^ =
eyt ey^ + t^2 ey
(3) y′^ + y = y(tet^2 + 1), y(0) = 1
dy dt
et 2 y Se trata de una ecuaci´on de variables separables,
dy dt
et 2 y ⇒ 2 y dy = et^ dt,
que se resuelve integrando en ambos t´erminos de la ecuaci´on ∫ 2 y dy =
et^ dx ⇒ y^2 = et^ + c , c ∈ IR
- y′^ =
eyt ey^ + x^2 ey
