¡Descarga Modelos de Sistemas: Análisis de Sistemas Mecánicos y Eléctricos y más Apuntes en PDF de Control de Procesos solo en Docsity!
Modelos de sistemas
Para analizar los sistemas de control se necesitan modelos matemáticos de los elementos que se emplean
en dichos sistemas. Estos modelos son ecuaciones que representan la relación entre la entrada y la salida
del sistema.
Bloques funcionales de sistemas mecánicos
Las formas básicas funcionales de sistemas mecánicos son resortes, amortiguadores y masas. Los resortes
representan la rigidez del sistema; los amortiguadores, las fuerzas de oposición al movimiento, es decir,
efectos de amortiguamiento y fricción, y las masas, la inercia o resistencia a la aceleración. Estos bloques
funcionales tienen una fuerza como entrada y un desplazamiento como salida.
La rigidez de un resorte se describe mediante la relación entre la fuerza F empleada para estirar o comprimir
un resorte y la deformación resultante x , ya sea de estiramiento o compresión.
Donde k es una constante. Cuanto mayor sea el valor de k , mayor será la fuerza para estirar o comprimir al
resorte y así la rigidez será mayor. El objeto que aplica la fuerza para estirar el resorte también está sujeto
a una fuerza, la fuerza que ejerce el resorte estirado (tercera ley de Newton). Esta fuerza estará en dirección
opuesta y de igual magnitud a la fuerza empleada para estirar el resorte, kx.
El bloque funcional del amortiguador representa el tipo de fuerzas que se experimentan cuando se intenta
empujar un objeto a través de un fluido o mover el objeto en contra de las fuerzas de fricción. Mientras más
rápido se empuje el objeto, mayor serán las fuerzas de oposición. El amortiguador que se emplea para
representar las fuerzas de amortiguamiento que hacen más lento el movimiento de un objeto consta de un
pistón que se mueve dentro de un cilindro cerrado.
El movimiento del pistón requiere que el fluido pase de un lado a otro de éste. El flujo produce una fuerza
resistiva. En el caso ideal, la fuerza resistiva o de amortiguamiento F es proporcional a la velocidad v del
pistón.
Donde b es una constante. Cuanto mayor sea el valor de b , mayor es la fuerza de amortiguamiento para una
velocidad dada. Como la velocidad es
Entonces
Así, la relación entre el desplazamiento x del pistón (la salida) y la fuerza como entrada depende de la razón
de cambio de la salida.
El bloque funcional de la masa muestra la propiedad de que mientras mayor sea la masa, mayor es la fuerza
requerida para producir una aceleración especifica. La relación entre la fuerza F y la aceleración a es la
segunda ley de Newton.
Donde la constante de proporcionalidad entre la fuerza y la aceleración es la masa m.
Bloques funcionales de sistemas eléctricos
Los bloques funcionales básicos de sistemas eléctricos pasivos son inductores, capacitores y resistores. Para
un inductor , la diferencia de potencial v , a través de éste en cualquier instante depende de la tasa de cambio
de corriente di/dt que fluye por él.
donde L es la inductancia. La dirección de la diferencia de potencial es opuesta a la dirección de la
diferencia de potencial empleada para hacer fluir la corriente por el inductor:
Para un capacitor , la diferencia de potencial a través de éste depende del cambio de carga q , entre las placas
del capacitor en el instante considerado.
donde C es la capacitancia. La corriente i , hacia el capacitor o desde éste es
Entonces la carga total q , entre las placas del capacitor está dada por
Entonces
Si nosotros aplicamos con un resorte una fuerza, ¿cómo va a ser esa fuerza conforme estiramos el resorte?
Cuanto más se estire el resorte más grande va tener que ser la fuerza.
Para un sistema térmico , si tenemos una pared donde tenemos una temperatura T1 y una temperatura T2 , a
través de la pared se deberá establecer un flujo de calor.
Donde R es la resistencia térmica.
Sistemas derivativos
La salida va a ser proporcional a la derivada de la entrada, o sea, la variación o patrón de cambio con
respecto a l tiempo.
Podemos plantear este sistema de la masa, pero nuestra variable en este caso va a ser la velocidad.
Conforme la velocidad v aumenta, o la variación de velocidad aumenta, más grande va a ser la fuerza que
tenemos que hacerle a este sistema.
Para un sistema análogo, en la carga de un capacitor, si queremos calcular cuál es su corriente que se va a
establecer a través del mismo,
𝐶
va a ser directamente proporcional a una constante por la variación de voltaje en bornes del capacitor con
respecto al tiempo. Vemos que es otro sistema donde una de las variables es proporcional a la derivada de
la otra.
Si tenemos una inductancia, y esa inductancia le hacemos circular una corriente y queremos calcular cuál
es la diferencia de potencial en bornes de esta inductancia, tenemos otro sistema que es análogo.
𝐿
Sistemas integrales
La salida de este sistema va a depender de la integral de la entrada con respecto al tiempo. Si queremos
expresar cuánto va a valer la fuerza en función de la velocidad de desplazamiento.
En el sistema mecánico del resorte habíamos dicho que la fuerza es proporcional a k por x. Partimos de la
definición de velocidad que es igual a la derivada del espacio con respecto al tiempo:
Si queremos expresar la fuerza en términos de la velocidad debemos hacer
Podemos expresar a la fuerza como
Para el sistema de inductancia , si queremos expresar cómo va a ser i en función de la diferencia de potencial,
hay que despejar i de la ecuación que teníamos
𝐿
𝐿
𝐿
Vemos que para ambos sistemas la variable dependiente va a ser función de la integral de la variable
independient e.
En el sistema de un capacitor , si queremos decir cómo varía la diferencia de potencial en bornes con
respecto a la corriente que pasa por ese capacitor.
Sin embargo, el movimiento es amortiguado, se
emplea el factor de amortiguamiento relativo ,
para definir el grado de amortiguamiento:
𝑛
2
Reemplazando en (1)
𝑛
2
𝑛
2
𝑛
2
𝑛
2
2
𝑛
2
𝑛
2
𝑛
Dividimos por k
𝑛
2
𝑛
Modelo de sistemas eléctricos
Las ecuaciones que describen cómo se pueden combinar los bloques funcionales eléctricos son las leyes de
Kirchhoff , las cuales se pueden expresar como:
a) Ley 1. La corriente total que fluye hacia una unión es igual a la corriente total que fluye desde esa
unión, es decir, la suma algebraica de las corrientes en la unión es cero.
b) Ley 2. En un circuito cerrado o malla, la suma algebraica de las diferencias de potencial a través de
cada parte del circuito es igual a la fuerza electromotriz (f.e.m.) aplicada.
Una forma conveniente de utilizar la ley 1 es el llamado análisis de nodos ; un nodo es un punto de unión
o conexión entre bloques funcionales o elementos del circuito y un nodo principal es aquel en el que se
encuentran tres o más ramas del circuito. Un modo conveniente de utilizar la ley 2 es el llamado análisis
de mallas ; una malla es una trayectoria cerrada que no contiene ninguna otra trayectoria cerrada.
Ejemplo 1 :
En este ejemplo todos los componentes son
resistencias. Con el análisis nodos se elige un nodo
principal, punto A de la figura, cuyo voltaje está
dado por un valor VA. Con referencia a otro nodo
principal que se haya elegido como referencia
(conviene elegir B). De acuerdo con la primera ley
de Kirchhoff,
1
2
3
La corriente que pasa por R 1 es i 1 , y la diferencia
de potencial a través de R 1 es (V-VA)
1
1
𝐴
La corriente que pasa por R 2 es i 2 , y la diferencia
de potencial VA
2
2
𝐴
Por R3 y R4 pasa la misma corriente, y hay una
diferencia de potencial VA
3
3
4
𝐴
Ejemplo 2:
Para ilustrar el análisis de mallas a menudo
conviene suponer que hay corrientes que circulan
en cada una de las mallas en la forma indicada en
la figura. Entonces se aplica la segunda ley de
Kirchhoff en cada malla. En la malla de la
izquierda donde circula la corriente i 1 , la corriente
que pasa por R 1 es i 1 y la que pasa por R 2 es i 1 - i 2 ,
la diferencia de potencial es
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
En la malla de la derecha por donde circula i 2 , no
hay fuente de f.e.m., entonces
2
3
2
4
2
1
2
Al reordenar la ecuación, se obtiene
2
3
4
2
1
2
Sistema RC
Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff a la malla
del circuito resulta
𝑅
𝐶
𝐶
𝐶
𝐶
Esta ecuación establece la relación entre la salida
V
c
y la entrada V. el sistema es de primer orden
porque tiene una derivada primera.
Sistema RL
𝑅
𝐿
Ecuación diferencial de primer orden.
Sistema RLC
Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff a la malla
de este circuito, la diferencia de potencial en
función de la diferencia de potencial del capacitor
es
(𝑉 𝐶
)
𝑅
𝐶
𝐿
Como hacemos en función de VC
𝐶
2
𝐶
2
𝐶
𝐶
2
𝐶
2
Sistema de segundo orden porque aparece
derivada segunda.
