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INTRODUCCIONINTRODUCCION
LasLas técnicastécnicas de flujo dede flujo de redesredes están orientadas a optimizar situaciones vinculadas a lasestán orientadas a optimizar situaciones vinculadas a las redes deredes de transportetransporte,, redes deredes de comunicacióncomunicación,, sistemasistema de vuelos de los aeropuertos, rutas dede vuelos de los aeropuertos, rutas de navegación de los cruceros, estaciones de bombeo que transportan fluidos a través denavegación de los cruceros, estaciones de bombeo que transportan fluidos a través de tuberías, rutas entre ciudades, redes de conductos y todas aquellas situaciones que puedantuberías, rutas entre ciudades, redes de conductos y todas aquellas situaciones que puedan representarse medianterepresentarse mediante una reduna red donde los nodos representan las estaciones o las ciudades,donde los nodos representan las estaciones o las ciudades, los arcos los caminos, las líneas aéreas, los cables, las tuberías y el flujo lo representan loslos arcos los caminos, las líneas aéreas, los cables, las tuberías y el flujo lo representan los camiones, mensajes y fluidos que pasan por lacamiones, mensajes y fluidos que pasan por la redred.. Con elCon el objetivoobjetivo de encontrar la ruta masde encontrar la ruta mas corta si es una red de caminos o enviar el máximo fluido si es una red de tuberías.corta si es una red de caminos o enviar el máximo fluido si es una red de tuberías. Cuando se trata de encontrar el camino más corto entre un origen y un destino, la técnica,Cuando se trata de encontrar el camino más corto entre un origen y un destino, la técnica, algoritmoalgoritmo o elo el modelomodelo adecuado es el de la ruta más corta; aunque existen otrosadecuado es el de la ruta más corta; aunque existen otros modelosmodelos dede redes como el árbol de expansión mínima, flujo máximo y flujo deredes como el árbol de expansión mínima, flujo máximo y flujo de costocosto mínimo cada unomínimo cada uno abarca un problema en particular. En esteabarca un problema en particular. En este trabajotrabajo se mencionan los modelos de redesse mencionan los modelos de redes existentes y losexistentes y los problemasproblemas que abarca cada uno de ellos, además se describen losque abarca cada uno de ellos, además se describen los algoritmosalgoritmos que aplican estos modelos para encontrar la solución optima al problema.que aplican estos modelos para encontrar la solución optima al problema. Utilizando la terminología utilizada para representarlos como una red.Utilizando la terminología utilizada para representarlos como una red.
MODELOS DE REDESMODELOS DE REDES
Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales aLos problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos:través de uno de estos cuatro modelos: Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión).Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión). Modelo de la ruta más corta.Modelo de la ruta más corta. Modelo del flujo máximo.Modelo del flujo máximo. Modelo del flujo del costo mínimo.Modelo del flujo del costo mínimo.
Modelo de minimización de redesModelo de minimización de redes
El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene queEl modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal quever con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos enminimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en al solución del problema.al solución del problema. Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características:Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características: 1.1. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan lasSe tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Lasligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo ymedidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempotiempo..)) 2.2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de queSe desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos.haya un camino entre cada par de nodos. 3.3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud totalEl objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red.de las ligaduras insertadas en la red.
Una red con n nodos requiere sólo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante formen un árbol de expansión. Por tanto el problema es hallar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras. Algoritmo para construir el árbol de expansión mínima:
- Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano.
- Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados.
- Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo no conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución optima. No obstante, estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de romper los empates hasta el final.
Modelo de Flujo Máximo
Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino. Características:
- Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino.
- Los nodos restantes son nodos de trasbordo.
- Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dad por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos señalan hacia el nodo.
- El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino. El problema de flujo máximo se puede formular como un problema de programación lineal, se puede resolver con el método símplex y usar cualquier software. Sin embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho más eficientes. El algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el de trayectoria aumentada. Algoritmo de la trayectoria de aumento para el problema de flujo máximo:
- Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene
En un problema de programación lineal, las redes pueden representar un conjunto de estaciones, campos petrolíferos, almacenes, fabricas, sucursales, ciudades, interconectadas entre si a través de caminos, conductos, tuberías que permiten fluir productos para la comercialización o la distribución.
Arcos Dirigidos: Se dice que un arco es dirigido cuando el arco tiene flujo en una dirección
(como en una calle de un sentido). La dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco. Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se coloca primero al nodo de donde viene y después el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra Manera es A B.
Arcos No Dirigidos: Si el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones (como
una tubería que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones), se dice que es un arco no dirigido.
También se les llama ligadura. Aunque se permita que el flujo a través de un arco no
dirigido ocurra en cualquier dirección, se supone que ese flujo será en una dirección, en la seleccionada, y no se tendrá flujos simultáneos en direcciones opuestas.
Trayectoria: Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos que
conectan estos nodos. Por ejemplo, una de las trayectorias que conectan los nodos O y T en la figura 1 es la sucesión de arcos OB-BD-DT (O B D T), y viceversa. Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se hace la distinción entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas.
Trayectoria Dirigida: Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesión de
arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j, a través de esta trayectoria es factible.
Trayectoria No Dirigida: Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión
de arcos cuya dirección (si la tienen) pueden ser hacia o desde el nodo j. Con frecuencia alguna trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde él (es decir, hacia el nodo i).
Ciclo: Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. En la red no
dirigida que se muestra en la figura 5 existen muchos ciclos, OA-AB-BC-CO.
Red Conexa: Una red conexa es una red en la que cada par de nodos está conectado. Se
dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. Se debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red sea dirigida. La figura 1 representa una red conexa.
Árbol de Expansión: es una red conexa para los n nodos, que contiene ciclos no dirigidos.
Todo árbol de expansión tiene justo n-1 arcos, ya que este es el número mínimo de arcos necesarios para tener una red conexa y el máximo numero posible para que no haya ciclos no dirigidos. La figura 6 representa una red conexa, la figura 7 muestra los cinco nodos de la red conexa de la figura 6, ahora la figura 8 muestra el proceso para hacer crecer un árbol colocando una rama a la vez, hasta obtener un árbol de expansión. En cada etapa del proceso se tienen varias alternativas para el nuevo arco, por lo que la figura 8 muestra solo una de las muchas formas de construir un árbol de expansión.
Capacidad de Arco: Es la cantidad máxima de flujo (quizás infinito) que puede circular en
un arco dirigido.
Nodo Fuente: (o nodo de origen) tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo
excede al flujo que entra a él.
Nodo Demanda: (o nodo destino) es el caso contrario al nodo fuente, donde el flujo que
llega excede al que sale de él.
Nodo de Trasbordo: (o nodo intermedio) satisface la conservación del flujo, es decir, el
flujo que entra es igual al que sale.
REDES DIRIGIDAS Y NO DIRIGIDAS
Red Dirigida: Es una red que tiene solo arcos dirigidos.
En una red dirigida, un ciclo puede ser dirigido o no dirigido, según si la trayectoria en cuestión es dirigida o no dirigida. (Como una trayectoria dirigida también es no dirigida, un ciclo dirigido es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso no es cierto.) Por ejemplo en la figura 9 DE-ED es un ciclo dirigido. Por contrario, AB-BC-CA no es un ciclo dirigido puesto que la dirección del arco AC es opuesta a la de los arcos AB y BC. Por otro lado, AB-BC-AC no es un ciclo dirigido porque ABCA es una trayectoria no dirigida.
Red No Dirigida: Es una red donde todos sus arcos son no dirigidos. La figura 10
representa una red no dirigida.
VISTA GENERAL DE ALGUNAS APLICACIONES PRÁCTICAS DE LA
OPTIMIZACIÓN DE REDES
- Diseño de redes de telecomunicación (redes de fibra óptica, de computadores, telefónicas, de televisión por cable, etc.)
- Diseño de redes de transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras (vías ferroviarias, carreteras, etc.)
- Diseño de una red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alto voltaje.
muchas variables y restricciones en el modelo y se tendría que utilizar herramientas computacionales para encontrar la solución optima de una forma rápida, ahora con los modelos de redes solo habría que aplicar las iteraciones al grafo que origina la representación de la red del problema y luego aplicar el algoritmo que corresponde, que puede ser el algoritmo de la ruta más corta, algoritmo para encontrar el árbol de expansión mínima, algoritmo de la trayectoria de aumento o el algoritmo de flujo máximo.
- Aunque los problemas de flujo de costo mínimo y el de la ruta más corta pueden formularse como modelos de programación lineal para luego aplicar el método simplex, no es conveniente su utilización. Por otro lado solucionar el problema utilizando redes mejora la eficiencia de los cálculos.
BIBLIOGRAFÍA
Frederick S. Hiller y Gerald J. Liberman. Investigación De Operaciones. McGraw-
Hill. Séptima Edición. 2002.
Hamdy A. Taha. Investigación De Operaciones. Ediciones Alfaomega. Cuarta
Edición. 1991.
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