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Semana 09:

Área de figuras planas.

Particiones: Suma de Riemann.

Asignatura: Análisis Matemático para Economistas I

Dra. Jenny María Ruiz Salazar

Facultad de Ciencias Económicas

Federico Villarreal Facultad de Economía

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Federico Villarreal Facultad de Economía ÁREA DE FIGURAS PLANAS a) Una aproximación por defecto se puede hallar usando una serie de rectángulos como en la figura:

ESTIMADOS PARA EL PROBLEMA

y usaremos el hecho que 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 es no negativa sobre 0 , 2. En la figura se ven tres rectángulos, aunque en realidad se han considerado cuatro rectángulos (el primero tiene altura 0 ) determinados por una división del intervalo 0 , 2 en cuatro subintervalos que constituyen las bases de dichos rectángulos.

Federico Villarreal Facultad de Economía ÁREA DE FIGURAS PLANAS ESTIMADOS PARA EL PROBLEMA Los subintervalos tienen, en este caso particular, la misma longitud: ½ y cuyas alturas miden respectivamente 𝑓 𝑥𝑜 = 𝑓 0 = 0 , 𝑓 𝑥 1 = 𝑓 1 / 2 = 1 / 4 𝑓 𝑥 2 = 𝑓 1 = 1 , 𝑓 𝑥 3 = 𝑓 3 / 2 = 9 / 4

Federico Villarreal Facultad de Economía ÁREA DE FIGURAS PLANAS ESTIMADOS PARA EL PROBLEMA En este caso, la suma de las áreas de los rectángulos 𝐴𝑖, 𝑖 = 1 , 2 , 3 , 4 , tiene el valor siguiente: ෍ 𝑖= 1 4 𝐴𝑖 = ෍ 𝑖= 1 4 𝑓 𝑥𝑖− 1 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖− 1 = 𝑓 𝑥𝑜 𝑥 1 − 𝑥𝑜 + 𝑓 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑥 1 + 𝑓 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑓 𝑥 3 𝑥 4 − 𝑥 3 = 0

Por lo tanto: 𝐴 ≥ σ𝑖= 1 4 𝐴𝑖 = σ𝑖= 1 4 𝑓 𝑥𝑖− 1 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖− 1 = 7 4

Federico Villarreal Facultad de Economía ÁREA DE FIGURAS PLANAS ESTIMADOS PARA EL PROBLEMA Al conjunto de números 𝑥𝑜, 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 con 𝑥𝑜 = 0 , 𝑥 4 = 2 , que determina la división de intervalo 0 , 2 se le llama una PARTICIÓN del intervalo 0 , 2 y se le denota por 𝒫. A la suma que nos dio la aproximación por defecto el valor del área 𝐴 se le llama una SUMA INFERIOR de la función 𝑓 correspondiente a la partición dada 𝒫 del intervalo 0 , 2. b) Hallaremos otra aproximación por defecto dividiendo el intervalo 0 , 2 en más subintervalos mediante otra partición 𝒫′ más refinada y que contenga a la partición anterior 𝑐 como la siguiente. 0 = 𝑥𝑜 ′ 𝑥 1 ′ 𝑥 2 ′ 𝑥 3 ′ 𝑥 4 ′ 𝑥 5 ′ 𝑥 6 ′ 𝑥 7 ′ 𝑥 8 ′ = 2 𝒫 = 𝑥𝑜 ′ = 0 , 𝑥 1 ′ , 𝑥 2 ′ , 𝑥 3 ′ , … 𝑥 8 ′ = 2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥𝑖 ′ =

Federico Villarreal Facultad de Economía ÁREA DE FIGURAS PLANAS ESTIMADOS PARA EL PROBLEMA Ahora nos hemos aproximado por defecto más aún pues conseguimos cuatro áreas adicionales * en blanco de la figura anterior. 𝐴 ≥ ෍ 𝑖= 1 8 𝐴𝑖 ′ = ෍ 𝑖= 1 8 𝑓 𝑥𝑖− 1 ′ 𝑥𝑖 ′ − 𝑥𝑖− 1 ′ 𝑥𝑖 ′ − 𝑥𝑖− 1 ′ = 1 / 4 Donde todas las longitudes de las bases miden: 𝐴 ≥ 𝑓 0

Federico Villarreal Facultad de Economía ÁREA DE FIGURAS PLANAS ESTIMADOS PARA EL PROBLEMA Comparando los resultados de (a) y (b) tenemos que 𝐴 ≥ 2. 1 ≥ 1. 75 de modo que si continuamos refinando más nuestra nueva partición 𝒫 ′ , haciendo crecer ilimitadamente el número de subintervalos de 0 , 2 , nos aproximamos cada vez más al valor exacto del área 𝐴, pero por defecto, por construcción. NOTA : Para ambos casos (a) y (b), en cada rectángulo con base en el subintervalo 𝑥𝑖− 1 , 𝑥𝑖 , hemos determinado la altura como la imagen 𝑓 𝑥𝑖− 1 del extremo izquierdo 𝑥𝑖− 1 de dicho subintervalo. Como la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 es creciente sobre 0 , 2 , esto determinó que la aproximación sea POR DEFECTO. Á𝑅𝐸𝐴 𝐴𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖− 1 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖− 1

Federico Villarreal Facultad de Economía ÁREA DE FIGURAS PLANAS ESTIMADOS PARA EL PROBLEMA 𝐴 ≥ ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝐴𝑖 = ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝑓 𝑥𝑖− 1 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖− 1 = ෍ 𝑖= 1 𝑛 8 𝑛^3 𝑖 − 1 2 = 8 𝑛^3 ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝑖 − 1 2 = 8 𝑛 3 ෍ 𝑖= 1 𝑛− 1 𝑖 2 = 8 𝑛 3 𝑛 − 1 𝑛( 2 𝑛 − 1 ) 6 Haciendo crecer el número n de subintervalos ilimitadamente 𝑛 → ∞ obtenemos el valor exacto del área A: 𝐴 = lim 𝑛→∞ ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝐴𝑖 = lim 𝑛→∞ 8 𝑛^3 𝑛 − 1 𝑛( 2 𝑛 − 1 ) 6 𝐴 = lim 𝑛→∞ 4 3 1 − 1 𝑛 2 − 1 𝑛 = 4 3 1 2 = 8 3

Federico Villarreal Facultad de Economía ÁREA DE FIGURAS PLANAS NOTACIÓN A la partición 𝒫′ de la parte (b) que contiene a la partición 𝒫 se le llama un refinamiento de 𝒫. A las diferencias 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖− 1 se les denota: ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖− 1 Y miden las longitudes de los subintervalos 𝑥𝑖− 1 , 𝑥𝑖 En los ejemplos anteriores se eligieron las medidas ∆𝑥𝑖 de un mismo valor constante, pero esto no siempre tiene que ser así.

Federico Villarreal Facultad de Economía ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Federico Villarreal Facultad de Economía ÁREA DE FIGURAS PLANAS Vemos en (c) y (d) que ya sea que nos aproximemos por exceso o por defecto para encontrar el valor exacto del área A, tuvimos necesidad de emplear un proceso de límite cuando el número de n subintervalos crece ilimitadamente: 𝑛 → ∞. NOMENCLATURA: A las sumas que aproximan el valor del área A por EXCESO se les llama SUMAS SUPERIORES de f correspondientes a una partición 𝒫 del intervalo 0 , 2.

Federico Villarreal Facultad de Economía PARTICIONES: SUMAS DE RIEMANN Sea [𝑎, 𝑏] un intervalo cerrado con 𝑎 < 𝑏 ; el conjunto de números 𝑥𝑜, 𝑥 1 , … , 𝑥𝑛 ⊂ [𝑎, 𝑏] es denominado una PARTICIÓN 𝒫 de [𝑎, 𝑏] si: 𝑎 = 𝑥𝑜 < 𝑥 1 < 𝑥 2 < ⋯ < 𝑥𝑖− 1 < 𝑥𝑖 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 Y se le denota por: 𝒫 = 𝑥𝑜, 𝑥 1 , … , 𝑥𝑛 = {𝑥𝑖 / 𝑖 = 0 , 1 , 2 , … , 𝑛} 𝑥𝑜 = 𝑎 𝑥 1 𝑥 2 𝑥𝑖− 1 𝑥𝑖 𝑥𝑛 = 𝑏 Esta partición determina una división del intervalo [𝑎, 𝑏] en n subintervalos 𝑥𝑖 − 1 , 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1 , 2 , … , 𝑛 Longitud de cada intervalo: ∆𝑥𝑖 =^ 𝑥𝑖 −^ 𝑥𝑖 − 1 ,^ 𝑖^ =^1 ,^2 ,^ …^ ,^ 𝑛 Si tienen la misma medida: ∆𝑥𝑖^ =^ 𝑥𝑖^ −^ 𝑥𝑖^ −^1 =^ 𝑏 − 𝑎 𝑛 , ∀𝑖 = 1 , 2 , … , 𝑛 Se dice que la partición es regular , entonces: 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖 𝑏 − 𝑎 𝑛 , 𝑖 = 1 , 2 , … , 𝑛

Federico Villarreal Facultad de Economía PARTICIONES: SUMAS DE RIEMANN DEFINICIÓN Si el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] consiste de un solo punto 𝑎 (𝑎 = 𝑏), se denomina una PARTICIÓN de 𝑎, 𝑎 al conjunto unitario 𝒫 = 𝑥𝑜 = 𝑎, 𝑥 1 = 𝑎 = 𝑎 Esta partición determina en 𝑎, 𝑎 un único “subintervalo” 𝑥𝑜, 𝑥 1 = 𝑎, 𝑎 de longitud cero: ∆𝑥 1 = 𝑥 1 − 𝑥𝑜 = 𝑎 − 𝑎 = 0 DEFINICIÓN Se llama NORMA de la partición 𝒫 = 𝑥𝑜 = 𝑎, 𝑥 1 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏 de 𝑎, 𝑏 y se le denota por 𝒫 a la mayor de las longitudes ∆𝑥𝑖: 𝒫 = 𝑚á𝑥 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖− 1 / 𝑖 = 1 , 2 , … , 𝑛 𝒫 = 𝑚á𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥𝑜 , 𝑥 2 − 𝑥 1 , … , 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛− 1