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Tipo: Monografías, Ensayos
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Palabras clave : sucesiones, series, convergencia, divergencia, razón.
Sucesiones infinitas
Series infinitas
Hasta este momento se sabe cómo sumar dos números o una cantidad finita de números. En esta lectura se encontrarán herramientas que permiten adicionar infinitos números a través de sucesiones y series. Al aplicar estos conceptos es posible construir nuevas funciones que han contribuido a la solución de problemas importantes en la ciencia y la tecnología.
Observe la siguiente secuencia de números:
Se dice que esa secuencia es una sucesión en donde cada uno de esos números es un término de la sucesión en un orden dado. En este ejemplo, el primer término es 1 y el quinto término es
¿Sabía que...?
Una sucesión infinita de números es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos (o enteros mayores que un número n 0 dado) y cuyo rango es el conjunto de los números reales. En otras palabras, considere la sucesión:
donde representan números reales y son los términos de la sucesión; es una función en la que la imagen de 1 es a 1 ,^ de 2 es a 2 ,^ de 3 es a 3 y ,en general, la del entero n es an. Este entero n se llama índice de an e indica el orden que ese término ocupa en la lista.
Las sucesiones se representan por la fórmula general, por ejemplo, la sucesión dada arriba se puede representar como a (^) n = (^) n^1 , también como (^) a
(^)
1 1
�^ o mencionando sus términos:
No siempre las sucesiones se pueden escribir como una fórmula general, sino que se hace mediante una fórmula recursiva, por ejemplo: recursivamente se escribe como
Solución
Para analizar la convergencia, en esta y otras tantas sucesiones, se puede suponer que n es una variable continua y se puede aplicar, como se mencionó antes, las propiedades de los límites, es decir:
lim n n
Esto significa que la sucesión ^1 n
converge a 0. Gráficamente, en la figura 2 se observa que a medida que (^) n crece, la sucesión se va acercando a 0. De aquí en adelante, se va a hacer el análisis mediante el valor de ese límite, calculando con n^ tendiendo a infinito; así, es posible aplicar la regla de L´Hôpital cuando sea necesario.
Ejemplo 2. Analice la convergencia o divergencia de la sucesión a^ n ,�^ donde a^
n n (^) n
Solución
Según lo mencionado anteriormente, se supone que (^) n es continua, así:
lim n^ n lim n n
n n
Se aplican propiedades de los límites
lim n^ n lim n n
n
Se divide entre la mayor potencia de n
lim n n lim n n
1 1 1 1 Se realizan operaciones y se halla el límite; se obtiene que:
Ejemplo 3. Analice la convergencia o divergencia de la sucesión (^) a (^) n ,� donde a n n (^) n = ln
Solución
Según lo mencionado anteriormente, se supone que n^ es continua, así:
lim n ln^^ n lim n n
n
Como las dos funciones son continuas y su indeterminación es de la forma ∞ ∞
, se aplica la regla de L’Hôpital
lim n n lim n n
(^1 0) Se realizan operaciones y se halla el límite; se establece que:
Ejemplo 4. Analice la convergencia o divergencia de la sucesión
Solución
En este caso, observe que a medida que (^) n crece, la sucesión, por un lado, crece a la derecha cuando los términos son positivos, en tanto que, por otro lado, toma el valor de 0. En esta situación, se dice que por un lado va a �y por el otro a 0, por lo que la sucesión diverge. Tenga en cuenta que hay divergencia, pero no es al infinito.
Ejemplo 5. Analice la convergencia o divergencia de la sucesión a^
n n (^) n n n
2
2
Solución
Según lo mencionado, se supone que n^ tiende al infinito, así:
lim n^ n^ n lim n n
n n
n n
(^2 )
2
Se divide entre la mayor potencia de n , en este caso n^2
lim n n^ n n n
2
2
Se calcula el límite; recuerde que ,
Eso significa que
Ejemplo 2. Analice la convergencia de la sucesión a (^) n , donde a^ n^ =^ nnn!
Solución
Antes de realizar el análisis, se define n! como el producto de los números enteros desde 1 hasta n , es decir,. Además, se define 0! como 1.
Para analizar esta sucesión, observe los datos dados en la siguiente tabla:
Tabla 1. Datos para analizar el ejemplo
n n nn
n
Relación
n n nn
n
n n n n
Fuente : elaboración propia
Al revisar los datos anteriores, se puede afirmar que los términos de la sucesión siempre son positivos
y se cumple que: 0 ≤^ n^ n n^!^ ≤^1 n. Dado que las sucesiones convergen a 0, entonces, por el
teorema del emparedado, la sucesión nn n^!
converge a 0.
Si entonces lim n an 0. Eso significa que cuando los signos de la sucesión cambian y cuando al calcular el límite al infinito su valor absoluto es 0, se puede afirmar que la sucesión converge a 0. Esto se puede demostrar usando el teorema del emparedado.
Ejemplo: Analice la convergencia de la sucesión ^
1 n^1 n Solución
lim n n n (^) n n ^1 ^1 ^ lim^1 ^0 Se halla el límite del valor absoluto de la sucesión
lim n n n 1 1 0 Se aplica el teorema mencionado, se encuentra que:
Existen dos conceptos importantes al analizar la convergencia de una sucesión y son los de sucesión acotada y sucesión monótona.
Una sucesión a^ n �^ tiene una cota superior M , si a^ n ≤^ M para toda n^. Igualmente, una sucesión ^ b (^) n � (^) tiene una cota inferior L , (^) si a (^) n ≥ L para toda n. Para entender estos conceptos, analice cada
literal del siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.
A. La sucesión no tiene una cota superior porque no existe ningún número que sobrepase a todos los términos de la sucesión. Sin embargo, la sucesión tiene como cota inferior a todos los números reales menores o iguales a 1; se dice que la máxima cota inferior es 1. B. La sucesión tiene como cota superior a todos los números reales mayores o iguales a 1; se dice que la mínima cota superior es 1. Además, la sucesión tiene como cota inferior a todos los números reales menores o iguales que 1 2
se dice que la máxima cota inferior es 1 2
.
n n n n n n
^
Se plantea la suma
2 2 2 1 1
n^2^ n n^2 n n n n
Se realizan las multiplicaciones indicadas
1 n n (^1)
Se realizan las sumas indicadas
1 1
n n
Se tiene en cuenta que n es un entero positivo, eso significa que:
a (^) n 1 an 0 Indica que a (^) n 1 an para toda n , por lo que se dice que la sucesión es monótona no decreciente.
Ahora se va a analizar si la sucesión dada es acotada superiormente. Para esto, se van a escribir algunos elementos de la sucesión con el fin de tener una mejor idea de su comportamiento:
Al revisar los términos, se puede ver que nunca va a dar 2 como resultado, por lo que es necesario probar que 2 es una cota superior; observe:
2 n (^1 2 1 ) n n
(^) Se reescribe la sucesión y como 1 n
es positivo para toda n , se garantiza que esa diferencia es menor que 2, con lo cual se concluye que la sucesión está acotada. Como se cumple que es acotada y monótona, por el teorema de monotonía se afirma que:
Finalmente, si se quiere saber a qué valor converge, se calcula el límite:
Las siguientes sucesiones convergen a los límites que se muestran. Mire cómo se aplica dicha convergencia para determinar la convergencia de otras sucesiones.
ln n
n (^) n
Se determinará el (^) lim n ln n n
2
lim n ln^^ n lim n ln n
n n
Se aplican propiedades de logaritmos
lim n ln^ n lim n ln n
n n
(^2) 2 Se aplican propiedades de límites
Se hace uso del límite dado.
1 1
Se hallará el lim n n^ n^2 (Se obviarán los pasos, ya que son evidentes)
lim n nn^2 lim n n n lim n nn
(^2 1 2 ) 1 1
Se determinará el lim n n^ 3 n (Se obviarán los pasos, ya que son evidentes)
cuando x = 3
Se hallará (^) lim n
n
(Se obviarán los pasos ya que son evidentes) cuando x^ ^1 2
Dada una sucesión infinita de números (^) a (^) n , una expresión de la forma:
a (^) 1 + a (^) 2 + a (^) 3 + + an +
es una serie infinita. El número an es el n-ésimo término de la serie. La sucesión {s_n } definida como:
s 1 (^) = a 1 s (^) 2 a (^) 1 a 2 s 3 (^) a 1 (^) a (^) 2 a 3
⁝
s (^) n a a a a (^) n a k
n 1 2 3 (^) 1 k
es la sucesión de sumas parciales de la serie, donde el número sn es la n-ésima suma parcial. Si la sucesión de sumas parciales converge a un límite L , decimos que la serie converge y que su suma es L , lo cual se escribe como:
a a a a (^) n a L n
1 2 3 n 1
Si la sucesión de sumas parciales no converge se dice que la serie diverge. Como anotación, se puede escribir ∑ an cuando se sabe que la suma es de 1 a ∞.
Ejemplo
Considere la sucesión a^ n ,�^ donde a n (^) n = 1. La sucesión (^) s (^) n se define como:
s 1 (^) = a 1 = 1
s (^) 2 a (^) 1 a 2 1 1 2
s 3 (^) a 1 (^) a (^) 2 a 3 1 1 2
s (^) 4 a (^) 1 a (^) 2 a (^) 3 a 4 1 1 2
s a a a a n n k n
n 1 2 3 1
Esta serie es divergente; observe que los valores de sus sumas parciales siempre van aumentando, luego su suma no está acotada superiormente.
Las series geométricas son aquellas que tienen la forma:
a ar ar ar ar n ar n
n
(^2 3) 1 (^) 1 1 , donde. También se puede escribir la
serie como (^) n ar^ n
0. La^ razón^^ � r^ puede ser positiva o negativa.
Si r^ <^ 1, la serie geométrica (^) n ar^ n
1 1 converge a a 1 − r
, es decir:
n
ar n a r
1 ^
1 1
Si r ≥ 1 la serie geométrica n
ar^ n
1
(^1) diverge
Ejemplo 1. Analice la convergencia de la serie n
n
Solución
Lo primero que se debe hacer es reescribir la serie de tal manera que quede como una serie geométrica, así:
n
n
n
n
1
1
3 Se aplican las propiedades de la potenciación
n
n
1
La serie converge a 1 6
, ya que^ y^
Ejemplo 2. Analice la convergencia de la serie (^) n
n
(^) 1 ^ 3 1
En este caso, por lo que la serie diverge ya que (^) 3 3 1
n 2 n^ n^ n^ n^1
(^) ^
^ , que, al realizar las sumas indicadas, arroja lo siguiente:
Con lo cual el (^) lim n (^) n n
, lo que significa que la serie converge a 3 4
Si (^) n a n
1 converge, entonces Esto significa que si o el límite no existe, entonces, la serie diverge.
Ejemplo:
A. En la serie n
n n
1
(^1) se tiene que el lim n
n n
(^1) 1 , así que al aplicar el criterio se dice que la serie diverge.
B. En la serie armónica : (^) n n
1
1 se tiene que lim n n
(^1 ) ; sin embargo, eso no significa que la serie converja, ya que esta serie, según se analizó anteriormente, diverge. Hay que tener cuidado con la correcta aplicación del criterio.
Si son series convergentes, entonces:
A. Regla de la suma: ����������� ^ a^ n bn^ ^ a^ n ^ bn^ ^ A^ B. B. Regla de la diferencia: ������������������� ^ ^ a^ n b^ n ^ a^ n ^ bn^ ^ A^ B. C. Regla del múltiplo constante: ������ ^ ka^ n ^ k^ ^ a^ n kA para cualquier k^. D. Todo múltiplo constante no cero de una serie divergente, diverge. E. Si ∑^ an converge y ∑^ bn diverge, entonces, tanto ^ ^ a^ n bn como (^) a (^) n bn divergen.
Se debe tener cuidado al aplicar estas combinaciones de series, ya que, por ejemplo, la suma puede converger a pesar de que las series por separadas diverjan; un ejemplo ocurre con las series ∑ 1 y 1 que divergen, pero su suma converge: 1 1 0 0
Ejemplo. Halle la suma de la serie n n
0
Solución
n ^ n n n
0 0
Se aplica la regla del múltiplo constante
n 0 n n 0 2
n
^
Se reescribe la serie
n 0
n
Se deduce que es una serie geométrica con (^) a = 1 y r = 1 2
, por lo que:
n n
(^) 0
Cuando se tiene una serie se necesita saber si converge o diverge y, en el caso de converger, se espera conocer el número al que converge. La segunda parte de esto es un poco más complicada ya que son muy pocas las series que tienen establecida una fórmula para su suma, en tanto que para la primera inquietud se sabe que hay convergencia si la sucesión de sumas parciales está acotada superiormente. A continuación, se analizarán algunos criterios que permiten determinar si una serie de términos no negativos converge.
s f x n dx
n (^) (^1) ^1 1
2 La suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área de la curva
s x n dx
n 1 (^) ^1 1
2 Se encuentra la imagen de 1
s x
n n^ ^ ^ n
lim (^) Se determina la integral indefinida
s n (^) n n
1 lim (^1 1) Se calcula la integral definida
sn 1 1 2 Se calcula el límite. Con base en esto, se obtiene que la serie tiene una cota superior a 2; es decir, la serie CONVERGE. Además, se puede notar que la integral converge, por lo que la serie converge. Tenga en cuenta que no se está diciendo que la suma de la serie sea 2, tan solo se ha encontrado que esa es una cota superior de ella.
Ejemplo 2. (Criterio de la serie p )
Demuestre que la serie n n^ p^ p^ p^ p^ np
1 ^ ^ ^ ^ ^
1 1 1
1 2
1 3 1 (^) con p un número real constante, converge
si (^) p > 1 y diverge si (^) p ≤ 1
Solución
Esta demostración se va a realizar en dos partes:
A. Si (^) p > 1, entonces la función f^ x^ x p
^1 es positiva y decreciente, por lo que se determinará el valor de la integral, así:
1 1
(^) x pdx^ x^ dx
p (^) Se escribe la integral
1
^
x dx^
x p
b p (^) b
p lim Se determina la integral indefinida
1
(^) x p dx^ ^ p b ^ b lim p^ p Se calcula la integral definida
1
1
^
x (^)
dx p (^) p b (^) bp lim (^) Se opera la potencia donde p 1 0
1
(^) x pdx^ ^ p ^ ^ Se calcula el límite; recuerde que^ b^
p (^1) �cuando p > (^1).
Esto significa que la integral 1
1 1 1
(^) x p^ dx^ ^ p converge y, por el criterio de la integral, la serie
n n^ p
1
1 , con p^ >^1 también converge.
B. Si p^ <^1 , entonces ^ p^ ^1 ^0 ,^ y al encontrar la integral, se tiene que:
1
(^) x p dx^ ^ p b ^ b lim p Se hace el cálculo de la integral definida
Con esto resulta que la integral diverge, luego la serie diverge. En el caso de que se tome a p = 1, se tiene la serie n n
1
(^1) , la cual diverge.
2.5.2. Criterio de comparación
Sean ∑^ an y ∑^ bn series con términos no negativos. Suponga que para algún entero N
para toda n > N
A. Si ∑^ bn converge entonces ∑^ an converge. B. Si ∑ an diverge entonces ∑^ bn diverge.
Ejemplo 1. Pruebe que la serie n n
0
! converge Solución
La serie
n n
0 ^ ^ ^
tiene todos sus términos positivos y, además, son menores o iguales a los correspondientes términos de la serie:
1 1 2
n n^
