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Resumen – En los métodos matemáticos hay varias maneras de
encontrar la raíz de una función, en este reporte se utilizó el
método del Punto Fijo con ayuda del Software de Matlab, se
realizará este método más practico visualizando las graficas
I. INTRODUCCION
E n la resolución de ecuaciones no lineales es un problema
común en diversas áreas de la ingeniería y la ciencia. Estas
ecuaciones pueden modelar una amplia gama de fenómenos físicos,
químicos, biológicos y económicos. Los métodos numéricos
proporcionan herramientas efectivas para encontrar soluciones
aproximadas a estas ecuaciones cuando no es posible obtener
soluciones analíticas.
En los métodos cerrados la raíz se encuentra dentro de un intervalo
predeterminado por un límite inferior y otro superior. La aplicación
repetida de estos métodos siempre genera aproximaciones cada vez
más cercanas a la raíz. Se dice que tales métodos son convergentes
porque se acercan progresivamente a la raíz a medida
que se avanza en el cálculo (Ilustración 1.a).
En contraste, los métodos abiertos descritos en este capítulo se
basan en fórmulas que requieren únicamente de un solo valor de
inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no
necesariamente encierran la raíz. Éstos, algunas veces divergen o se
alejan de la raíz verdadera a medida que se avanza en el cálculo
(Ilustración 1 .b). Sin embargo, cuando los métodos abiertos
convergen (Ilustración 2. c), en general lo hacen mucho más rápido
que los métodos cerrados. [1]
Ilustración 3. Representación gráfica de las diferencias fundamentales
entre los métodos a) cerrados, b) y c) los métodos abiertos para el
cálculo de raíces.
II. OBJETIVO
El objetivo principal es diseñar una interfaz gráfica en MATLAB
que permita a los usuarios resolver ecuaciones no lineales utilizando
métodos numéricos, en particular el método de iteración simple de
punto fijo. La interfaz debe ser intuitiva y fácil de usar, permitiendo
a los usuarios ingresar la función, la aproximación inicial y para
obtener la solución aproximada de la ecuación.
III. MARCO TEORICO
A. DEFINICIONES DE ERROR
Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para
representar operaciones y cantidades matemáticas exactas. Éstas
incluyen los errores de truncamiento que resultan del empleo de
aproximaciones como un procedimiento matemático exacto, y los
errores de redondeo que se producen cuando se usan números que
tienen un límite de cifras significativas para representar números
exactos. Para ambos tipos de errores, la relación entre el resultado
exacto, o verdadero, y el aproximado está dada por:
Reordenando la ecuación anterior se encuentra que el error
numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor
aproximado, es decir:
𝑡
donde 𝐸
𝑡
se usa para denotar el valor exacto del error. El subíndice
t indica que se trata del error “verdadero” (true). Como ya se
mencionó brevemente, esto contrasta con los otros casos, donde se
debe emplear una estimación “aproximada” del error.
Una desventaja en esta definición es que no toma en consideración
el orden de la magnitud del valor que se estima. Por ejemplo, un
error de un centímetro es mucho más significativo si se está
midiendo un remache en lugar de un puente. Una manera de tomar
en cuenta las magnitudes de las cantidades que se evalúan consiste
en normalizar el error respecto al valor verdadero, es decir:
donde, como ya se mencionó en la ecuación,
error = valor verdadero – valor aproximado. El error relativo
también se puede multiplicar por 100% para expresarlo como:
𝑡
donde 𝜀
𝑡
denota el error relativo porcentual verdadero.
Primer Examen Parcial de Métodos Numéricos:
INTERFAZ GRAFICA DE METODO DEL PUNTO
FIJO.
Samuel A. López, Moisés A. Diaz, Emerson G. Cerezo, Mauricio G. García, Daniel Z. Jaime
07 - Febrero- 2024
A. ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO
Los métodos abiertos emplean una fórmula para predecir la raíz.
Esta fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de
punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución
sucesiva o método de punto fijo), al arreglar la ecuación f(x) = 0 de
tal modo que x esté del lado izquierdo de la ecuación:
Esta transformación se realiza mediante operaciones algebraicas o
simplemente sumando x a cada lado de la ecuación original. Por
ejemplo,
2
Se arregla para obtener
2
Mientras que 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 puede transformarse en la forma de la
ecuación sumando 𝑥 a ambos lados para obtener
La utilidad de la ecuación es que proporciona una fórmula para
predecir un nuevo valor de 𝑥 en función del valor anterior de 𝑥.
De esta manera, dado un valor inicial para la raíz 𝑥𝑖, la ecuación
se utiliza para obtener una nueva aproximación 𝑥 𝑖+ 1
, expresada
por la fórmula iterativa
𝑖+ 1
𝑖
Como en otras fórmulas iterativas de este libro, el error
aproximado de esta ecuación se calcula usando el error
normalizado
𝑎
𝑖+ 1
𝑖
𝑖+ 1
B. CONVERGENCIA
Note que el error relativo porcentual verdadero en cada iteración del
ejemplo es proporcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de la
iteración anterior. Esta propiedad, conocida como convergencia
lineal, es característica de la iteración simple de punto fijo.
Además de la “velocidad” de convergencia, en este momento
debemos enfatizar la “posibilidad” de convergencia.
Un método gráfico alternativo consiste en separar la ecuación en
dos partes, de esta manera:
1
2
Entonces las dos ecuaciones
1
1
y
2
2
se grafican por separado. Así, los valores de 𝑥 correspondientes a
las intersecciones de estas dos funciones representan las raíces de
𝑓(𝑥) = 0. [1]
C. MATLAB PARA METODOS NUMERICOS
MATLAB es una herramienta poderosa y ampliamente utilizada en
el ámbito de los métodos y el análisis numéricos. Se destaca por su
capacidad para realizar cálculos numéricos, visualización de datos
y programación fácil. [1]
D. MATLAB GUIDE
MATLAB GUIDE es una herramienta de desarrollo de MATLAB
que permite crear interfaces gráficas de usuario de forma rápida y
sencilla. Con MATLAB GUIDE, puedes diseñar GUIs interactivas
utilizando una interfaz gráfica, lo que significa que no necesitas
escribir código manualmente para crear botones, cuadros de texto,
menús desplegables y otros elementos de la interfaz.
Con MATLAB GUIDE, puedes arrastrar y soltar controles desde
una paleta de herramientas en una ventana de diseño para construir
tu GUI. Luego, puedes personalizar la apariencia y el
comportamiento de estos controles mediante la configuración de
propiedades y la definición de funciones de callback.
Ilustración 2. Interfaz MATLAB GUIDE.
IV. DESARROLLO
A. GENERAR INTERFAZ
A continuación, se mostrarán los pasos para iniciar la interfaz del
sistema
1.Abrir MATLAB Guide:
Puedes abrir MATLAB Guide desde la ventana de comandos de
MATLAB escribiendo el comando guide y presionando Enter. Esto
abrirá la ventana de MATLAB Guide donde puedes comenzar a
diseñar tu GUI.
Ilustración 3. Inicialización de GUIDE
Ilustración 8 .Segunda parte del código.
Ilustración 9 .Tercera parte del código.
Ilustración 10 .Cuarta parte del código.
Ilustración 11 .Quinta parte del código.
C. INTERFAZ
Una vez realizado el código, se creo la interfaz para poder ingresar
la función, el valor inicial y así poder visualizar la tabla de
iteraciones, así como las gráficas de cuando se cruzan las funciones,
así como cuando hacen el cruce por cero (Raíces).
Siendo esta interfaz la siguiente:
Ilustración 12 .Interfaz inicializada.
Ilustración 13 .Pruebas del método del punto fijo.
Ilustración 14 .visualización de gráficas y tabla.
V.RESULTADOS
Con la interfaz se pudieron visualizar las gráficas de las
funciones ingresadas, así como lograr ingresar la función a
analizar y los botones de iniciar.
Ilustración 15 .interfaz para ingresar función, valor inicial y visualizar
graficas.
En la siguiente imagen se muestra la tabla de iteraciones
realizadas por el método, así como el valor de los errores en
las iteraciones.
Ilustración 16 .Tabla de iteraciones y errores.
VI.CONCLUSIÓN
Con este examen se puso en práctica uno de los varios
métodos matemáticos vistos en el primer parcial de la
materia de métodos matemáticos donde se ocupó el software
de MATLAB para la realización del método del punto fijo
con los códigos para realizar las iteraciones y mostrar los
errores relativos y aproximado, así como las gráficas para
poder entender mejor el método. Adicional de la interfaz para
poder ingresar el valor de la ecuación y el valor inicial y
visualizar las gráficas y tablas y de esta manera hacer más
didáctico el aprendizaje
VII. BIBLIOGRAFÍA
[1] R. Canale y S. Chapra, Métodos Numéricos Para
Ingenieros. McGraw-Hill Co., 1992.
[2] Smith, J. (2000). Métodos Numéricos y Análisis Numérico.
Editorial XYZ
[3] “2.4 Método del Punto fijo – Concepto – Métodos
numéricos”. Blog de ESPOL | Noticias y Actividades de
ESPOL. Accedido el 7 de febrero de 2024. [En línea].
Disponible:http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/punto-
fijo-concepto/
[4] “GUI de MATLAB”. MathWorks - Creadores de
MATLAB y Simulink - MATLAB y Simulink - MATLAB
& Simulink. Accedido el 7 de febrero de 2024. [En línea].
Disponible: https://la.mathworks.com/discovery/matlab-
gui.html
