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Una explicación detallada del método de gauss-seidel para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo un ejemplo práctico. También se introduce el método de newton-raphson para sistemas de ecuaciones no lineales. Se destaca la importancia de las ecuaciones en la vida cotidiana, especialmente en el ámbito de la economía, y se ilustra con un problema de oferta y demanda. El documento concluye con un ejemplo práctico de resolución de un sistema de ecuaciones lineales para determinar el número de preguntas acertadas y falladas en un examen.
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
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El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas
suministra soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20
ecuaciones. El número exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se conservan en el resultado de las
operaciones aritméticas, y del procedimiento de redondeo. Utilizando
ecuaciones de error, el número de ecuaciones que se pueden manejar se
puede incrementar considerablemente a más de 15 o 20, pero este
método también es impráctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos
de ecuaciones que se deben resolver simultáneamente. El método de
inversión de matrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja con números muy grandes de ecuaciones simultáneas.
1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia. 2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos. 3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes. 4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos
Suponemos los valores iniciales X 2 = 0 y X 3 = 0 y calculamos X 1
Este valor junto con el de X 3 se puede utilizar para obtener X 2
La primera iteración se completa sustituyendo los valores de X 1 y X 2 calculados obteniendo:
En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:
Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración
Como podemos observar, no se cumple la condición
Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman como supuestos para la siguiente iteración. Se repite entonces el proceso:
Comparando de nuevo los valores obtenidos
Como se observa todavía no se cumple la condición
Así que hacemos otra iteración
Comparando los valores obtenidos
sustitución tendremos: De la segunda ecuación: x = 2y + 8; sustituyendo en la primera: 2y + 8 + y = 20 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 12/ ⇒ y = 4 Sustituyendo en la ecuación del principio: x = 16 .Una vez halladas las
soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4. Podemos pasar pues a la cuarta fase que consiste en comprobar si la solución es correcta. Si ha acertado 16 preguntas, Juan tendría en principio 16 puntos, pero, al haber fallado 4 , le restarán el doble de puntos, es decir 8. Por tanto, 16 - 8 = 8 que es la nota que, según el enunciado del problema, ha obtenido. Luego se cumplen las condiciones del problema la solución hallada es correcta y válida.
