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MÉTEDO DE HEUN
Método de Heun para la Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales
El método de Heun, también conocido como el método de Euler mejorado o predictor-corrector,
es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Este método forma
parte de los métodos de integración numérica, ampliamente utilizados para aproximar
soluciones de ecuaciones diferenciales cuando no es posible obtener una solución exacta.
A diferencia del método de Euler simple, el cual utiliza una aproximación de primer orden y
estima la pendiente en un solo punto, el método de Heun introduce un procedimiento corrector
que permite alcanzar una mayor precisión. Este procedimiento se basa en calcular una pendiente
preliminar (predicción) y luego corregirla utilizando una pendiente final que tiene en cuenta el
valor inicial y el punto estimado. La combinación de ambas pendientes produce una media que
se utiliza para obtener el valor siguiente de la función, mejorando considerablemente la
precisión y estabilidad de la solución.
Cita basada en el autor Numerical Methods for Engineers Chapra (2015) explica el proceso de
esta manera: “El método de Heun, también conocido como el método de Euler mejorado,
representa un avance significativo sobre el método de Euler simple. La idea subyacente es usar
una técnica predictor-corrector que permite refinar el cálculo de la pendiente. Inicialmente, se
estima la pendiente en el punto inicial, como se hace en el método de Euler. Luego, usando esta
pendiente, se predice el valor de la función en el siguiente paso de tiempo. A continuación, se
calcula una pendiente corregida utilizando este valor predicho. Finalmente, la pendiente
utilizada para la actualización es la media de las pendientes inicial y corregida, lo cual permite
que el error truncado sea de segundo orden, reduciendo considerablemente el error global en
comparación con el método de Euler. Este método es particularmente útil cuando se requieren
soluciones numéricas estables y precisas para ecuaciones diferenciales de primer orden.” (7th
ed., p. 459).
Para resolver una EDO de la forma
ⅆ y
ⅆ x
=f ( x , y ) , con una condición inicial
y
(
x
0
)
= y
0
, el método
de Heun utiliza un enfoque de dos pasos en cada intervalo:
Pasos para utilizar el método de Heun
I. Predicción con el método de Euler
Se realiza una primera estimación para el valor de y en el siguiente punto x
n+ 1
usando:
y
pred
= y
n
+h. f
x
n
, y
n
donde h
es el tamaño del paso.
II. Corrección con la pendiente promedio
Se calcula el valor de y en x_(n+1) usando un promedio de las pendientes en el punto
inicial y en el punto predicho:
y
n+ 1
= y
n
h
f ( x
n
, y
n
+f ( x
n+ 1
, y
pred
Este método es útil en aplicaciones de ingeniería, física y otras ciencias donde se
requiere una aproximación rápida y relativamente precisa de la solución de una EDO sin
recurrir a métodos computacionalmente más costosos.
Ventajas y limitaciones
El método de Heun ofrece mayor precisión que el método de Euler, especialmente para
funciones con pendientes que cambian rápidamente. Sin embargo, para problemas más
complejos o donde se requiere una precisión muy alta, podrían considerarse métodos de mayor
orden, como el método de Runge-Kutta de cuarto orden.
Ejemplo
Resolver la EDO
ⅆ y
ⅆ x
=x+ y
Con condición inicial
y
( 0 )
, usando un tamaño de paso h=0.1 para encontrar el valor
aproximado de y en x=0.1 y x=0.2.
Solución
Primer paso: Calcular y en x=0.
y
pred
= y
n
+h. f
x
n
, y
n
Calculamos f
x
0
, y
0
=f
y
pred
= 1 +0.1 x 1 =1.
Corrección:
y
n+ 1
= y
n
h
f ( x
n
, y
n
+f ( x
n+ 1
, y
pred
y
1
( 1 +1.2)= 1 +0.1 x 1.1=1.
Entonces, el valor aproximado de y en x=0.1 es
y
( 0.1)
Segundo paso: Calcular y en x=0.
y
pred
= y
n
+h. f
x
n
, y
n
Calculamos f
x
1
, y
1
=f
y
pred
=1.11+0.1 x 1.21=1.
Corrección:
y
2
(
[ 4 e
0.8( 1 )
−0.5( 6.7010819 )] +[ 4 e
0.8( 2 )
−0.5(12.2527 )] )
y=16.
y
3
( [ 4 e
0.8( 2 )
−0.5(16.3197819 )] +[ 4 e
0.8( 3 )
−0.5( 27.9720 )] )
y=37.
y
4
(
[ 4 e
0.8( 3 )
−0.5(37.1992489 )] +[ 4 e
0.8( 4 )
−0.5( 62.6923 )] )
y=83.
- Una solución de salmuera de razón constante de 6 L/min
, hacia el interior de un
depósito que inicialmente contiene 50L de solución de salmuera en la cual se disolvieron
X kg de sal. La solución contenida en el depósito se mantiene bien agitada y fluye hacia el
exterior con la misma rapidez. Si la concentración de sal presente en el depósito es de 0.
kg/L, determinar la cantidad de sal presente en el depósito al cabo de 1 minuto. ¿Cuánta
concentración de sal alcanzará en el depósito en un tiempo de 5 minutos?
Con h=1.25 y 5 iteraciones
x
( t
)
=kg de sal dentro del depósito en el insatante t
ⅆ y
ⅆ x
= 6 × 0.5− 6 ×
y
y
y
( 0 )
y
( 5 )
A=
y
pred
= y
n
+h. f
x
n
, y
n
B=
f ( x
n
, y
n
+f ( x
n+ 1
, y
pred
C=
y
n+ 1
= y
n
h
f ( x
n
, y
n
+f ( x
n+ 1
, y
pred
i t
1
A B C
0 0 8 2.22 7.
1 1.25 10.3375 1.91475 10.
2 2.5 12.37189 1.64908 12.
3 3.75 14.1239 1.420284 13.
4 5
EJERCICIOS PROPUESTOS
- Del río Mantaro se separa una muestra de la cual, se obtiene un tanque perfectamente
agitado se tiene 400L de una salmuera en la cual están disueltos de sal común, en cierto
momento se hace llegar al tanque un gasto de un 80 salmuera que contiene 0.5 kg de sal
común por litro. Si tiene un gasto de salida de 80L/min, determine:
a) ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque transcurrido 10 minutos?
b) ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque transcurrido un tiempo muy grande (50 min)?
Respuesta
a)
y
10
b)
y
50
- Durante el proceso de clasificación de los desechos en la planta de tratamiento de
residuos sólidos en Huancayo. Se hacen reaccionar isotérmicamente260g de acetato de
etilo
C H
3
COO C
2
H
5
con 175g de hidróxido de sodioNaOH en solución acuosa
(ajustando el volumen total a 5 litros) para dar acetato de sodio
C H
3
COONa y el
alcohol etílico
C
2
H
5
OH
de acuerdo con la siguiente ecuación estequiométrica:
C H
3
COO C
2
H
5
3
COONa+C
2
H
5
OH
Respuesta
a) y ( 30 )=0.
- La planta de tratamiento de aguas residuales en Huancayo se compone de tanques
conectados entre sí para descontaminar las aguas residuales. Calcular el tiempo
necesario para que el nivel del líquido dentro del tanque esférico con r=5m pase de 4m a
3m. La velocidad de salida por el orificio del fondo es de v= 4.895, el diámetro de dicho
orificio es de 10 cm.
Respuesta
a) y
Referencias
Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2015). Métodos numéricos para ingenieros (7.ª ed.). McGraw-Hill
Education.
Burden, R. L., & Faires, J. D. (2011). Análisis numérico (9.ª ed.). Cengage Learning.
Kiusalaas, J. (2010). Numerical Methods in Engineering with Python 3. Cambridge University
Press.
