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M´etodo de bisecci´on (b´usqueda binaria)
Estos apuntes est´an redactados por Maria de los Angeles Isidro P´erez y Egor Maximenko.
Objetivos. Conocer el m´etodo de bisecci´on para resolver ecuaciones no lineales.
Requisitos. Teorema del valor intermedio y elementos de programaci´on: comando If, el ciclo While y la recursi´on (opcional).
Teorema del valor intermedio (repaso)
- Primer teorema del valor intermedio (Bernhard Bolzano y Augustin-Louis Cauchy). Sean a, b ∈ R tales que a < b, sea f : [a, b] → R una funci´on continua que toma valores de signos opuestos en a y b, esto es,
( f(a) < 0 y f(b) > 0
o
f(a) > 0 y f(b) < 0
Entonces existe al menos un punto x en el intervalo (a, b) tal que f(x) = 0.
- Primer teorema del valor intermedio, sin f´ormulas. Si una funci´on continua cambia su signo en un intervalo entonces esta necesariamente se anula en este intervalo.
- Forma breve para escribir la condici´on que la funci´on tiene signos opuestos en los extremos del intervalo. La condici´on (1) se puede escribir brevemente de la siguiente manera: f(a)f(b) < 0. (2)
- Multiplicar los signos en vez de valores. Puede ser que los n´umeros f(a) y f(b) son muy peque˜nos y el n´umero |f(a)f(b)| es menor que el n´umero m´ınimo positivo que se puede representar en la m´aquina, as´ı que el producto f(a)f(b) se representa en la m´aquina como el cero (“arithmetic underflow”). Para evitar esta situaci´on, en vez de (2) se usa la siguiente condici´on que matematicamente es equivalente a (2), pero es m´as segura para los c´alculos: sgn(f(a)) sgn(f(b)) < 0. (3)
- Idea del m´etodo: “divide y vencer´as”. Sea f : [a, b] → R una funci´on continua que cumple con (1). Tomamos la aproximaci´on a la raiz c como el punto medio del intervalo [a,b]:
c =
a + b 2
Si f(c) = 0 , entonces ya tenemos una soluci´on. Si f(c) tiene el mismo signo que f(a), entonces f cambia su signo en [c, b], y tiene que existir una ra´ız en este intervalo. Si f(c) tiene el mismo signo que f(b), entonces f cambia su signo en [a, c], y tiene que existir una ra´ız en este intervalo. En los ´ultimos dos casos, hemos reducido el intervalo de busqueda a la mitad: [a, c] o [c, b].
- Los siguientes dibujos muestran la elecci´on de los extremos nuevos del intervalo, deno- tados por a′^ y b′, dependiendo de los signos de f(a), f(b) y f(c).
Caso f(a) < 0, f(b) > 0, f(c) < 0
a b
c
a′^ := c, b′^ := b
Caso f(a) < 0, f(b) > 0, f(c) > 0
a c b
a′^ := a, b′^ := c
Caso f(a) > 0, f(b) < 0, f(c) < 0
a
c b
a′^ := a, b′^ := c
Caso f(a) > 0, f(b) < 0, f(c) > 0
a
b c
a′^ := c, b′^ := b
Versi´on recursiva del algoritmo de bisecci´on
En vez del ciclo While se puede usar la recursi´on. Para no calcular varias veces los valores de la funci´on en un mismo punto vamos a pasar los valores calculados anteriormente como argumentos de la funci´on recursiva.
- Algoritmo BisectionRecur.
Funci´on BisectionR(f, a, b, fa, fb, xtol, ytol, maxiter): Vabiables locales: c, fc; c := (a + b) / 2; fc := f(c); Si (abs(c - a) < xtol) o (abs(fc) < ytol) o (maxiter <= 1): Regresar (c, 1); En otro caso: Si sign(fc) * sign(fa) < 0: (c, i) := BisectionR(f, a, c, fa, fc, xtol, ytol, maxiter - 1); En otro caso: (c, i) := BisectionR(f, c, b, fc, fb, xtol, ytol, maxiter - 1); Regresar (c, i + 1);
Funci´on BisectionRecur(f, a, b, xtol, ytol, maxiter): Variables locales: fa, fb; fa := f(a); fb := f(b); Si sign(fa) * sign(fb) > 0: Regresar (a, -1); En otro caso: Regresar BisectionR(f, a, b, f(a), f(b), xtol, ytol, maxiter);
