NOMBRE: ALEXIS DE JESÚS JUAN LUIS.
MATERIA: MECÁNICA DE MATERIALES
SEMESTRE: 4
NUMERO DE CONTROL: 18190392
NOMBRE DEL DOCENTE:
ING. ORIHUELA GONZALES JULIO
ANTONIO.
UNIÓN HIDALGO OAXACA
25 DE JUNIO DEL 2020
INSTITUTO TECNOLÓGICO
DEL ISTMO
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Concentración de Esfuerzos en Elementos Estructurales: Análisis y Aplicaciones, Apuntes de Mecánica de Materiales
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Tipo: Apuntes
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Subido el 04/01/2021
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NOMBRE: ALEXIS DE JESÚS JUAN LUIS.
MATERIA: MECÁNICA DE MATERIALES
SEMESTRE: 4
NUMERO DE CONTROL: 18190392
NOMBRE DEL DOCENTE:
ING. ORIHUELA GONZALES JULIO
ANTONIO.
UNIÓN HIDALGO OAXACA
25 DE JUNIO DEL 2020
INSTITUTO TECNOLÓGICO
DEL ISTMO
Contenido
UNIDAD 1. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN AXIAL Y
DE CORTE PURO.
UNIDAD 1. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN AXIAL Y
DE CORTE PURO.
1.1 ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACIÓN
AXIAL.
1.1 ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACIÓN
AXIAL.
Esfuerzo normal 𝜎 a la cantidad de fuerza por unidad de área actuando en
dirección normal. Puede expresarse de la siguiente manera.
1.1 ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACIÓN AXIAL.Esfuerzo
normal 𝜎 a la cantidad de fuerza por unidad de área actuando en dirección
normal. Puede expresarse de la siguiente manera.
La ecuación expresa la intensidad de un esfuerzo uniforme en una barra
prismática con secciones transversal arbitraria cargada axialmente.
La ecuación expresa la intensidad de un esfuerzo uniforme en una barra
prismática con secciones transversal arbitraria cargada axialmente.
Cuando la barra es estirada por la fuerza P, los esfuerzos son esfuerzos
de tensión; si se invierte la dirección de las fuerzas, las barras se
comprimen y tenemos esfuerzos de compresión. Puesto que los
esfuerzos actúan en una dirección perpendicular a la superficie cortada,
se denomina esfuerzos normales.
Si ∆𝐹𝑛 (sale) de la sección transversal, el esfuerzo normal es de tracción
y se denota con signo positivo. De lo contrario, el esfuerzo normal es de
compresión y se escribe con signo negativo.
Cuando la barra es estirada por la fuerza P, los esfuerzos son esfuerzos
de tensión; si se invierte la dirección de las fuerzas, las barras se
comprimen y tenemos esfuerzos de compresión. Puesto que los
esfuerzos actúan en una dirección perpendicular a la superficie cortada,
se denomina esfuerzos normales.
Si ∆𝐹𝑛 (sale) de la sección transversal, el esfuerzo normal es de tracción
y se denota con signo positivo. De lo contrario, el esfuerzo normal es de
compresión y se escribe con signo negativo.
Ya que los esfuerzos actúan en una dirección perpendicular a la
superficie cortada, a esto se le denomina esfuerzo normal. Y, por tanto,
los esfuerzos normales pueden ser de tensión o de compresión.
Cuando se requiere una conversión de signos para los esfuerzos
normales, se acostumbra definir a los esfuerzos de tensión como
positivos y a los esfuerzos de compresión como negativos. Puesto que
el esfuerzo normal se obtiene dividiendo la fuerza axial entre el área de
la sección transversal, tiene unidades de fuerzas por unidad de área.
DEFORMACIÓN AXIAL.
La resistencia del material no es el único parámetro que debe utilizarse
al diseñar o analizar una estructura; controlar la deformación para que
la estructura cumpla con el propósito para el cual el diseño tiene la
misma o mayo importancia. El análisis de las deformaciones se
relaciona con los cambios en la forma de la estructura que generan las
cargas aplicadas.
Una barra sometida a una fuerza axial de tracción aumentara su
longitud inicial; se puede observar que, bajo la misma carga, pero con
una longitud mayor este aumento o alargamiento se incrementa
también. Por ello definir la deformación (𝜀) como el cociente entre el
alargamiento 𝛿 y la longitud inicial L, indica que sobre la barra la
deformación es la misma porque si aumenta L también aumenta 𝛿.
Al observar la ecuación se obtiene que la deformación es un valor
adimensional siendo el orden de magnitud en los casos del análisis
estructural alrededor de 0.0012, lo cual es un valor pequeño (Beer y
Johnston, 1993; Popov; 1996; Singer y Pytel; 1982)
Ya que los esfuerzos actúan en una dirección perpendicular a la
superficie cortada, a esto se le denomina esfuerzo normal. Y, por tanto,
los esfuerzos normales pueden ser de tensión o de compresión.
Cuando se requiere una conversión de signos para los esfuerzos
normales, se acostumbra definir a los esfuerzos de tensión como
positivos y a los esfuerzos de compresión como negativos. Puesto que
el esfuerzo normal se obtiene dividiendo la fuerza axial entre el área de
la sección transversal, tiene unidades de fuerzas por unidad de área.
DEFORMACIÓN AXIAL.
a) Límite de proporcionalidad: se observa que va desde el origen
O hasta el punto llamado limite de proporcionalidad, es un
segmento de recta rectilíneo; de donde se deduce la tan conocida
relación de proporcionalidad entre la tensión y la deformación
enunciada en el año 1678 por Robert Hooke, cabe resaltar, más
allá la formación deja de ser proporcional a la tensión.
b) Limite de elasticidad o Limite elástico: es la tensión más allá
del cual el material no recupera totalmente su forma original al ser
descargado, sino que queda con una deformación residual
llamada de deformación permanente.
c) Punto de fluencia: es aquel donde en el aparece un considerable
alargamiento o fluencia del material sin el correspondiente
aumento de carga que, incluso, puede disminuir mientras dura la
influencia. Sin embargo, el fenómeno de la fluencia es
característico del acero al carbono, mientras que hay otros tipos
de aceros, aleaciones y otros metales y materiales diversos, en
los que no manifiesta.
d) Esfuerzo máximo: es la máxima ordenada en la curva fuerzo-
deformación.
e) Esfuerzo de rotura: verdadero esfuerzo generado en un material
durante la rotura.
f) Límite de proporcionalidad: se observa que va desde el origen
O hasta el punto llamado limite de proporcionalidad, es un
segmento de recta rectilíneo; de donde se deduce la tan conocida
relación de proporcionalidad entre la tensión y la deformación
enunciada en el año 1678 por Robert Hooke, cabe resaltar, más
1.3 LEY DE HOOKE.
1.4 ESFUERZO CORTANTE Y
DEFORMACIÓN ANGULAR.
1.3 LEY DE HOOKE.
La relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria para una barra
en tensión o compresión simple se expresa por la ecuación:
En donde s es el esfuerzo axial, es la deformación unitaria axial y E es una
constante de proporcionalidad conocida como modulo de elasticidad del
material. El modulo de elasticidad es la pendiente del diagrama esfuerzo
deformación unitaria en la región linealmente elástica. Como la
deformación unitaria es adimensional, las unidades de E son las mismas
que las del esfuerzo. Las unidades típicas de E so psi o ksi en unidades
inglesas y pascales en unidades SI.
Las ecuaciones anteriores se conocen como ley Hooke, nombrada en
honor del famoso científico ingles Robert Hooke (1635-1703), quien fue la
primera persona que investigo científicamente las propiedades elásticas
de los materiales y probo varios de ellos con metal, madera, piedra, hueso
y tendones, Hooke midió el alargamiento de alambres largos que
soportaban pesos y observo que los estiramientos “siempre mantiene las
mismas proporciones entre sí de acuerdo con los pesos que los causaron”.
Así Hooke estableció la relación lineal entre las cargas aplicadas y los
alargamientos resultante.
LEY DE HOOKE EN CORTANTES.
Las propiedades de un material en cortante se pueden determinar de
manera experimental a partir de ensayos de cortante directo o de ensayos
de torsión. Estos últimos ensayos se realizan torciendo tubos circulares
huecos, lo que produce un estado de cortante puro.
A partir de los resultados de esos ensayos, podemos trazar diagramas de
esfuerzo-deformación unitaria cortante (es decir, diagramas de esfuerzo
cortante t en función de la deformación unitaria cortante. Estos diagramas
son similares en forma a los diagramas de ensayos de tensión para los
mismos materiales, aunque difieren en las magnitudes.
La ecuación de ley de Hooke en cortante:
1.3 LEY DE HOOKE.La relación lineal entre el esfuerzo y la
deformación unitaria para una barra en tensión o compresión simple se
expresa por la ecuación:
En donde s es el esfuerzo axial, es la deformación unitaria axial y E es una
Tipos de esfuerzos cortantes:
- Esfuerzo constante horizontal: se desarrolla a lo largo de un
elemento estructural que es sometido a cargas transversales
que es igual al esfuerzo cortante vertical en ese mismo punto.
También llamado esfuerzo cortante longitudinal.
- Esfuerzo vertical: esfuerzo que se desarrolla a lo largo de la
sección transversal de un elemento estructural para resistir la
cortante transversal.
- Esfuerzo cortante de punzonamiento: esfuerzo cortante
elevado, debido a la reacción de la fuerza que desarrolla un
pilar sobre una losa de hormigón armado.
el esfuerzo cortante promedio sobre la sección transversal de
un perno se obtiene dividiendo la fuerza cortante total V entre el
área A de la sección transversal sobre la que actúa.
𝑝𝑟𝑜𝑚
Tipos de esfuerzos cortantes:
- Esfuerzo constante horizontal: se desarrolla a lo largo de un
elemento estructural que es sometido a cargas transversales
que es igual al esfuerzo cortante vertical en ese mismo punto.
También llamado esfuerzo cortante longitudinal.
- Esfuerzo vertical: esfuerzo que se desarrolla a lo largo de la
sección transversal de un elemento estructural para resistir la
cortante transversal.
- Esfuerzo cortante de punzonamiento: esfuerzo cortante
elevado, debido a la reacción de la fuerza que desarrolla un
pilar sobre una losa de hormigón armado.
el esfuerzo cortante promedio sobre la sección transversal de
un perno se obtiene dividiendo la fuerza cortante total V entre el
área A de la sección transversal sobre la que actúa.
𝑝𝑟𝑜𝑚
1.5 ESFUERZOS DE APLASTAMIENTO.
1.5 ESFUERZOS DE APLASTAMIENTO.
Tanto pernos como pasadores y remaches crean esfuerzos en los elementos,
en toda la superficie de aplastamiento de contacto. Un ejemplo, si
consideramos nuevamente las dos platinas A y B, unidades por un remache
CD.
El remache ejerce sobre la platina A una fuerza P igual u opuesta a la fuerza F
que ejerce la platina sobre el remache. P es la resultante de fuerzas
elementales distribuidas en la superficie interior de un semicilindro de diámetro
D y longitud T igual al espesor de la platina. Como la distribución de estas
fuerzas y los esfuerzos correspondientes es muy complicada, en la practica se
usa un valor medio OB, llamado fuerza de aplastamiento, que se obtiene
dividiendo la carga P por el área proyectada del remache en platina. Como
esta área es igual a TD en que T es el espesor de la platina y D el diámetro del
remache, se tiene:
𝑏
𝑑
1.6 ESFUERZO ADMISIBLES Y CARGAS
ABMISIBLESTanto pernos como pasadores y remaches crean esfuerzos en los
elementos, en toda la superficie de aplastamiento de contacto. Un ejemplo, si consideramos
nuevamente las dos platinas A y B, unidades por un remache CD.
Cargas admisibles o permisibles:
Después que se han establecido los esfuerzos permisibles para
un material o una estructura particular, se puede determinar la
carga permisible sobre esa estructura. La relación entre la carga
permisibles y el esfuerzo permisible depende del tipo de
estructura. Solo las clases mas elementales de estructuras, que
son las barras en tensión o compresión y los pasadores (o pernos)
en cortante directo y en soporte. En estos tipos de estructuras los
esfuerzos están distribuidos uniformemente. Un ejemplo muy claro
es una barra de tensión, el esfuerzo esta distribuido
uniformemente sobre el área de la sección transversal siempre
que la fuerza axial resultante actúe en el centroide de la sección
transversal.
Lo mismo es válido para una barra en compresión con la
condición que no se le someta una carga excéntrica que provoque
pandeo. En el caso de un pasador sometido a cortante, solo
consideramos el esfuerzo cortante promedio sobre la sección
transversal, que es equivalente a suponer que el esfuerzo cortante
esta distribuido uniforme. De manera similar, solo consideramos
un valor promedio del esfuerzo de soporte que actúa sobre el área
proyectada del pasador.
Por tanto, en los cuatro casos anteriores la carga permisible es
igual al esfuerzo permisible por el área sobre la que actúa:
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = (𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒)(Á𝑟𝑒𝑎)
Para barras en tensión y compresión directo (sin pandeo), esta
ecuación se convierte en:
𝑝𝑒𝑟𝑚
𝑝𝑒𝑟𝑚
En donde 𝜎 𝑝𝑒𝑟𝑚
es el esfuerzo cortante permisible y A es el área
sobre la que actúa el esfuerzo cortante.
Si el pasador esta en cortante simple, el área es el de la sección
transversal del pasador; en cortante doble, del área de la sección
transversal. Por último, la carga permisible basada en soporte es:
𝑝𝑒𝑟𝑚
𝑏
𝑏
En donde 𝜎 𝑝𝑒𝑟𝑚
es el esfuerzo normal permisible y Ab es el área
proyectada del pasador u otra superficie sobre la que actúan los
esfuerzos de soporte.
Cargas admisibles o permisibles:
Después que se han establecido los esfuerzos permisibles para
un material o una estructura particular, se puede determinar la
carga permisible sobre esa estructura. La relación entre la carga
permisibles y el esfuerzo permisible depende del tipo de
1.7 CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS.
2.1 SOLUCION DE SISTEMAS HIPERESTATICOS
SUJETOS A CARGAS1.7 CONCENTRACIÓN DE
ESFUERZOS.
Los cambios o variaciones de las secciones transversales de una pieza y
especialmente las variaciones bruscas, resultan en la magnificación de los
Esfuerzos efecto conocido como concentración de Esfuerzos. las hendiduras,
agujeros y cambios de sección bruscos son concentradores de Esfuerzos. se
ha podido verificar que por ejemplo un agujero circular en una placa plana
incrementa los esfuerzos hasta tres veces.
El análisis de los concentradores de esfuerzo es indispensable en piezas
sometidas a fatiga. En un ensayo de tensión común, no necesariamente
produce un efecto cuantificable ya que esa zona experimenta un aumento de
resistencia por deformación plástica, pero es interesante observar que la fisura
comienza precisamente en la discontinuidad.
1.7 CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS.Los cambios o
variaciones de las secciones transversales de una pieza y especialmente las
variaciones bruscas, resultan en la magnificación de los Esfuerzos efecto
conocido como concentración de Esfuerzos. las hendiduras, agujeros y
cambios de sección bruscos son concentradores de Esfuerzos. se ha podido
verificar que por ejemplo un agujero circular en una placa plana incrementa los
esfuerzos hasta tres veces.
El análisis de los concentradores de esfuerzo es indispensable en piezas
sometidas a fatiga. En un ensayo de tensión común, no necesariamente
produce un efecto cuantificable ya que esa zona experimenta un aumento de
resistencia por deformación plástica, pero es interesante observar que la fisura
comienza precisamente en la discontinuidad.
La intensidad de una concentración de esfuerzo suele expresarse
como la razón del esfuerzo máximo al nominal, llamado factor de
concentración de esfuerzos K.
𝑀𝐴𝑋
𝑁𝑂𝑀
(26 A) acero + (6 A) bronce= 176.52 KN
2(6ac) (600 mm
2
- (6br) (900mm
2
) =176.52 KN
- (1200mm26ac) +(6br(900mm2) =176.52 KN
Obtenemos una ecuación solida donde ya tenemos a los dos esfuerzos
6ac y y 6br relacionados.
Debido a que las varillas se deforman por el paso de la barra, la
deformación de la varilla de aceros y la deformación de la varilla de
bronce será la misma esto es:
ac=br
ahora pondremos la ecuación en términos de esfuerzos:
sustituyendo todos los datos nos queda:
6ac=3.85542 6br
Metiendo este valor en (1200mm26ac) +(6br(900mm
2
)=176.52 KN
nos darán los esfuerzos
6ac=124 Mpa
6br=32 Mpa
(26 A) acero + (6 A) bronce= 176.52 KN
2(6ac) (600 mm
2
- (6br) (900mm
2
) =176.52 KN
- (1200mm26ac) +(6br(900mm2) =176.52 KN
Obtenemos una ecuación solida donde ya tenemos a los dos esfuerzos
6ac y y 6br relacionados.
Debido a que las varillas se deforman por el paso de la barra, la
deformación de la varilla de aceros y la deformación de la varilla de
bronce será la misma esto es:
ac=br
ahora pondremos la ecuación en términos de esfuerzos:
sustituyendo todos los datos nos queda:
6ac=3.85542 6br
Metiendo este valor en (1200mm26ac) +(6br(900mm
2
)=176.52 KN
2.2 MÉTODO DE IGUALACIÓN DE LAS
DEFORMACIONES:
2.2 MÉTODO DE IGUALACIÓN DE LAS
DEFORMACIONES:
La compatibilidad de las deformaciones te permite calcular las reacciones en
un sistema hiperestático.
Se sabe que existen solo dos ecuaciones de equilibrio, las cuales son:
Sumatoria de fuerzas=
Sumatoria de momentos=
La diferencia entre un sistema isostático e hiperestático es el primero se puede
resolver utilizando las ecuaciones de equilibrio y el segundo no, debido a que
existen más incógnitas que ecuaciones.
Un ejemplo es una viga empotrada en u extremo y simplemente apoyada en el
otro es un sistema hiperestático de primer orden, es decir, se requiere de una
ecuación adicional para resolver y encontrar las relaciones.
Una viga doblemente empotrada es un sistema hiperestático de segundo orden,
debido a que requiere 2 ecuaciones a parte de las de equilibrio para resolver el
sistema.
Ejemplo:
Viga doble empotrada con una carga puntual P en medio de la luz (L/2)
llamaremos al extremo izquierdo A y B al derecho.
era
ecu.
da
ecu. (momento A).
Aplicando superposición (liberando extremo b) se tiene:
Viga empotrada en un extremo y libre en el otro con una carga puntual en la
mitad de luz, se determina su flecha y Angulo en el extremo libre, es decir:
2
2.3 MÉTODO DE COMPARACIÓN GEOMÉTRICA
DE LAS DEFORMACIONES
2.3 MÉTODO DE COMPARACIÓN GEOMÉTRICA
DE LAS DEFORMACIONES
El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras
hiperestáticas de barra que se comportan elástica y linealmente. También se le
conoce como método directo de la rigidez o método de los desplazamientos.
El método consiste en asignar a la estructura de barra un objeto matemático,
llamado matriz de rigidez, relaciona los desplazamientos de un conjunto de
puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es
necesario aplicar para lograr esos desplazamientos generalizados(los
componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a
desplazamientos generalizados).la matriz de rigidez relaciona las fuerzas
nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura.
Desarrollo del método de los desplazamientos.
2.3 MÉTODO DE COMPARACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS
DEFORMACIONESEl método matricial de la rigidez es un método de
cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barra que se comportan elástica
y linealmente. También se le conoce como método directo de la rigidez o método
de los desplazamientos.
El método consiste en asignar a la estructura de barra un objeto matemático,
llamado matriz de rigidez, relaciona los desplazamientos de un conjunto de
puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es
necesario aplicar para lograr esos desplazamientos generalizados(los
componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a
desplazamientos generalizados).la matriz de rigidez relaciona las fuerzas
nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura.
Desarrollo del método de los desplazamientos.
El método de los desplazamientos, basándose en el principio d superposición,
equipara el estado real de carga de una estructura a la suma de los dos estados de
carga siguiente:
Estado de carga 1:
Considerando que los nudos no giran ni se trasladan. En este caso las
barras se suponen empotradas en sus extremos y, por tanto, sometidas
a las cargas y a las reacciones de los empotramientos supuestos.
De esta manera se determinan las solicitaciones de las barras, siendo
nulos los desplazamientos en el estado de carga.
Estado de carga 2
Considérense las cargas inicialmente aplicadas sobre los nudos, a las
que hay que añadir las acciones de empotramiento −𝐹
𝑒
𝑒
iguales
y de sentido contrario a las reacciones de empotramiento calculadas en
el estado de carga 1.
Su poniendo ambos estados de carga se obtiene el sistema de cargas
𝑖
𝑎
que originan los desplazamientos de los nudos.