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Facultad de Ingeniería
Álgebra Lineal
Conceptos básicos
Definición.
𝑈𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴 𝑑𝑒 𝑚 𝑥 𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑚 x 𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎
𝑖𝑗
𝑨 =
(
𝒂
𝟏𝟏
𝒂
𝟏𝟐
⋯ 𝒂
𝟏𝒋
⋯ 𝒂
𝟏𝒏
𝒂
𝟐𝟏
𝒂
𝟐𝟐
⋯ 𝒂
𝟐𝒋
⋯ 𝒂
𝟐𝒏
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝒂
𝒊𝟏
𝒂
𝒊𝟐
… 𝒂
𝒊𝒋
𝒂
𝒊𝒏
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝒂
𝒎𝟏
𝒂
𝒎𝟐
⋯ 𝒂
𝒎𝒋
⋯ 𝒂
𝒎𝒏)
𝒎𝒙𝒏
𝐷𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒, 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑏í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒, 𝒊, 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑜 𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙ó𝑛 𝑦 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜, 𝒋, 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎
𝑖𝑗
. 𝑚 𝑋 𝑛 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧.
𝑖𝑗
𝑖𝑗
) 𝑜 [𝑎
𝑖𝑗
].
𝑨 = (
1 2 5
1
2
⁄
3 5 8 0
1 2
3
4
⁄ 4
)
3 𝑥 4
13
24
33
32
Cuando 𝑚 = 𝑛 se dice que la matriz es cuadrada, por ejemplo
𝑨 = (
𝟏 𝟑
𝟐 𝟒
)
𝟐𝑿𝟐
𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝟐 𝒙 𝟐
Definición
Un vector o matriz columna b de m componentes es una matriz de dimensión m X 1:
1
2
𝑈𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑓𝑖𝑙𝑎 a 𝑑𝑒 𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 1 𝑋 𝑛:
a = (𝑎
1
2
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
1 2 5
1
2
⁄
3 5 8 0
1 2
3
4
⁄ 4
)
3 𝑥 4
𝟐𝟐
𝟑𝟏
𝟐𝟑
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𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏
𝟐𝟐
𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ù𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑦 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎
𝟐𝟐
𝟑𝟏
𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ù𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑦 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎
𝟑𝟏
𝟐𝟑
𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ù𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑦 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎
𝟐𝟑
𝐿𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑡𝑖𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 2023 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧ó 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎 500 𝑡𝑢𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑖𝑡𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑆𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑦 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑣𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛:
Colombianos Mexicano Venezolanos
Hombres 50 70 150
Mujeres 90 90 50
𝐶 𝑀 𝑉
𝐻
𝑀
(
50 70 150
90 90 50
)
Definición.
𝑚𝑥𝑛
𝑝𝑥𝑞
𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠, 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖:
𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑐𝑢á𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑙𝑜 𝑠𝑜𝑛.
a. (
) b. (
) d. (
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𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝐸𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑚 = 𝑛.
3 𝑥 3
Matrices cuadradas especiales
En las matrices cuadradas tenemos los siguientes conceptos:
Diagonal principal: La constituyen los elementos 𝑎𝑖𝑗 que cumplen con la condición i = j , es decir,
11
22
𝑛𝑛
. Para el ejemplo dado, los elementos 2, 5 y 0 constituyen la diagonal principal.
Diagonal secundaria: La constituyen los elementos aij que cumplen con la condición 𝑖 + 𝑗 = 𝑛 + 1.
Para el ejemplo dado, los elementos 3 , 5 y 0 constituyen la diagonal secundaria.
Traza: Es la suma de los elementos de la diagonal principal y se denota por 𝑡𝑟(𝐴). Esto se puede
representar simbólicamente por 𝑡𝑟(𝐴) =
11
𝑛
𝑖= 1
. Para el ejemplo dado 𝑡𝑟(𝐴) = 7.
Matriz triangular superior
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos bajo la diagonal principal iguales a cero. Esto es
𝑖𝑗
= 0 𝑠𝑖 𝑖 > 𝑗. Por ejemplo:
3 𝑥 3
Matriz triangular inferior
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a cero. Esto es
𝑖𝑗
= 0 𝑠𝑖 𝑖 < 𝑗. Por ejemplo: 𝐴
3 𝑥 3
Matriz diagonal
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y bajo la diagonal principal iguales a cero.
Esto es 𝒂
𝒊𝒋
= 𝟎 𝒔𝒊 𝒊 ≠ 𝒋. Por ejemplo: 𝐴
3 𝑥 3
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Matriz escalar
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y bajo la diagonal principal iguales a cero, y
los elementos de la diagonal principal iguales entre sí. Esto es 𝒂 𝒊𝒋
𝒊𝒊
= 𝒌 𝒄𝒐𝒏 𝒌 ∈ 𝑹. La
matriz escalar es un caso particular del conjunto de matrices diagonales. Por ejemplo:
3 𝑥 3
Matriz identidad
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos iguales a cero, excepto los de la diagonal principal
que son iguales a 1 y se denota por 𝐼𝑛𝑥𝑛. Note que existe una matriz identidad por cada tamaño n x n y
este tipo de matriz es un caso particular del conjunto de matrices escalares. Por ejemplo:
2 𝑥 2
3 𝑥 3
4 𝑥 4
Matriz simétrica. Es una matriz cuadrada que es igual a su matriz traspuesta:
𝐴 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 ↔ 𝐴
𝑇
𝑖𝑗
𝑗𝑖
Matriz antisimétrica. Es una matriz cuadrada cuya traspuesta es igual a su opuesta:
𝑇
𝑖𝑗
𝑗𝑖
𝑖𝑖
𝑖𝑖
Por ejemplo, (
Sean 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗
𝑖𝑗
) dos matrices de la misma dimensión (ambas de 𝑚 𝑥 𝑛). Entonces la suma
𝑨 + 𝑩 es la matriz de igual dimensión 𝑚 𝑥 𝑛 cuyos elementos son la suma de los correspondientes
elementos de A y B.
𝒊𝒋
𝒊𝒋
𝒊𝒋
𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟐
𝟏𝒏
𝟏𝒏
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝟐𝒏
𝟐𝒏
𝒎𝟏
𝒎𝟏
𝒎𝟐
𝒎𝟐
𝒎𝒎
𝒎𝒎
Si las dimensiones no son iguales la suma no está definida.
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11
12
1 𝑗
1 𝑛
21
22
2 𝑗
2 𝑛
𝑖 1
𝑖 2
𝑖𝑗
𝑖𝑛
𝑚 1
𝑚 2
𝑚𝑗
𝑚𝑛
𝒎𝒙𝒏
Esto es ∝ 𝐴 = (𝛼𝑎
𝑖𝑗
) es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por ∝
Ejemplo.
1
5
Propiedades básicas de la multiplicación por escalares
- Asociatividad. 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴 𝑦 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 ∝ 𝑦 𝛽 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
Ejercicios
- Si 𝐴 = (
) realice los cálculos indicados.
a. 𝐴 + 𝐵 b. 3 𝐵 c. 5 A d. − 2 𝐶 e. 𝐵 + 3 𝐶 f. 2 𝐴 − 5 𝐵 g. − 3 𝐵 + 2 𝐶 h. − 5 𝐴 + 3 𝐵
i. 0 𝐶 j. 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 k. 2 𝐴 + 4 𝐵 − 3 𝐶 l. 3 𝐴 − 2 𝐵 + 5 𝐶 m. 3 𝐵 − 7 𝐶 + 2 𝐴 n. ∝ 𝐴 +
1
𝜕
- Si 𝑨 =
realice los cálculos indicados.
a. 𝐴 + 𝐵 b. − 5 𝐵 c. 5 A d. − 7 𝐶 e. 𝐵 + 5 𝐶 f. 2 𝐴 −
5
3
𝐵 g. − 3 𝐵 + 2 𝐶 h. − 5 𝐴 + 3 𝐵
i. 0 𝐶 j. 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 k. 2 𝐴 + 4 𝐵 − 3 𝐶 l.
1
2
𝐴 − 6 𝐵 + 5 𝐶 m. 3 𝐵 − 7 𝐶 + 2 𝐴 n. ∝ 𝐴 +
1
𝜕
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- Si 𝐴 = (
3 𝑥 2
3 𝑥 2
2
3
7
5
3 𝑥 2
realice las operaciones indicadas.
a. 𝐴 + 𝐵 b. − 5 𝐵 c. 5 𝐴 d. − 7 𝐶 + 2 A e. 𝐵 + 5 𝐶 f. 2 𝐴 − 5 / 3 𝐵 g. − 3 𝐵 + 2 𝐶 h. − 5 𝐴 + 3 B
i. 0 𝑐 j. 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 k. 2 𝐴 + 4 𝐵 − 3 𝐶 l. 1 / 2 𝐴 − 6 𝐵 + 5 𝐶 m. 3 𝐵 − 7 𝐶 + 2 𝐴 n. ∝ 𝐴 + 1 /𝜕 𝐵 − 𝛣𝐶
- Encuentre una matriz D tal que 2 𝐴 + 𝐵 − 𝐷 es la matriz cero de 3 𝑥 2
- Encuentre una matriz E tal que 𝐴 + 2 𝐵 − 𝐶 + 𝐸 es la matriz cero de 3 𝑥 2
- Encuentre una matriz F tal que 2 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 − 3 𝐹 es la matriz de 3 𝑥 2 con todos sus elementos
iguales a 1.
- Considere las matrices 𝐴 = [
] y 𝐵 = [
], resuelva la siguiente ecuación para 𝑋
- Sea 𝐴 = [
] 𝐵 = [
] y C. [
], realice las siguientes operaciones
a. 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 b. 2 𝐴 − 𝐵 + 𝐶 c. 3 𝐴 − 5 𝐵 + 7 𝐶
- Encuentre una matriz D tal que 3 𝐶 − 2 𝐵 + 7 𝐴 es la matriz cero de 3 𝑥 3
- Encuentre una matriz F tal que 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 es la matriz de 3 𝑥 3 con todos sus elementos iguales a 1.
- Determinar en caso de que existan, todos los ∝ 𝑦 𝛽 tales que
a. 𝛽 (
) b. (
- Determinar, en caso de que existan, todas las matrices B que satisfacen
a. (
𝑇
) b. (
𝑇
13. Pruebe que si 𝐴 es de 𝑛 𝑥 𝑛, entonces 𝑨 + 𝑨
𝑻
es siempre una matriz simétrica, y 𝑨 − 𝑨
𝑻
es siempre
una matriz antisimétrica
