MATERIAL BECA 18 PAO, Esquemas y mapas conceptuales de Matemáticas

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Razonamiento Matemático

Números y operaciones IV:

Mínimo común múltiplo y

máximo común divisor

PREPÁRATE

SESIÓN

El mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD)

Actividad: Resolvemos situaciones que impliquen el uso del MCM y del MCD

La matemática es una ciencia que se constituye como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lógico, numérico y espacial. Diversos matemáticos dedicaron muchos años de su vida al estudio de cada una de las ramas de esta disciplina y, finalmente, lograron dar a conocer al mundo sus deducciones, conjeturas, leyes y teorías, cuyos estudios duraron años y a veces siglos, pero a través de su historia las conocemos y las estudiamos hoy.

Conocer la historia de la matemática te ayudará a valorarla y a comprenderla en una mayor dimensión y motivará tu dedicación al estudio de las ciencias.

En esta sesión se plantearán situaciones en las cuales tendrás la oportunidad de trabajar con relaciones numéricas a partir de conceptos ya estudiados anteriormente y también de nuevos conceptos. Estos últimos te permitirán formar y desarrollar un proceso de aprendizaje basado en la ampliación de tu conocimiento y tu mejora continua.

Hay tres g r u p o s juveniles: el grupo A tiene 120 miembros; el grupo B, 160 miembros; y el grupo C, 200 miembros.

Debemos formar equipos combinados, cada uno de ellos con igual número de miembros y con el menor posible.

¿Cuántos miembros de cada grupo juvenil integrará cada equipo combinado? ¿Esta situación requiere el conocimiento del MCM o del MCD?

(^1) Centro Preuniversitario de la PUCP. (septiembre, 2019). Simulacro de examen de admisión. Ceprepuc.

Situaciones problemáticas

Situación problemática 1

Una empresa de instalaciones eléctricas ha sido contratada para iluminar un ambiente donde se llevará a cabo la graduación de los estudiantes de una institución educativa. Se usarán 6 juegos de luces que estarán conectados al mismo tiempo. El primero se encenderá cada 3 segundos; el segundo, cada 6 segundos; el tercero, cada 12 segundos; el cuarto, cada 15 segundos; el quinto, cada 18 segundos; y el último, cada 30 segundos. ¿Cada cuántos minutos se encenderán los seis juegos de luces simultáneamente? 1

A) 2 min B) 2,5 min C) 3 min D) 5 min E) 6 min

Solución

Calculamos el menor múltiplo de intervalos de tiempo de las 6 luces.

MCM = 2^2. 3^2. 5 = 180

Calculamos los minutos que hay en 180 segundos. 180 / 60 = 3

Luego, los juegos de luces se encenderán simultáneamente cada 3 minutos.

Respuesta C

Situación problemática 2

Se necesita almacenar 780 botellas de aceite y 1220 botellas de vinagre en cierto número de cajas que contengan el mismo número de botellas, pero sin mezclar botellas de diferente tipo y sin que sobre ninguna. ¿Cuál es el menor número de cajas que se requiere?

A) 20 B) 80 C) 100 D) 60 E) 120

Solución

Para obtener N → el menor número de cajas, el número de botellas en cada caja debería ser el máximo posible.

Hallamos el MCD de 780 y de 1220.

1220 610 305 61

MCD (780; 1200) = 20

El máximo número de botellas será 20.

Hallamos el número de cajas.

N = 39 + 61 = 100

Luego, el menor número de cajas que se requiere es 100.

Respuesta C

Situación problemática 4

Tres hermanos visitan a su tía. Juan lo hace cada 5 días; Esteban, cada 10 días; y Ramón, cada 15 días. Se sabe que los tres coincidieron en visitar a su tía el 3 de julio. Luego de ese día, ¿en qué fecha coincidieron en la visita que realizaron por tercera vez?

A) 1 de setiembre B) 31 de agosto C) 30 de agosto D) 2 de setiembre E) 3 de setiembre

Solución

Primera visita: 3 de julio Calculamos el menor múltiplo de intervalos de visita de Juan, Esteban y Ramón.

MCM (5; 10; 15) = 30

Coincidirán cada 30 días.

De acuerdo con el calendario, las próximas visitas se realizarán en las siguientes fechas:

Luego, el 1 de setiembre coincidirán por tercera vez.

Respuesta A

Visita 1 Visita 2 Visita 3

Mes Julio (31) Agosto (31) Setiembre (30)

Día 3 2 1

Retos

Los retos son los desafíos que te impulsarán a desarrollar tus propias estrategias y permitirán verificar tus logros de aprendizaje. Para ello, tendrás que leer bien la situación (problema o ejercicio), comprenderla, analizar los datos, trazar un plan de acción y realizar las operaciones para comprobar luego el resultado. ¡Éxitos en tu proceso de aprendizaje!

Reto 1

Un terreno rectangular mide 36 m × 48 m y se desea colocar árboles en todo su contorno plantando un árbol en cada vértice y manteniendo igual separación entre dos árboles consecutivos, de manera que dicha separación sea la mayor posible. ¿Cuántos árboles se deben plantar?

A) 14 B) 12 C) 18 D) 22 E) 24

Reto 2

Un número es dividido entre 8; 12 y 16, y los residuos obtenidos son 5; 9 y 13, respectivamente. Halla dicho número si es el menor posible.

A) 93 B) 48 C) 43 D) 45 E) 55

Reto 6

Las longitudes de 3 barras de acero son 875 cm, 1875 cm y 5025 cm. Cada una de estas barras debe estar dividida en barras más pequeñas sin que sobre material y de modo que la longitud de todas las barras obtenidas sea la misma y la mayor posible. ¿Cuántos cortes en total se tendrán que realizar?

A) 308 B) 311 C) 305 D) 25 E) 305

Estrategias de solución para calcular el número total de cortes, postes o estacas

En caso de un circuito abierto

En caso de un circuito cerrado

Longitud total Longitud unitaria

Número de cortes = - 1

Longitud total Longitud unitaria

Número de cortes =

Longitud total Longitud unitaria

Número de estacas o postes = + 1

Longitud total Longitud unitaria

Número de estacas =

Reto 1

Representamos el terreno de forma rectangular.

Calculamos la mayor separación posible entre los árboles.

MCD (36; 48) = 12

Calculamos el contorno del terreno.

Perímetro = 36(2) + 48(2) = 168 Número de árboles = 168 / 12 = 14

Luego, en el terreno se deben plantar 14 árboles.

Respuesta A

Resolvemos los retos

48 m

36 m

El único múltiplo de 60 comprendido entre 100 y 180 que cumple la condición es

El número de mesas será N = 120 +7 = 127.

Respuesta A

Reto 4

N → número de cubos

Hallamos el MCD de las longitudes de las aristas: 100 cm, 80 cm y 60 cm.

MCD (80; 100; 60) = 20

Averiguamos cuántas veces está contenido 20 en cada una de las 3 dimensiones.

100/20 = 5 80/20 = 4 60/20 = 3

Multiplicamos los cocientes.

(5)(4)(3) = 60

Luego, en la caja entran 60 cubos de 20 cm de arista cada uno.

Respuesta B

100 m

80 m

60 m

Reto 5

N → cantidad de dinero

Calculamos el MCM de los siguientes precios: S/ 30; S/ 45 y S/ 50.

MCM (30; 45; 50) = 450

Si tomamos en cuenta que sobran S/ 25, entonces N = 450 + 25 = 475.

Luego, la cantidad de dinero que necesita es S/ 475.

Respuesta C

Reto 6

N → número total de cortes

Hallamos el MCD de las longitudes de las barras.

MCD (875;1 875; 5025) = 25

Total de barras: 35 + 75 + 201 = 311