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MINISTERIO DE EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES

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Las Heras N° 383 - Villa Mercedes – San Luis – Argentina | CPA D5730EAG | 02657 –

www.unvime.edu.ar

I – Nombre de la actividad curricular:

Curso de Apoyo al ingresante (CAI)

Espacio Curricular MATEMÁTICA Código

3513 VM

3514 JD

Carrera N/A Plan

Crédito Horario Total Régimen de dictado Códigos de correlativas para cursar

30 Módulo

Regularizadas Aprobadas

N/A N/A

Área Curricular Subárea curricular

---

II – Carácter de la Actividad Curricular

Carácter Requerido Tipificación Módulo

Crédito Horario Semanal

Horas

Teórico

Horas

Teórico/Práctico

Horas

Práctico

Horas Práct. de

lab/ Camp/ Resid/

Horas totales

por semana

- 30 -

Duración

Cuatrimestre Desde Hasta Cantidad de Semanas

N/A

Examen libre previo

1ra etapa clases

Examen regular única

instancia 17/10/

Examen libre 1ra

instancia 24/10/

21 / 10 /202 2

1

7

1

1

III - Espacios Físicos en donde se desarrollan las actividades

Espacio Virtual – Moodle – Videoconferencias vía Meet -

IV - Equipo Docente

Docente Función

Cargo Dedicación Dirección electrónica

Eduardo Antonio Gatica

Victor Alejandro Lamanna

Coordinador

Co-coordinador

cai-

matematicas@evirtual.unvime

.edu.ar

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U4 - Trigonometría

Introducción. Ángulo. Sistemas de medición de ángulos. Sistema sexagecimal. Sistema circular.

Triángulos. Razones trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos. Funciones

trigonométricas, interpretación geométrica de las funciones trigonométricas. Igualdades

trigonométricas.

VIII – Propuesta metodológica

Este módulo se propone como un espacio de resolución de actividades prácticas. La modalidad

propuesta prevé instancias de clases prácticas, previo a cada clase los estudiantes deben ver los

videos de teoría y además leer el material teórico-práctico.

X – Materiales disponibles para el desarrollo de las actividades

En el campus virtual de la Universidad se encuentra disponible los videos de teoría y el material

compilado y editado para el ingreso 2023 por Gatica Eduardo, de Matemática 2021, elaborado y

editado por Rosa Alejandro, Ferri Carolina y Miro Silvia.

IX - Régimen de Evaluación

Cada módulo se aprobará mediante examen final escrito, en modalidad virtual que tendrá dos

opciones posibles:

Regular : es privilegio de aquel estudiante que cumpla con un mínimo del 20% de asistencia a las

clases virtuales del módulo y la totalidad de los trabajos prácticos superados. Para rendir en

condición de regular, se requiere estar inscripto como alumno regular en el módulo. No requiere

inscripción por sistema. Para la aprobación de este examen se requiere obtener una calificación

no inferior al 60%. El docente informa los resultados mediante acta de promoción y publica lista

de aprobados vía campus virtual.

Libre : Los estudiantes que no cumplan con los requisitos de la condición regular (inscripción a

módulo, 20% de asistencia a las clases virtuales y la totalidad de los trabajos prácticos

superados), podrán rendir en condición de “libre”. Dicho examen versará sobre el programa

completo de cada módulo y requerirá para su aprobación una calificación no inferior al 70%.

Condiciones para rendir examen libre : Rendirán en condición de libres aquellos estudiantes

que no cumplan con los requisitos de la condición regular ( inscripción a módulo, 20% de

asistencia a las clases virtuales y la totalidad de los trabajos prácticos superados ) o

aquellos que nunca hayan cursado pero que hayan cumplido con el requisito de preinscripción y

entrega de correspondiente formulario en la Oficina de Alumnos. Los estudiantes además,

deberán inscribirse por Sistema SIU una semana antes de la fecha publicada en el calendario de

exámenes.

XI - Bibliografía

XI a - Bibliografía Básica

• Matemática módulo de ingreso 2021, Ferri y Miro ed 2021. Compilado y editado por Gatica

Eduardo en 202 2.

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XI b - Bibliografía Complementaria

• Matemáticas Básicas. Álgebra, trigonometría y geometría analítica, Peterson John. Ed.

CECSA. 2000.

• Álgebra y Trigonometría, Sullivan M. 7ma Ed. Pearson, México, 2006
• Precálculo, Matemática para el cálculo, Stewart, Reldin y Watson. Ed. Cengage Learing,

México 2016.

Profesor Responsable

Firma

Aclaración

Fecha

Aprobación Comisión de Ingreso Aprobación Direcciones de Escuela

Aprobación Secretaría Académica

UNIDAD 1

Números Reales

TEORÍA DE CONJUNTOS.

Definiciones.

Se define un conjunto como una colección de objetos o cosas, se nombran con letras

mayúsculas (A, B...). Cada uno de los objetos de un conjunto se llama elemento, se

nombran con letras minúsculas (a, b...). Para indicar que un elemento pertenece a un

conjunto utilizamos el símbolo ∈ (a ∈ A). Podemos definir los conjuntos de dos formas:

a) Por extensión: se nombran todos los elementos del conjunto y sólo estos, sin

repetir. Por ejemplo: A = {a, e, i, o, u}.

b) Por comprensión: se nombra una propiedad que cumplen todos los elementos

del conjunto y solo ellos. Por ejemplo: A = {x / x es una vocal}, B = {x / x es un número

par}.

Cuando podemos contar los elementos del conjunto se dice que es finito , si no podemos

contarlos decimos que el conjunto es infinito , por ejemplo, A es finito y B es infinito. Al

número de elementos del conjunto se le llama cardinal del conjunto y se denota n(A).

Por ejemplo, n(A) = 5, n(B) = infinito (∞).

Se llama conjunto unitario al que tiene un solo elemento o tiene cardinal uno, y

conjunto vacío es el que no tiene elementos o tiene cardinal cero. Se denota A = {} o

A = ∅. Por ejemplo: C = {números reales con raíz cuadrada negativa}, n(C)=0, C=∅.

Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si todos los que pertenecen a A también

pertenecen a B y viceversa, se denota como A = B, y en lenguaje formal: A = B ⇔ ∀x ∈

A ⇒ x ∈ B y ∀x ∈ B ⇒ x ∈ A. Por ejemplo: A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {x / x es un impar

menor de 10}, se ve claramente que A = B.

Dados dos conjuntos A y B, decimos que B es subconjunto de A cuando todos los

elementos de B pertenecen también a A. Se denota B ⊂ A. Por ejemplo: A = {1, 3, 5, 7,

9}, B = {1, 5, 9}; B ⊂ A.

Dos conjuntos se dicen disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común; por

ejemplo, los conjuntos A = {2, 4, 6} y B = {1, 5, 9, 7} son disjuntos.

Se llama conjunto universal al que contiene a los demás como subconjuntos, se denota

como U y se representa con un rectángulo. Por ejemplo: A = {a, o}, B = {e, i, u}; en este

caso U = {x / x es vocal}.

Dado un conjunto A, su conjunto potencia es el formado por todos sus subconjuntos

incluyéndose a él mismo y al conjunto vacío. Se denota como ℘(A) o P(A) y si A tiene x

elementos, n(℘) = 2

𝑥

. Por ejemplo: A = {1, 3, 5}; n(A) = 3 ⇒ n(℘) = 2

3

= 8. ℘(A) = {{}, 1,

El conjunto potencia también se llama conjunto de las partes de un conjunto.

Diagramas de Venn.

Los diagramas de Venn son una forma de representar gráficamente conjuntos. Para ello

se utilizan círculos y rectángulos, como hemos dicho, un rectángulo representa el

conjunto universal y los conjuntos se representan con círculos. En ocasiones dentro de

los círculos se escriben los elementos del conjunto, pero no siempre es necesario.

Veamos algunos ejemplos, el conjunto U, el conjunto A sin sus elementos, el conjunto

A con sus elementos y una representación de A ⊂ B.

Operaciones con conjuntos.

Unión. Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de A y B al conjunto que contiene a

todos los elementos de A y a todos los de B, se representa por A ∪ B, formalmente: A

∪ B = {x / x ∈ A o x ∈ B}. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}; A ∪ B = {1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8}. Gráficamente:

Intersección. Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección de A y B al conjunto

que contiene a todos los elementos que pertenecen a la vez al conjunto A y al conjunto

B, se representa por A ∩ B, formalmente: A ∩ B = {x / x ∈ A y x ∈ B}. Ejemplo:

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, entonces A ∩ B = {4, 5}. Gráficamente:

b) Dado el diagrama que se muestra a continuación colocar (V) o (F) según

corresponda:

c) Dados los siguientes conjuntos:

A = {3, 4, 5, 6,7} y B= {6, 7, 8, 9}

Calcular:

a) A ∪ B

b) A ∩ B

c) A – B

d) B – A

e) A

C

f) B

C

g) (A ∩ B)

c

d) Dado los siguientes conjuntos:

M = {1,3,5,7,9}

N = {2,4,6,8}

O = {}

P = {1, 2 , 3 ,6)

Q = { 2 , 3 , 7 , 8 }

Calcular y graficar el diagrama de venn respectivo:

a) M unión N

b) M unión P

c) P unión Q

d) P unión Q unión M

e) O unión N

f) P intersección M

g) Q intersección N

Números Reales

El conjunto de los números Reales (R) está formado por los conjuntos de números

Irracionales y números Racionales. A su vez los números Racionales es el conjunto

formado por los números Fraccionarios y los números Enteros. Mientras que los

números Enteros están formados por los números Naturales, los números opuestos a

los naturales (o negativos) y el cero.

• Números Naturales (N): Es el conjunto de números que se usan para contar. Se

representan en la recta numérica como se muestra en la figura.

• Números Enteros Negativos: son los números opuestos a los Naturales y su valor

es menor que cero.

• Números Enteros (Z): Es el conjunto de números constituido por los números

Naturales y sus opuestos, y el cero. Por ejemplo, se utilizan para expresar una

Numeros R eales

Irracionales

F raccionarios

E nteros Negativos

R acionales

E nteros Naturales

E nteros Positivos

Operaciones fundamentales con Números Reales

Con los números Reales se pueden realizar las operaciones básicas suma, resta,

multiplicación y división; y estas operaciones tienen diferentes propiedades.

SUMA

a+b=c

La operación suma consiste en obtener el número total a partir de dos o más

cantidades, o sea que a una cantidad se le añade otra.

a + b = c significa que a la cantidad a se le añade la cantidad b y como resultado se

obtiene la cantidad c. Los números a y b se llaman sumandos y el número c se llama

suma.

Por ejemplo 4 + 5 = 9 significa que si a 4 se le añade 5 se obtiene como resultado 9.

Propiedades de la suma

• Propiedad conmutativa: a + b = b + a

Por ejemplo 5 + 3 = 8 y 3 + 5 = 8 entonces 3 + 5 = 5 + 3

• Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c

Por ejemplo 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10 y (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 entonces

• Existencia del elemento neutro: a + 0 = a

Por ejemplo 2 + 0 = 2

• Existencia del elemento opuesto: b + (−b) = 0 donde − b es el opuesto aditivo de

b

Por ejemplo 3 + (− 3) = 3 − 3 = 0

• Operación inversa: La operación inversa de la suma es la resta y consiste en

sumar un número negativo. a + (− b) = a − b = c

Por ejemplo 8 + (− 5) = 8 − 5 = 3

Regla de los signos para la suma

a + (− b) = a − b. Por ejemplo 12 + (−7) = 12 − 7 = 5

(− a) + (− b) = − a − b = − (a + b). Por ejemplo (− 8) + (− 6) = − 8 − 6 = − (8 + 6) = − 14

Ejercicio N°

a) Realiza las siguientes sumas de números Reales

b) Completa las operaciones e indica que propiedad se ha aplicado en cada caso.

1) + 5 = 5 +=- 2 3) 7+(+2) = (+3) +___=

2) 16+=16 4) - 5+= 0

MULTIPLICACION

a.b=c

La multiplicación es una operación que consiste en sumar un número tantas

veces como indica otro número.

a.b=c significa que si la cantidad a se suma b veces, se obtiene la cantidad c. Los

números a y b se llaman factores y el número c se llama producto.

Por ejemplo 3.5=15 significa que, si se suma la cantidad 3, cinco veces se obtiene 15,

es decir que 3.5=3+3+3+3+3=15.

Propiedades de la multiplicación

• Propiedad conmutativa: a.b=b.a

Por ejemplo 53=15 y 35=15 entonces 35=5 3

• Propiedad asociativa: a.(b.c)=(a.b).c

Por ejemplo 2(35)=215=30 y (23)5=65=30 entonces 2(35)=(23) 5

• Propiedad distributiva respecto de la suma: a(b+c)=ab+ac

Por ejemplo 2(2+5)=27=14 y 22+25=4+10=14 entonces 2(2+5)=22+2 5

• Existencia del elemento neutro: a1=a donde 1 es el elemento neutro para la

multiplicación.

Por ejemplo 21=

• Existencia del elemento opuesto:

1

a

es el opuesto multiplicativo de a, entonces

a

1

a

= 1 , con a ≠ 0

Por ejemplo 5

1

5

15) 9 : [ 6 : ( − 2 ) ] =

18) ( 3 – 8 ) + [ 5 − ( − 2 ) ] =

19) 2 { 4 [ 7 + 4 ( 5 · 3 – 9 ) ] – 3 ( 40 – 8 ) } =

20) 5 − [ 6 – 2 − ( 1 – 8 ) – 3 + 6 ] + 5 =

b) Completa las operaciones e indica que propiedad se ha aplicado en cada caso.

1) 3 (+7)=5+3= 2) − 15 =− 15

3) − 5 (−2)== 4) − 3 (2)=(___)(-6)=

5) 25 =1 6) ___ +16=

7. −8:___=− 8 8) 27:0 es ______________

POTENCIACION

b

n

=c

La potenciación consiste en multiplicar un número por sí mismo tantas veces lo

indique otro.

b

n

=c Indica que el número c resulta de multiplicar n veces el número real b por sí

mismo. El número b se llama base, n es el exponente y c es la potencia. Además, n es

un número natural mayor igual que uno (n ≥1, n  N).

Por ejemplo 2

3

=2.2.2=8 y se lee “dos al cubo”. Cuando n=2 se dice “al cuadrado”,

cuando n=4 se dice “a la cuarta”, etc.

• Potencia de exponente 1: b

1

=b. Por ejemplo 3

1

• Por definición : b

0

=1, para b ≠ 0. Por ejemplo 2

0

• Potencia de exponente negativo :

n

-n

b =

b

; b  0 , Por ejemplo

3

Propiedades de la potenciación

Dado: a, b  R; m y n  Z

• Propiedad distributiva: La potenciación es distributiva respecto del producto y

de la división: (ab)

n

=a

n

b

n

y (a:b)

n

=a

n

:b

n

, b≠

Por ejemplo (64)

3

3

3

y (9:3)

2

2

2

• La potenciación no es distributiva respecto a la suma y resta:

(𝑎 + 𝑏)

≠ 𝑎

• 𝑏

(𝑎 − 𝑏)

≠ 𝑎

• 𝑏

Por ejemplo:

2

2

2

2

2

2

2

2

• Producto de potencias de igual base: b

n

b

m

=b

(n+m)

Por ejemplo 3

2

8

2+

10

• Cociente de potencias de igual base: b

n

:b

m

=b

(n-m)

, b≠

Por ejemplo 2

4

3

4 - 3

1

Otro ejemplo 4

2

• 3

2 - (-3)

2+

5

• La radicación no es distributiva respecto de la suma y resta:

√ 𝒂 + 𝒃

𝒏

≠ √

𝒂

𝒏

√ 𝒃

𝒏

√𝒂 − 𝒃

𝒏

≠ √

𝒂

𝒏

− √𝒃

𝒏

Ejemplos

• Raíces sucesivas:

√

√

𝒂

𝒎

𝒏

= √

𝒂

𝒏∙𝒎

Ejemplo

𝟐

𝟑

𝟑∙𝟐

𝟑

𝟔

EXPONENTES FRACCIONARIOS

𝒂

= ( √

𝒂

𝒏

)

= √

𝒂

𝒏

no es válida cuando para a < 0 y n par

Ejemplos:

𝟐

𝟑 = (√𝟖

𝟑

𝟐

𝟐

𝟑

𝟐

𝟑 = (𝟐)

𝟐

𝟑

𝟐

𝟑 = 𝟒 = 𝟒

𝟏

𝟐 = √−𝟏𝟔 no tiene solución en R!!!

Propiedad

• Potencia de potencia:

( 𝒃

)

= 𝒃

, cuando m y n  Q, no es válida

cuando el denominador de m o n es par.

[(− 4 )

2

]

1

2 = (− 4 )

2 ∙

1

2

[

]

1

2

=

2 ∙

1

2

1

4 = − 4 un absurdo!!!

Otra alternativa

[(−𝟒)

𝟏

𝟐 ]

𝟐

= [

−𝟒]

𝟐

= [𝒏𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏]

𝟐

= 𝒏𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏

Orden de las operaciones combinadas

Al realizar operaciones combinadas de suma, multiplicación y potenciación se

deben seguir las siguientes reglas:

• Primer paso: Se resuelven las operaciones entre paréntesis
• Segundo paso: Se resuelven las potencias y radicaciones
• Tercer paso: Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
• Cuarto paso: Se suman y restan los términos resultantes.

Para resolver - 3 + (9 : 3 )

2

1/

Primer paso = − 3 + 3

2

1/

Segundo paso = − 3 + 9 + 4  ( − 2 ) =

Tercer paso = − 3 + 9 − 8 =

Cuarto paso = 9 − ( 8 + 3 ) = − 2

Ejercicio N° 4

a) Realiza las siguientes operaciones

3

2

• 2

• 3

1

2 = 6) 27

1

3

3

3

3

2

2

4

4

5

6

1

b) Aplica las propiedades de la potencia

3

4

7

3

3

4

4