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SABER
RESOLUCION DE RECONOCIMIENTO DE CARÁCTER OFICIAL
No. 0009 DE 12 DE ENERO DE 2011
NIT. 819003117-8 DANE: 147001051360
CONSTRUYENDO FUTURO CON AFECTIVIDAD
ÁREA: MATEMATICA ( taller 8) PROFESOR: YIRA PAOLA PEÑA
CRUZ
ESTUDIANTE: GRADO: NOVENO FECHA: 13/10/2020 hasta
03/11/
Sistemas de Ecuaciones Lineales (problema de aplicación)
- problemas utiliza cual cualquier método de sistema 3 x3.
a. Para la fabricación de un envase de tetra Brik modelo A se emiten 62
gramos de y para la fabricación de otro envase del modelo B se
emiten 76 gramos de. Sabiendo que se han fabricado en total
240 envases, que han emitido 16700 gramos de , ¿Cuántos
envases de cada tipo se han fabricado?
Planteamos el siguiente sistema de ecuaciones:
X = modelo A
y = modelo B
{
x + y = 240
62 x + 76 y = 16700
Se aplica el método de eliminación
( 62 )( x + y )= 240 ( 62 )
(− 1 ) ( 62 x + 76 y )= 16700 (− 1 )
62 x + 62 y = 14880
− 62 x − 76 y =− 16700
Ahora aplicamos la suma:
62 x + 62 y = 14880
− 62 x − 76 y =− 16700
− 14 y =− 1820
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RESOLUCION DE RECONOCIMIENTO DE CARÁCTER OFICIAL
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y =
y = 130
Ahora reemplazamos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones en
este caso reemplazaremos en la primera ecuación
x + y = 240
x + 130 = 240
x +¿ 240 − 130
x = 110
Por lo tanto con el modelo A se fabricaron 110 envases y con el modelo B 130
envases.
b. Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres
modelos diferentes. Los mayores transportan una media diaria de
15000 kg. y recorren diariamente una media de 400 kilómetros. Los
medianos transportan diariamente una media de 10000 kilogramos y
recorren 300 kilómetros. Los pequeños transportan diariamente 5000
kilogramos y recorren 100 km. de media. Diariamente los camiones de
la empresa transportan un total de 475 toneladas y recorren 12500 km.
entre todos. ¿Cuántos camiones gestiona la empresa de cada modelo?
Planteamos el siguiente sistema de ecuaciones:
X = camiones grandes
y = camiones medianos
z = camiones pequeños
{
x + y + z = 60
15000 x + 10000 y + 5000 z = 475000
400 x + 300 y + 100 z = 12500
Ahora simplificaremos la ecuación para trabajar con valores
pequeños, en la segunda ecuación dividimos por 1000, en la tercera
dividimos por 100. quedando de la siguiente forma:
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y = 25
Con la ecuación z = 60 − x − y calcularemos z, “aunque también se
podría utilizar cualquiera de las 3 ecuaciones principales”
z = 60 − 5 − 25
z = 30
Por lo tanto tiene 5 camiones grandes, 25 camiones medianos y 30
pequeños.
c. Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres
modelos diferentes. Los mayores transportan una media diaria de 15000
kg. y recorren diariamente una media de 400 kilómetros. Los medianos
transportan diariamente una media de 10000 kilogramos y recorren 300
kilómetros. Los pequeños transportan diariamente 5000 kilogramos y
recorren 100 km. de media. Diariamente los camiones de la empresa
transportan un total de 475 toneladas y recorren 12500 km. entre todos.
¿Cuántos camiones gestiona la empresa de cada modelo?
a. Una familia consta de una madre, un padre y una hija. La suma de las
edades actuales de los 3 es de 80 años. Dentro de 22 años, la edad del hijo
será la mitad que la de la madre. Si el padre es un año mayor que la madre,
¿qué edad tiene cada uno actualmente?
Ahora Futuro
Madre x
X+
Padre
Y Y+
Hijo z
Z+
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Planteamos el siguiente sistema de ecuaciones:
X = edad de la madre
y = edad del padre
z = edad de la hija
x + y + z = 80
( z + 22 )=( x + 22 )/ 2
y = x + 1
Despejaremos la 2 y 3 ecuación y sustituiremos en la 1 ecuación.
Tenemos:
y = x + 1
z + 22 =
x
z + 22 =
x
z =
x
z =
x
Ahora sustituimos.
x + x + 1 +
x
Sumamos los términos semejantes.
2 x +
x
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Función cuadrática (parábola)
1.1 Definición y ejemplo
Una función cuadrática (o parabólica ) es una función polinómica de segundo grado. Es
decir, tiene la forma
siendo a≠0a≠0.
Esta forma de escribir la función se denomina forma general.
La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.
Ejemplo
Las parábolas tienen forma de ∪∪ (si a>0a>0) o de ∩∩ (si a<0a<0).
Además de la orientación, el coeficiente a es la causa de la amplitud de la función: cuanto
mayor es |a||a|, más rápido crece (o decrece) la parábola, por lo que es más cerrada.
Vértice
Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si a<0a<0) o un mínimo (si a>0a>0). Este
punto es el vértice de la parábola.
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La primera coordenada del vértice es
Ejemplo
Calculamos el vértice de la función
Identificamos los coeficientes:
Como a es negativo, la parábola tiene forma de ∩. El vértice es un máximo.
La primera coordenada del vértice es
GRAFICA
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1.3. Funciones de la forma f(x) = a x
2
La parábola que describe la función f(x) = a x
2
, es una traslación vertical de c
unidades de la parábola f(x) = a x
2
. Esta tras lalación es hacia arriba si c
¿ 0 y haciaabajo si c <0.
1.4 Funciones de la forma f(x) = a x
2
La función de la forma f(x) = a x
2
es una función cuadrática en la cual a, b y c es
diferente a cero.
- Identifica cuales de las siguientes expresiones pueden representar una
función cuadrática.
a. f ( x )=− 16 x
2
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b. f
x
= 16 x
3
2
c.
f
x
=−0,25 x
2
−0,5 x + 1
d. f ( x )= 6 x + 1
e. f ( x )= 4 x − 5 + ¿ 32
x
2
SOLUCION:
de las expresiones las que pueden representar una función cuadrática son:
la a, c, y e; la expresión e no inicia tal cual, como el término de la forma de las
ecuaciones cuadráticas, pero si la organizamos quedaría como una de ellas.
- Escribe cada una de las siguientes funciones en la forma
a x
2
. Luego, identifica los valores correspondientes de
a, b y c.
a. f
x
= 4 x + 10 − 16 x
2
− 16 x
2
; a =− 16 ; b = 4 ;c = 10
b. f ( x )=− 6 x + 5 + x
2
x
2
− 6 x + 5
a = 1 ;b =− 6 ; c = 5
c. f
x
= x
2
x
2
− 6 x + 10
; a = 1 ;b =− 6 ; c = 10
d. f
x
=− 2 + x
2
− 4 x
x
2
− 4 x − 2
; a = 1 ; b =− 4 ;c =− 2
- Elabora las gráficas de las funciones cuadráticas en el plano
cartesiano.
a. f
x
= 2 x
2
f
2
f (− 2 )= 2 (− 2 )
2
f
2
f ( 0 )= 2 ( 0 )
2
f
2
f (− 2 )= 2 ( 2 )
2
f
2
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y 18 8 2 0 2 8 18
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c. f
x
x
2
f (− 3 )=
2
f (− 2 )=
2
f (− 1 )=
2
f ( 0 )=
2
f ( 1 ) =
2
f ( 2 ) =
2
f ( 3 )=
2
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X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.
d. f
x
x
2
f (− 3 )= 2
2
f (− 2 )= 2
2
f (− 1 )= 2
2
f ( 0 )= 2
2
f ( 1 ) = 2
2
f ( 2 ) = 2
2
f ( 3 )= 2
2
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y 9 4 1 0 1 4 9
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f. f
x
= 3 x
2
f
2
f (− 2 )= 3 (− 2 )
2
f
2
f
2
f
2
f
2
f ( 3 )= 3 ( 3 )
2
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y 23 8 -1 -4 -1 8 23
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CONSTRUYENDO FUTURO CON AFECTIVIDAD
g. f ( x )=
− x
2
f (− 3 )=
2
f (− 2 )=
2
f (− 1 )=
2
f ( 0 )=
2
f ( 1 ) =
2
f ( 2 ) =
2
f ( 3 )=
2
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y 0.5 3 4.5 5 4.5 3 0.
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CONSTRUYENDO FUTURO CON AFECTIVIDAD
i. f
x
− x
2
f (− 3 )=
2
f (− 2 )=
2
f (− 1 )=
2
f ( 0 )=
2
f ( 1 ) =
2
f ( 2 ) =
2
f ( 3 )=
2
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y -3.5 -1 -0.5 1 -0.5 -1 -3.
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CONSTRUYENDO FUTURO CON AFECTIVIDAD
j. f
x
x
2
f (− 3 )=− 2
2
f (− 2 )=− 2
2
f (− 1 )=− 2
2
f ( 0 )=− 2
2
f ( 1 ) =− 2
2
f ( 2 ) =− 2
2
f ( 3 )=− 2
2
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y 6.4 8.4 9.6 10 9.6 8.4 6.
