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PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN EN Z (NÚMEROS ENTEROS)
Hay 1,000 bacterias presentes en un cultivo. Cuando el cultivo se trata con un antibiótico, el total de bacterias se reduce a la mitad cada 4 horas. ¿Cuántas bacterias quedan 24 horas más tarde?
El último conjunto de propiedades para explorar son las propiedades de la potencia. Vamos a investigar lo que sucede cuando una potencia se eleva a otra potencia.
Investigación: Propiedad de la potencia de una potencia
- Vuelve a escribir como cinco veces.
- Expande cada. ¿Cuántos 2 hay en total?
- ¿Cuál es el producto de las potencias?
- Rellena los espacios en blanco.
Las otras dos propiedades de exponentes son una forma de la propiedad distributiva.
Propiedad de la potencia de un producto:
Propiedad de la potencia de un cociente:
Ejemplo A
Simplifica lo siguiente.
(A)
(B)
Respuesta: Utilizando las propiedades antes mostradas.
(A)
(B)
Ejemplo B
Simplifica sin exponentes negativos.
Respuesta: En este ejemplo se utiliza la propiedad del exponente negativo
( ). Distribuye la potencia 4 primero y luego pasas la potencia negativa de del
numerador al denominador. Finalmente aplicas las propiedades de potencia que conoces.
Ejemplo C
Simplifica sin exponentes negativos.
Respuesta: En este caso, utiliza todas las propiedades de los exponentes. Recuerda que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su recíproco.
Ejemplo A
Simplifica las siguientes expresiones.
a)
b)
c)
Respuesta: Cuando sólo estas trabajando con números en lugar de variables, puedes utilizar la regla del producto de potencias de igual base y la regla de la potencia de una potencia, o simplemente puedes hacer la multiplicación y luego simplificar.
a) Puedes utilizar la regla del producto de potencias de igual base primero y luego evaluar el resultado:.
O puedes evaluar cada parte por separado y luego multiplicarlos: .
b) Puedes utilizar la regla del producto de potencias de igual base primero y luego evaluar el resultado:.
O puedes evaluar cada parte por separado y luego multiplicarlos:
c) Se puede utilizar la regla de la potencia de una potencia primero y luego evaluar el
resultado:.
O puedes evaluar la expresión dentro de los paréntesis primero, y luego aplicar el exponente
fuera de los paréntesis:.
Ejemplo B
Simplifica las siguientes expresiones.
a)
b)
Respuesta: Cuando sólo estas trabajando con variables, lo único que puedes hacer es simplificar al máximo utilizando las reglas aprendidas.
a)
b)
Ejemplo C
Simplifica las siguientes expresiones.
a)
b)
c)
Respuesta: Cuando tienes una mezcla de números y variables, aplicas las reglas para cada número y variable por separado.
a) Primero se agrupan los términos semejantes:
Luego multiplicas los números o aplicas la regla del producto de potencias de igual base en
cada grupo:
b) Agrupa los términos semejantes y aplica la regla del producto de términos de igual base en cada grupo:
c) Aplicas la regla de la potencia de un producto primero y luego la regla de la potencia de una potencia para cada término en el paréntesis por separado:
Aplicas la regla de la potencia para cada término
¿Alguna vez has tratado de aplicar la potencia de una potencia cuando hay un monomio? Echa un vistazo a este dilema.
Este es un monomio que está siendo elevado a la tres ¿Sabes cómo simplificar esta expresión? Presta atención y sabrás cómo acabar con este dilema al final de la lección.
Has elevado monomios a una potencia, productos a una potencia, y cocientes a una potencia. Puedes ver que los exponentes son una herramienta útil en la simplificación de expresiones. Si sigues las reglas de los exponentes, los patrones se vuelven claros. Ya has visto potencias de una potencia. Por ejemplo, mira el cociente:
EJERCICIOS RESUELTOS
- Simplifica las siguiente expresión sin exponentes negativos Distribuye el exponente 7 a todas las potencias dentro del paréntesis.
Respuesta:
- Simplifica las siguiente expresión sin exponentes negativos Distribuye^ los^ exponentes^ -^3 y^2 a^ todas^ las potencias dentro de los paréntesis y luego utiliza la propiedad de los exponentes negativos, la propiedad de la potencia de un cociente y la propiedad de los productos de potencias de igual base para simplificar.
Respuesta:
- Simplifica las siguiente expresión sin exponentes negativos Distribuye los exponentes que están fuera del paréntesis y utiliza las propiedades de las potencias para simplificar. Una fracción elevada a la - 1, es igual al recíproco de la fracción elevada a la 1.
Respuesta:
Simplifica la siguiente expresión sin exponentes negativos.
Respuesta:
- Simplifica la siguiente expresión Separa cada parte del monomio y eleva cada parte a la cuatro. Luego junta todo.
Respuesta:
- Simplifica la siguiente expresión (x^4 )^5 =x^20 (b^3 )^5 =b^15 (c^3 )^5 =c^15
Respuesta: x^20 b^15 c^15
- Simplifica la siguiente expresión Aplica la regla de la potencia de una potencia primero: Luego, aplica la regla del producto de potencias de igual base para combinar los términos:
Respuesta: x^7
- Simplifica la siguiente expresión Aplicamos primero la regla de la potencia de un producto: Luego, aplicamos la regla del producto de potencias de igual base para combinar los dos términos:
Respuesta: 54x^5 y^7
- Simplifica la siguiente expresión Aplicamos la regla de la potencia de un producto a cada uno de los términos por separado: Luego, aplicamos la regla del producto de potencias de igual base para combinar los dos términos:
Respuesta: 128a^7 b^18
Otras Referencias
http://cam.educaciondigital.net/acquaviva/elementos/REALES/PROPOTENCIA.p df
https://aldrinchavarria.wordpress.com/propiedades-de-la-potenciacion/
http://www.vitutor.net/1/potencias.html
