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INTERÉS COMPUESTO
Cálculo de Intereses de la parte fracción
Pasemos ahora a realizar el ejercicio N°3, en donde aprenderemos a calcular unos intereses de la parte fracción de una operación financiera.
¿Qué es la parte fracción de la operación?, sencillamente es aquella cuyo tiempo no es totalmente con períodos completos, es decir, 1 año, 2 años, 3 años…etc, sino que su tiempo está expresado en años, meses y días. Por consiguiente la parte de tiempo que no corresponda a un período completo es lo que se llama “parte fracción”.
Para calcular los Intereses de la parte fracción, existen dos métodos:
a) Método lineal : utiliza fórmulas de interés compuesto en la Parte Entera de la operación y
fórmulas de interés simple en la Parte Fracción. Ipf = Mpe x im x pf
b) Método exponencial : Utiliza fórmulas de interés compuesto tanto en la Parte Entera
como en la Parte Fracción de la operación. Ipf = Mpe [(1 + im)pf^ – 1]
Simbología usada en las fórmulas:
Ipf = Interés de la parte fracción im = tasa efectiva períódica que afecta la parte fracción
Mpe = Monto de la Parte Entera pf = parte fracción
Parte Entera (Fórmulas Interés Compuesto) Parte Fracción (Fórmula Interés Simple)
Parte Entera (Fórmulas Interés Compuesto) Parte^ Fracción (Fórmula Interés Compuesto)
EJERCICIO N°
3.- Se ha invertido $ 7. 0 00 durante 3 años, 5 meses y 21 días comerciales, a ganar interés
compuesto en régimen de capitalización trimestral. En el transcurso de la operación se
efectuaron los siguientes depósitos y retiros:
- Un depósito al final del período 3 por $ 2.000,00.
- Otro depósito al final del primer año por $ 5.000,00.
- Un retiro al final del período 5 por $ 3.500,00 y
- Otro retiro después de 3 años y tres meses por $ 500,00.
Las tasas de interés aplicadas fueron las siguientes:
- Una nominal anual igual al 23% capitalizable trimestralmente para los primeros 15
meses. Y una efectiva periódica trimestral igual al 8% para el resto del tiempo.
Determine: a) Cuáles fueron los intereses generados en la parte fracción utilizando el
método lineal.
a) Cuáles fueron los intereses generados en la parte fracción utilizando el método
exponencial.
b) Según los resultados obtenidos: ¿cuál cree usted que es más beneficioso para el
inversionista?
DATOS:
Verificamos los datos del ejercicio:
C = 7.000,
n = 3 años, 5 meses y 21 días
m = 4 (recuerden que la “m” es la frecuencia de capitalización, lean esta teoría en su guía. Cómo el ejercicio nos dice que en esta operación se utiliza el Régimen de Capitalización trimestral, entonces nos preguntamos: ¿Cuántos trimestres tiene 1 año?, la respuesta es: “4”, es decir, 4 veces al año se van a sumar los intereses al capital). Recuerden que la gráfica y las tasas de interés de esta operación deben coincidir con la frecuencia.
J4 = 23% (para los primeros 15 meses)
i4 = 8% (para el resto del tiempo)
Determinar:
a) Intereses de la parte fracción utilizando el método lineal b) Intereses de la parte fracción utilizando el método exponencial c) Según los resultados obtenidos ¿cuál cree usted que es más beneficioso para el inversionista?
Hacemos la gráfica con 13,9 trimestres:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13,9 Trimestres
3er. Paso: Ubicamos los depósitos y retiros en la gráfica :
Un depósito al final del período 3 por $ 2.000,00, se ubicaría justo en el trimestre 3, así:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13,9 Trimestres
Un depósito al final del primer año por $ 5.000,00: el primer año está compuesto por los primeros cuatro trimestres, por lo tanto el primer año comienza en el trimestre 1 y termina en el trimestre
- El depósito de $ 5.000,00 se coloca en el período 4, así:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13,9 Trimestres
Parte Entera (^) Parte Fracción
Parte Entera (^) Parte Fracción
Parte Entera (^) Parte Fracción
7.000,00^ 2000,
Un retiro al final del período 5 por $ 3.500,00: se coloca justo en el trimestre 5, así:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13,9 Trimestres
Y otro retiro después de 3 años y 3 meses por $ 500 , se colocaría en el trimestre 13 así:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13,9 Trimestres
Parte Entera (^) Parte Fracción
Parte Entera (^) Parte Fracción
NOTA: recuerden que la tasa nominal anual (J) nunca se utiliza. Cada vez que aparezca hay que transformarla a una tasa efectiva periódica (im).
Segunda tasa de interés o tasa del resto del tiempo: Nos dan como dato una i4 = 8%. Cómo la frecuencia es trimestral (m = 4), se necesita una i4. En este caso está directa la tasa de interés, porque nos están dando como dato, la tasa que se necesita según la frecuencia.
Nos dan i4 se necesita i
Gráficamente quedaría así:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13,9 Trimestres
PARTE “a”:
Habiendo hecho todo lo anterior, procedemos a buscar la parte “a”:
Ipf = Mpe x im x pf Sustituyendo:
I0,9 = M 13 x 0,08 x 0,
Para poder encontrar los intereses de la parte fracción con el método lineal, nos damos cuenta que al sustituir en la fórmula, necesitamos saber cuánto es el Monto 13 (M13).
Parte Entera (^) Parte Fracción
i4 = 0,057 i4 = 0,
Pasamos entonces a plantear M 13 : Recuerden que el monto 13 contiene todos los depósitos y retiros que están en la operación capitalizados desde donde están ubicados hasta el período del monto que estamos buscando (en este caso, hasta el 13). Por ejemplo:
Los $ 7.000,00 que están en el “0”, los capitalizamos desde el “0” hasta el “5”(por eso el exponente es 5) y del “5” hasta el “13”(por eso el exponente es 8).
Los $ 2.000, 00 que están en el “3”, los capitalizamos desde el “3” hasta el “5” (por eso el exponente es 2) y del “5” hasta el “13”(por eso el exponente es 8).
Los $ 5.000,00 que están en el “4”, los capitalizamos desde el “4” hasta el “5” (por eso el exponente es 1) y del “5” hasta el “13”(por eso el exponente es 8). Y así sucesivamente….
M 13 = 7.000,00 (1 + 0,057)^5 (1 + 0,08)^8 +
2.000,00 (1 + 0,057)^2 (1 + 0,08)^8 +
5.000,00 (1 + 0,057) (1 + 0,08)^8 -
3.500,00 (1 + 0,08)^8 -
M 13 = 24.034,
Una vez obtenido el M 13 , lo sustituimos en la fórmula para calcular el Interés de la parte
fracción:
I0,9 = M 13 x 0,08 x 0,
I0,9 = 24.034,56 x 0,08 x 0,
I0,9 = 1.730,
Los intereses de la parte fracción, utilizando el método lineal, fueron de $ 1.730,
IGUALMENTE, PUDIÉRAMOS DETERMINAR TODO LO VISTO EN INTERÉS COMPUESTO
ANTERIORMENTE:
MONTO AHORRADO
INTERÉS PARCIAL
INTERÉS TOTAL
INTERÉS DE INTERVALO
RECOMENDACIÓN: Una vez visto, entendido y practicado el ejercicio N°3, realicen el
ejercicio N° 4, que es muy parecido a este.
4.- En determinada institución financiera se colocó un capital de Bs. 10.000.000,
durante 2 años, 9 meses y 7 días comerciales, a ganar interés compuesto en régimen de
capitalización cuatrimestral. En el transcurso de la operación se efectuaron los siguientes
depósitos y retiros:
- Un depósito al final del primer año por Bs. 1.000.000,00.
- Otro depósito al comienzo del segundo año Bs. 3.000.000,00. y
- Un retiro al final del período 7 por Bs. 2.000.000,00 y
Las tasas de interés aplicadas fueron las siguientes:
- Una nominal anual igual al 10% capitalizable cuatrimestralmente para los primeros
20 meses. Y una efectiva anual igual al 16% para el resto del tiempo.
Determine: a) Cuáles fueron los intereses generados en la parte fracción utilizando el
método lineal.
b) El monto ahorrado hasta el período 3.
c) Los intereses que se generan entre el período 4 y el período 7, ambos inclusive.
Canción recomendada:
“Dios te hizo tan bien” de Mauricio Alan ft. Itala Rodriguez
