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Esta guía de estudio, creada por el instituto politécnico nacional, está diseñada para preparar a los estudiantes de quinto semestre para el examen extraordinario de cálculo integral. La guía abarca temas como la integral indefinida, métodos de integración, integral definida, cálculo de volúmenes de sólidos de revolución y área entre curvas, leyes de crecimiento y decrecimiento, y aplicaciones del cálculo integral. Incluye ejercicios y ejemplos para ayudar a los estudiantes a comprender los conceptos y a prepararse para el examen.
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
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CÁLCULO INTEGRAL. Todas la Áreas. Presentación. El Cálculo Infinitesimal es una de las herramientas matemáticas más importantes desarrolladas por el hombre. Es la base de muchos campos de la ciencia, entre ellos la física, y su uso tiene una gran influencia en muchas áreas de la vida moderna: científicos, ingenieros e incluso economistas lo utilizan para crear modelos que se ajusten a las situaciones de diario. Se trata de una excelente arma para el estudio de la naturaleza. Como la mayoría de los grandes descubrimientos de la ciencia, el cálculo infinitesimal^1 no surgió de la noche a la mañana, sino que es obra de muchos matemáticos de distintas épocas. Por sus contribuciones decisivas, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz se consideran sus padres con igualdad de derechos, pero en su época estos dos personajes sostuvieron una agria disputa por la prioridad. Esta polémica, quizá la más célebre de la historia de la ciencia, mostró lo mejor y lo peor de ambos personajes e influyó de manera determinante en la evolución posterior de las matemáticas en Europa. En lo que a la disputa sobre la prioridad se refiere, hoy casi todos los estudios están de acuerdo en que Newton y Leibniz desarrollaron paralelamente el cálculo sin plagiarse: seguramente Newton antes que Leibniz, aunque púbico su trabajo mucho después. Polémicas al margen, lo cierto es que ambos fueron capaces de construir los sólidos cimientos del edificio que es el cálculo infinitesimal. Porque a diferencia de lo que ha ocurrido con otras teorías científicas, parece difícil que el cálculo vaya a sufrir un profundo cambio en el futuro. Si Leibniz y Newton levantaran la cabeza, estarían orgullosos de que el cálculo infinitesimal hoy en día siga siendo en esencia igual a lo que ellos mismos desarrollaron… aunque no deberían estarlo tanto de la polémica que mantuvieron y sus consecuencias (Daniel Martín Reina^2 2007). Consideremos aquí que, al igual que en la aritmética hay operaciones mutuamente inversas, en el cálculo pasa la mismo. La operación inversa del Cálculo Diferencial es el Cálculo Integral y viceversa. Es decir, dada la diferencial, encontrar la función primitiva de la expresión diferencial dada. (^1) En 1665 Newton sentó las bases del Cálculo Infinitesimal en torno al novedoso concepto de fluxión, lo que hoy en día se conoce como la derivada, la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. (^2) Revista ¿cómo vez? Así fue Newton vs Leibniz, páginas 26-29.
c) Halla la ecuación de la función cuya tangente tiene una pendiente de para cada valor de x y cuya gráfica pasa por el punto (1,3). d) Se estima que dentro de t meses la población de un cierto pueblo estará cambiando a un ritmo de personas por mes. Si la población actual es de 10 000, ¿Cuál será la población dentro de 8 meses? e) Un estudio ambiental de una cierta comunidad sugiere que dentro de t años el nivel de monóxido de carbono en el aire estará cambiando un ritmo de partes por millón por año. Si el nivel actual de monóxido de carbono en el aire es de 3.4 partes por millón, ¿Cuál será el nivel dentro de tres años? f) Hallar la función cuya la primera derivada sea 3x^2 - 2x+5, y tenga el valor 1 2 cuando x=
Caso I. Integrales de la forma. En el caso de que positivo impar, no importa lo que sea el otro, esa integración puede practicarse por medio de transformaciones sencillas y aplicando la fórmula: Y la identidad trigonométrica ; Además:
Hallar: a) b) d) Caso IV. Integrales de la forma Cuando es un número entero positivo par, procedemos como en el caso III. También: Ejemplo 1. Hallar: Solución: Cuando es impar se procede como se indica en el siguiente ejemplo: Ejemplo 2. Hallar:
Hallar: a) b) c)
II. Métodos de Integración. A. Calcular las siguientes integrales utilizando el Método de Integración por partes.
B. Calcular las siguientes integrales utilizando el Método de Integración por Sustitución Trigonométrica.
C. Calcular las siguientes integrales utilizando el Método de Integración por Descomposición en Fracciones Parciales simples.
Calcule el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y
Hallar el área de la región limitada por las gráficas de y =x 2 +2, y = - x, x= 0, x=2.
Obtenga el área encerrada entre y = - x 2 +2x+3 y el eje x.
Unidad de Aprendizaje: Cálculo Integral. UNIDADES DE LA ASIGNATURA (^) TIEMPO Unidad 1. Integral Indefinida. 3 0 HORAS Unidad 2. Métodos de Integración. 35 HORAS Unidad 3. Integral Definida. 25 HORAS G. BIBLIOGRAFÍA
