¡Descarga Matemática para el Ingreso a Ciencias Económicas: Guía de Ejercicios y Conceptos - Prof. S y más Ejercicios en PDF de Matemáticas Aplicadas solo en Docsity!
𝒎 ≠ ±∞ ~ ÷ < 𝟖𝟕𝟔 ÷ √𝒙
, 𝟐𝟑𝟒𝟓 ≠ 67%(2x+3).¼ bx + c = 0
U + - (-3) 76859986432999098765233&6%
(-3+1/2)= 78659678590845325567%a+p =
3
m:,
m<0, x/45¡/{hgm78gl2x+4567x+9980’¿?/
5&%~? ½ 56790><bmx+3=23, 56rrm78/$
#g45,234*+-45(+6):% √𝟏𝟔 √𝟏𝟎 %45 45 2x
3
∪ ∅∃ 8 = 3x – 2 % ~! ∞𝟐 > ≠
√𝟐^ ≠^ √𝟏𝟐^ , m<0, x/45¡/{hgm78gl2x} (-3/4):
5&%~? ½ 56790><b mx+3=23, 56rm78/$
(-3+1/2)= 78 (x-a)
2
<10 m 25567%a + p =
% $ # {−𝟒}^ ¿? %&
𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟐𝟑 z + 3i =-23; 2i
∪ ∅∃ 8 = 3x – 2 % ~! ∞𝟐 > ≠
():% √𝟏𝟔 √𝟏𝟎 %45 45 2x
3
, 𝟐𝟑𝟒𝟓 ≠ 5 #g45,234*+45(+6):%
√𝟏𝟔^ √𝟏𝟎^ %45 45 2x
3
√𝟐^ ≠^ √𝟏𝟐^ , m<0,2/3,!^ ∀^ ∪
∩ x/45¡/{hgm78gl2x} (-3/4): m<0, ±≠
÷ x/45¡/{hgm78gl2x+4567x+9980’¿?/
≠×≤≥ ∓∀∈ ∃∄∛∜𝜶𝜷𝜸𝝅𝝁 ⇔⇏⟹ ∑⨅ ⊂⊆⊥=
MATEMÁTICA
PARA EL INGRESO A
CIENCIAS ECONÓMICAS
Angélica E. Astorga
y
Mónica Lisi
Estudio de Diseño
Imagen de Tapa: Prof. Mónica Lisi
Diseño de Interiores: Esp. Angélica E. Astorga de Bárcena y Prof. Mónica Lisi
Diagramación: Esp. Angélica E. Astorga de Bárcena y Prof. Mónica Lisi
Revisión y Corrección: Prof. Nilda Graciela Méndez
Astorga, Angélica Elvira
Matemática para el Ingreso a Ciencias Económicas: matemática para el
ingreso / Angélica Elvira Astorga; Mónica Lisi; coordinación general de Angélica
Elvira Astorga; Mónica Lisi; ilustrado por Angélica Elvira Astorga; Mónica Lisi. -
1a edición para el alumno - Salta: Angélica Elvira Astorga, 2019.
125 p.: il.; 29 x 21 cm.
ISBN 978- 987 - 778 - 947 - 8
1. Matemática. I. Astorga, Angélica Elvira, coord. II. Lisi, Mónica, coord. III.
Astorga, Angélica Elvira, ilus. IV. Lisi, Mónica, ilus. V. Título.
CDD 510.
Prólogo
Matemática para el ingreso a Ciencias Económicas es un libro cuyo principal objetivo es ayudar
a los estudiantes ingresantes en sus primeros acercamientos a la matemática universitaria, y
será también un apoyo porque fue diseñado para facilitar la lectura y comprensión. Ha sido
pensado con gran dedicación y preocupación por sus autoras, quienes además poseen el talento
de usar un lenguaje accesible y afable para facilitar la comprensión de los conceptos
matemáticos y han seleccionado cuidadosamente los ejemplos que acompañan las definiciones y
aplicaciones.
La edición de este libro se constituye además en un valioso aporte a la necesaria articulación
entre el nivel secundario y el universitario, introduciendo de manera gradual y de modo accesible
el lenguaje específico de la matemática. Al transitar por los distintos temas y las aplicaciones
que se presentan en el mismo, se brindan los elementos necesarios para orientar la resolución
de los trabajos prácticos que se proponen y que le permiten al estudiante afianzar los conceptos
matemáticos. Además, se observa que, en diferentes párrafos, se ha tenido en cuenta el planteo
de cuestionamientos que ayudan a superar dificultades de orden epistemológico, entre otras.
Se destaca la organización en el desarrollo de cada tema a partir de una breve introducción,
curiosidades matemáticas, un poquito de historia y, como elementos innovadores, la propuesta
de metacognición para los alumnos y la presentación de conjeturas que promueven el
razonamiento matemático y la argumentación. Por otro lado, y teniendo en cuenta los
destinatarios se han seleccionado muy interesantes y actuales aplicaciones económicas que
integran conceptos matemáticos.
Las trayectorias de sus autoras- investigadoras y su permanente preocupación por la enseñanza
de la matemática avalan la calidad del contenido elaborado en cada página de este libro y han
producido un material que puede ser usado además como referente por otros docentes para la
enseñanza de conjuntos, conjuntos numéricos, expresiones algebraicas y polinomios, ecuaciones
lineales y cuadráticas, ecuación de la recta y sistemas de ecuaciones lineales.
Finalmente, y por la dedicación puesta en la elaboración del libro auguro un beneficioso uso por
los estudiantes.
Prof. Nilda Graciela Méndez
Índice General
TEMA I
CONJUNTOS
TEMA I “CONJUNTOS”
Introducción
Casi todo el mundo reconoce la importancia de estudiar la matemática, pero no a todos les
atrae; tal vez porque no ven en ella más que símbolos difíciles de entender y muy alejados de la
vida cotidiana.
Sin embargo la Matemática nos propone abrir nuestra mente a un pensamiento abstracto que
luego tendrá infinitas aplicaciones en lo concreto.
Cantor (1845-1918) dijo: “La esencia de la Matemática es su libertad”.
La Matemática pura puede ser considerada como una de las creaciones más originales del
espíritu humano porque en ella se establecen relaciones abstractas, y en la simplicidad y
coherencia de la abstracción reside una gran belleza.
Pero, ¿ cómo se llega al descubrimiento matemático? Un matemático al igual que un pintor
o un poeta, es un creador de modelos. Un pintor crea sus modelos con colores y formas; un
poeta, con palabras, y un matemático, con ideas; por ello, los modelos matemáticos son tan
permanentes, y algunos que aparecieron totalmente inútiles en sus orígenes resultaron más
tarde aplicables a otras áreas.
La matemática y su lenguaje
El hombre es un ser sociable que, desde los tiempos más remotos, necesitó comunicarse
permanentemente con sus pares. De su necesidad de transmitir ideas y vivencias nacieron los
distintos lenguajes.
Estos lenguajes gráficos, simbólicos, coloquiales, etc. permitieron la evolución de la
organización del pensamiento; para ello, también fue esencial el desarrollo de las
representaciones matemáticas y la evolución del lenguaje matemático.
Así algunos de los símbolos que usaremos a lo largo de este libro son los siguientes:
Símbolo Significado Símbolo Significado
unión intersección
^ mayor o igual que^ menor o igual que
mayor que menor que
^ pertenece a^ no pertenece a
^ está incluido en^ está incluido ampliamente en
no es igual a, o es distinto a
conjunto vacío
La vida del músico alemán Richard Wagner parecía estar indisolublemente ligada al
número 13: nació en un año acabado en 13, la suma de las letras de su nombre y apellido
son 13, los números de su año de nacimiento (1813) suman también 13, compuso 13 óperas
y falleció un día 13.
La misión espacial lunar Apolo 13 de la NASA fue lanzada el 11 de abril de 1970 a las
13:13 horas.
El miedo extremo al número 13 recibe el nombre de triscadecafobia.
En Japón las supersticiones no se dirigen hacia el trece sino hacia el número cuatro, que
se designa con un término cuyo sonido se parece a la palabra "muerte". Por eso, el número
de teléfono de los hospitales nipones nunca lleva el número cuatro, ni tampoco las habitaciones
de los hoteles.
Conjunto, Elementos y Pertenencia
Cada día, en nuestras conversaciones, por la televisión, o en el trabajo está presente la idea
de conjunto.
Al pasar por una plaza se levantó una bandada de palomas, un grupo de jubilados protestó por
sus ingresos que son muy bajos, los alumnos de las comisiones del turno de la mañana están
formadas por grupos numerosos, etc. todos estos ejemplos nos dan idea de la palabra conjunto.
Para desarrollar una teoría Matemática, partiremos de términos primitivos que no se definen
y de axiomas o postulados que son enunciados que se aceptan sin demostración y que relacionan
los términos primitivos. En la teoría de conjunto los términos primitivos son los conceptos de
conjunto, elemento y pertenencia.
Por ejemplo, si comparamos una rama de la matemática con un juego de cartas: los términos
primitivos son las cartas, y los axiomas, las reglas del juego que luego nos permitirán ver las
diferentes jugadas; estas jugadas serán los teoremas que demostraremos en Matemática o los
problemas que resolveremos aplicando éstos.
Elemento
Designaremos los conjuntos con letras mayúsculas de imprenta, anotaremos sus elementos
entre llaves y con letras minúsculas.
Por ejemplo: el conjunto de las vocales; así lo simbolizaremos A a ;e;i;o; u
Un conjunto es una agrupación de ciertos objetos, que
reciben el nombre de elementos. Un elemento puede o no
pertenecer a un determinado conjunto.
Por ello diremos para el ejemplo, que la letra a pertenece al conjunto A , lo cual se expresa
así a A mientras que el elemento b no pertenece al conjunto A que se simboliza b A
Representación
Un conjunto podemos representarlo gráficamente mediante un Diagrama de Venn, que es una
curva cerrada, dentro de la cual indicamos mediante puntos los elementos que pertenecen al
conjunto.
A
No siempre podemos representar los conjuntos utilizando un diagrama de Venn; cuando los
elementos son infinitos es imposible enumerar a cada uno de ello.
Por eso tendremos en cuenta lo siguiente:
Formas de expresar un conjunto
A los conjuntos los podemos expresar por:
Extensión : cuando enumeramos a cada uno de los elementos que lo forman.
Ejemplo: A {a,e , i,o,u } B {2,4,6,8,10,12,14, 16 }
Comprensión: cuando expresamos sus elementos a través de una o más propiedades que los
relaciona.
Así tendremos que los conjuntos del ejemplo anterior podemos expresarlos por comprensión de
la siguiente manera:
Ejemplo: A {x/x es vocal } B {x N / x es un número par x 18 }
Tipos de Conjuntos
¿Qué tipo de conjuntos podemos encontrar que puedan ser especiales y por ello tener un
nombre propio? Existen conjuntos con nombres especiales que a continuación lo indicamos:
*a *u *e
*i *o
*u
Conjunto de Partes
El conjunto de partes de A es el conjunto cuyos elementos son
todos los subconjuntos de A.
Simbólicamente: P(A ) {X / X A }
Ejemplo: Dado el conjunto (^) H 1 ; 2 ; 3 , el conjunto de partes de H es:
P H 1 ; 2 ; 3 1 , 2 ; 1 , 3 ; 2 , 3 ; 1 , 2 , 3 ; ^ , pues todos los subconjunto que pueden formarse con
los elementos de H son: ; 1 ; 2 ; 3 ; 1 , 2 ; 1 , 3 ; 2 , 3 ; 1 , 2 , 3 , también el conjunto vacío, pues él está
incluido en todos los conjuntos.
Observamos que para los conjuntos vacío y universal se cumple: A y A^ U , siendo A
cualquier conjunto.
Ahora, trabajaremos con conceptos que relacionen dos o más conjuntos.
Igualdad de conjuntos
Se dice que el conjunto A es igual a B sí y sólo si verifica que todos
los elementos de A son elementos de B y todos los elementos de B
son elementos de A, es decir que A B y B A
Simbólicamente: B A a, a A a B
Ejemplo: Sean los conjuntos A 9 0
x Z / x - y B 3 , 3 Dichos conjuntos son
iguales porque todos los elementos de A que son +3 y - 3 son también elementos de B y los
elementos de B, que son - 3 y +3 verifican a la ecuación del conjunto A.
Operaciones con conjuntos
Muchas veces es necesario operar con conjuntos y las operaciones entre ellos son las
siguientes:
Unión de Conjuntos
La unión entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los
elementos de A o los elementos de B.
O sea que la unión entre dos conjuntos es el conjunto formados por los
elementos comunes y no comunes entre dichos conjuntos.
Ejemplo: Si A 1 ; 2 ; 3 ; 6 y B 2 ; 6 ; 7 entonces A B 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7
Simbólicamente : A B {x U / x A x B }
Gráficamente : usando Diagramas de Venn tenemos
A
Intersección de Conjuntos
También podemos decir que la intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los
elementos comunes a dichos conjuntos
Simbólicamente : A B {x U / x A x B }
Gráficamente:
Ejemplo: Si A 1 ; 2 ; 3 ; 6 y B 2 ; 6 ; 7 entonces A B 2 ; 6
Diferencia entre Conjuntos
Simbólicamente : A - B {x U / x A x B }
Gráficamente :
Ejemplo : Si A ^1 ;^2 ;^3 ;^6 y B ^2 ;^6 ;^7 entonces A ^ B ^1 ;^3
Complemento de un Conjunto
El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por los
elementos del Universal que no pertenecen al conjunto A.
Simbólicamente : {x U / x A }
c A
Gráficamente :
U
Ejemplo: Si A 2 ; 3 ; 6 ; 5 y U 1 ; 2 ;3;4;5; 6 entonces 1 ; 4 ; 6
c A
El complemento de un conjunto podemos expresarlo también como una diferencia entre el
conjunto universal y el conjunto dado.
Así el complemento de A es A
C = U – A ={ x U / x A }
La intersección entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por
los elementos de A y los elementos de B.
La diferencia entre el conjunto A y el conjunto B es el conjunto formado
por los elementos de A que no pertenecen a B.
d) ..... 2
2
9 (^) x Z/x e) 8..... x Z/x 8 f) 0.....
g) 0..... x N / x 3 3 h) - 2.....Z i) 0.....N
3) Clasifica los conjuntos en vacíos, unitarios, finitos e infinitos
a) P x / x esdíadela semana b) Q x / x esvocaldelapalabra pez
c) R x Z / x es par d) S x N / x 5 5
e) T x Z / x 5 5 f) V x N / x 12
4) Encuentra el conjunto de partes de los conjuntos dados:
a) A x / x esunaletradelapalabra rosa
b) T x Z / x 5 5
5) Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, en caso contrario decir el
por qué:
a) Sea A x / x esunaletradelapalabra rosa
a A A r A a A a A r A
b) Sea B 1 ; 0
0 B B 0 B
6) Sabiendo que A d , B c ; d ; C a , b , c ; D a ; b y E a , b , d , analizar la
veracidad de las siguientes afirmaciones, justificar la respuesta en cada caso:
a) D C b) B E c) A D d) A B
e) (^) A B f) (^) E A g) D E h) B C
7) Teniendo en cuenta los siguientes diagramas de Venn, expresa por extensión los conjuntos
pedidos
a) A B A B A B A
b) C D D^ C C^ D D^ U
c) M N M N M N M
8) Dados los conjuntos U x N / x 10 A1, 4,7, 10 , B x N / x 5 y
C x U / xes par , perox 10 determina por extensión los siguientes conjuntos:
a) A B b) B U c) (^) A d) A B e)
c A
f)
c
U g) C A
c
B h) C
c A B i) B C
j) A B C k) A B C l) A B C m) A B C B
9) Escribe la operación entre los conjuntos A, B y C dados que representa la zona sombreada
10) Interpreta y resuelve los siguientes enunciados:
A un examen de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos, de los cuales 65
aprobaron el examen de Matemática, 25 el de Matemática y Contabilidad y 15 aprobaron solo
el de Contabilidad ¿Cuantos no aprobaron ninguno de los exámenes mencionados?
Se llevó a cabo una investigación con 1000 personas, para determinar que medio utilizan para
conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias en forma
regular por TV, 300 personas escuchan las noticias por la Radio y 275 se enteran de las noticias
por ambos medios. ¿Cuántas de la personas investigadas:
a) se enteran de las noticias solo por la TV?
b) se enteran de las noticias solo por Radio?
c) no escuchan ni ven las noticias?
Se realizó una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por dos tipos de productos A y
B. Obteniéndose lo siguientes resultados:
- El número de personas que prefirieron uno solo de los productos fueron 7.
- El número de personas que prefirieron ambos productos fue igual al número de personas que
no prefirió ninguno de los dos productos.
- El número de personas que no prefieren el producto A y prefirieron el producto B fueron 3.
Se desea saber:
a) ¿Cuántas personas prefieren el producto A?
b) ¿Cuántas personas prefieren el producto B solamente?
c) ¿Cuántas personas prefieren ambos productos?
Se le preguntó a un grupo de 10 estudiantes que tenían preferencias por las marcas de gaseosas
Fanta y Coca Cola. Obteniéndose lo siguientes resultados:
- El número de estudiantes que prefirieron Fanta pero no Coca Cola fue de 3.
- El número de estudiantes que no prefirieron Fanta fueron 6.
Se desea saber:
a) ¿Cuantos de los encuestados prefirieron Fanta?
b) ¿Cuantos de los encuestados prefirieron Coca Cola?
c) ¿Cuantos de los encuestados prefirieron Fanta o Coca Cola?
