NUMEROS REALES II
ECUACIONES E INECUACIONES CON
VALOR ABSOLUTO
LIC. JORGE L. NUÑEZ C.
MATEMATICA
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Una introducción al valor absoluto de números reales, incluyendo su definición, interpretación geométrica y propiedades. Además, se incluyen ejercicios para practicar la aplicación del valor absoluto en ecuaciones y inecuaciones.
Tipo: Diapositivas
2023/2024
1 / 16
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NUMEROS REALES II
ECUACIONES E INECUACIONES CON
VALOR ABSOLUTO
LIC. JORGE L. NUÑEZ C.
MATEMATICA
El valor absoluto de un número real X, denotado por │X│ es un
número no negativo definido mediante:
𝑋 = ቊ
𝑋 𝑋 ≥ 𝑂
− 𝑋 𝑋 < 0
Ejemplo:
15 = 15
− 15 = - ( - 15) = 15
− 5 7 = − 35 = - ( - 35) = 35
𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥
PROPIEDADES
1. 𝑎 = 0 a = 0
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
8. 𝒂 = k { 𝒂 = 𝒌 ∨ 𝒂 = −𝒌 ∧ 𝒌 ≥ 𝟎}
EJERCICIOS:
En cada uno de los ejercicios halle el conjunto solución.
- 3𝑥 − 5 = 7
3x – 5 = 7 o 3x – 5 = - 7
x = 4 o x = -
2
3
cs: { -
2
3
; 4 }
- 5𝑥 − 7 = 11 − 𝑥
11 – x ≥ 0 y ( 5x – 7 = 11 – x o 5x – 7 = x – 11 )
11 ≥ 𝑥 y ( x = 3 o x = - 1 }
- 1 3 11 cs: { - 1; 3 }
Solución
- x ≥ 0 x + 2 = - (- x) v x + 2 = - x
x ≤ 0 x + 2 = x v x + x = - 2
0 = - 2 v x = - 1 cs : { - 1 }
2
x ≥ 0 𝑥
2
- x = x v 𝑥
2
- x = - x
2
- 2x = 0 v 𝑥
2
x ( x – 2) = 0 v x = 0
x = 0 x = 2 cs: { 0; 2 }
PROPIEDADES PARA LAS INECUACIONES:
1. 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 ( desigualdad triangular )
3. 𝒂 ≤ 𝒌 − 𝒌 ≤ 𝒂 ≤ 𝒌 ( k > 0)
- 5 x − 1 − 𝑥 ≤ 1 + 2𝑥
3x – 1 ≤ 1 − 𝑥
( 1 – x ≤ 1 – 3x ∨ 1 – x ≥ 3x – 1 ) 0 1/
x ≤ 0 ∨ ½ ≥ x cs: < - ∞; ½ ]
- x ≤ 2𝑥 − 1 < 𝑥 + 1
x ≤ 2𝑥 − 1 ∧ 2𝑥 − 1 < 𝑥 + 1 (x+1>0)
( 2x – 1 ≤ - x v 2x - 1 ≥ x ) ∧ ( - x – 1 < 2x – 1 < x + 1 )
( x ≤
1
3
∨ 𝑥 ≥ 1 ) ∧ ( 0 < x ∧ x < 2 )
0 1/3 1 2 cs: <0; 1/3] U [ 1; 2>
2
2
2
2
( x – 2 + x +1)(x – 2 – x – 1) ≤ 0
1
2
≤ x cs: [
1
2
1 −4𝑥
𝑥− 2
x – 2 > 0 ∧ 1 − 4𝑥 > x( x – 2)
x > 2 ( 1 - 4x < - x(x - 2) v 1 – 4x > x( x – 2))
2
- 6x + 1 < 0 v 0 > 𝑥
2
- 2x – 1 )
cs: < 2; 3 + 2 2 >
- Halle la mayor valor de su conjunto solución de la ecuación:
Solución
x + 3 ≥ 0 2x – 1 = x + 3 v 2x – 1 = - x – 3
x ≥ - 3 x = 4 v 3x = - 2
x = −
2
3
cs: { - 2/3; 4}
- 3 - 2/3 4 Rpta: { 4 }
- Halle el conjunto solución de la inecuación:
2
Solución
5x – 10 ≥ 0 - 5x + 10 < 𝑥
2
− 6𝑥 + 8 < 5x – 10
x ≥ 10/5 - 5x + 10 < 𝑥
2
2
− 6𝑥 + 8 < 5x - 10
x ≥ 2 0 < 𝑥
2
2
0 < (x – 2 )(x + 1) ∧ (x – 2 )(x – 9) < 0
Pc: - 1; 2; 9
- 1 2 9 cs: < 2; 9>
- 1
- Hallar el conjunto solución:
Solución
4x + 3 < - x – 2 v 4x + 3 > x + 2
5x < - 5 v 3x > - 1
x < - 1 v x > - 1/
- 1 - 1/3 cs: < - ∞; − 1 >∪< −
1
3