Matemática II Modulo 1, Apuntes de Matemáticas

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ÍNDICE

• MATEMÁTICA
  • MÓDULO
• Vectores ………………………………………………….………………………………………………………………………...
• Producto punto ……………………………………………………………………….……………………….…………...…
• Producto cruz …………………….…………………………………………………………………………………………....
• Rectas …………………….……………………………………………………………………………………………………….
• Planos ………....………………………………………………………………………………………………………………….
• Cónicas ……………………………………………………………….…………………………………………………………..
• Superficies cuádricas …………………………………………………….………………………………………………...
• Funciones vectoriales ……………………………………………………………………………………….….....……….
• Longitud de arco ……………………………………………………………………………………………………………..
• Funciones de varias variables …………………………………………………………………………………………..
• Continuidad ………………………………………………………………………………………...…………………………..
• Derivadas parciales ………………………………………………………………………………………………………....
• Regla de la cadena …………………………………………………………………………...………………………………
• Derivada direccional ……………………………………………………………………………………………..…………
• Linealización ………………………………………………………………………………………………………………...…
• Extremos locales y absolutos …………………………………………………………………………………………...
• Multiplicadores de Lagrange ……………………………………………………………………………………………
• Soluciones a los ejercicios…………………………………………………………………………………………….…..

Geometría en el espacio

Vectores

En física, ciertas magnitudes (fuerzas, velocidades, flujos) son representados por medio de

vectores. Operar con este nuevo objeto nos permitirá hacer una descripción matemática de

muchos modelos físicos de gran importancia en la ingeniería.

Para comenzar, imaginemos dos puntos A y B en el plano. Podemos describir el

desplazamiento desde A hasta B por medio de una flecha que tiene su punto inicial en A y su

punto final en B. A este desplazamiento lo escribimos: v  AB

.

Por ejemplo, si A es el punto (-2;5) y B el punto (3;1), el vectorv  AB

describe cuánto hay

que moverse para ir desde A hasta B.

Representamos a los dos puntos en un sistema de ejes

coordenados ( Figura 1 ), y vemos que a ese desplazamiento

se lo puede descomponer en dos: uno horizontal, y uno

vertical.

Nos movemos desde un punto de abscisa -2 hacia otro de

abscisa 3, entonces el desplazamiento horizontal es igual a

3-(-2)=5. Y el desplazamiento vertical es igual a 1-5=-4.

Decimos que las componentes del vector v

son 5 y -4. Lo

escribimos

v

. El vector describe un desplazamiento

que se puede leer como “moverse 5 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo”.

Ahora, ese mismo desplazamiento se podría efectuar desde otro punto distinto de A. En ese

caso el punto final no coincidiría con B. Por ejemplo, si el punto inicial fuera (0;0), el vector

v

terminaría en el punto (5;-4). Notar la diferencia en la notación: a los puntos los

escribimos como par ordenado, a los vectores como una columna. El punto tiene coordenadas ,

el vector tiene componentes.

A partir de ahora, hablaremos de vectores como objetos con entidad propia. Pueden

representar un desplazamiento, pero no nos va a importar desde cuál punto. Lo que definirá al

vector serán sus componentes.

Figura 1

1fFigru

a

Los vectores tienen una dirección, un sentido y una longitud. A la dirección la podemos pensar

como la línea sobre la cual se apoya el vector. Se la podría describir mediante el ángulo que

esta recta forma con el eje horizontal. El sentido indica hacia dónde apunta el vector (por eso

al representarlos ubicamos una flecha que va desde el punto inicial hasta el punto final). La

longitud es un número, indica cuánto mide el vector.

Si

1

2

v v v

, sus componentes son v 1 (^) y v 2. Como tiene dos componentes, se dice que

v

pertenece al conjunto

2 (^)  (que es el conjunto de todos los vectores con dos componentes,

que son números reales). Se escribe

2

v 

Si representamos a v

en el plano, esos dos números serán las medidas de los catetos de un

triángulo rectángulo (o si alguno fuera menor a 0, el opuesto de ese número). La medida de la

hipotenusa será la longitud de v

. Es decir que a la longitud de un vector se la puede calcular

aplicando el ya conocido teorema de Pitágoras. La notaremos v

(se lee “longitud de v

” o

“módulo de v

”).

Se tiene entonces:

2 2 v  ( v 1 (^) ) ( v 2 )

.

Ejemplo : El vector que graficamos antes,

v

, tiene longitud

2 2 v  (5)  ( 4)  25  16  41

.

Se dice que un vector es unitario si su longitud es igual a 1.

Operaciones con vectores

Suma

Dados dos vectores

1

2

v v v

,

1

2

w w w

, podemos hacer la sumav  w

, que dará un nuevo

vector. Algebraicamente, la suma se realiza componente a

componente:

1 1 1 1

2 2 2 2

v w v w v w v w v w

.

Si queremos modificarle la longitud a un vector v

, manteniendo la dirección y el sentido,

deberemos multiplicarlo por una constante positiva.

Si, por ejemplo, queremos un vector de igual dirección y sentido que

v

, pero que sea

unitario (habíamos calculado antes y resultó v  41

, es decir que no es unitario), debemos

multiplicarlo por

. Obtendremos

5 41 4 41

u 

 ^ ^ 

, que sí es unitario.

Podemos verificarlo:    

2 2 5 4 25 16 41 u (^) 41 41 41 41 41 1 1        

En general, a un vectorw

se lo puede transformar en unitario (conservando dirección y sentido)

multiplicándolo por

w

En efecto, si

1

2

w w w

, si al vector

1 2 2 1 2 2 2 2 1 2

w w w w w w

w

w





 ^ 

(^)  le calculamos la longitud, obtenemos:

   

1 2 2 2 2 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2

w w w w w w

w w w w w w w w w w w  

.

Cuando a un vector w

se lo puede escribir como una constante por otro vector v

, se dice que

v y w

son múltiplos.

Combinando las dos operaciones (suma y producto por escalar) podemos generar las que se

llaman combinaciones lineales de vectores.

Definición : dados dos vectores v w ,

y dos escalares c d ,^ , una combinación lineal de

v y w

es un vector de la forma: c v   d w 

.

Ejemplo :

v w

. Elijo las constantes

c   d .

La combinación es:

    ^       

.

Veamos qué representa en el gráfico ( Figura 3 ).

Al vector v

se le invirtió el sentido, y se le duplicó la

longitud. Al vector w

se lo redujo a la mitad,

manteniendo el sentido.

Con estos nuevos vectores, múltiplos de v w ,

, se arma

un paralelogramo. La diagonal es la combinación

lineal de v w ,

.

Ejemplo: Los vectores

pueden generar cualquier vector de

2 . Es decir, cualquier

2

v 

 se puede escribir como combinación lineal de

.

En efecto, sea

1

2

v v v

. Lo podemos expresar como

(^1 )

2 2

v v

v v

, que a su vez es lo

mismo que tener

1 1 2 2

v v v v

  ^     

. Entonces existe una combinación lineal de

que da como resultado al vector v

(eligiendo como coeficientes a las componentes de v

).

Por ser tan sencilla la manera de expresar a cualquier vector de

2  como combinación de

ellos, los vectores

reciben un nombre especial.

Definimos

i j

. Ya demostramos que cualquier vector

2

v 

 se puede

expresar como:

1 1 2 2

v v i v j v

.

Figura 3

Producto Punto

La siguiente operación que definiremos entre vectores es el producto punto. Dados dos

vectores de dos componentes

1

2

v v v

,

1

2

w w w

, el producto punto entre ellos es el número :

1 1 1 1 2 2 2 2

v w v w v w v w v w

.

Es claro que hacer v w 

será equivalente a hacer w v 

, luego el producto punto es

conmutativo.

Nota: todas las operaciones o magnitudes que definimos (suma, producto por escalar, producto

punto, longitud) para vectores de dos componentes, tienen su adaptación para vectores de tres

componentes, y en general, de n componentes.

Por ejemplo, un vector

1

2

3

v

v v

v

tendrá longitud

2 2 2 v  ( v 1 (^) )  ( v 2 (^) ) ( v 3 )

; el producto punto

se calculará con

1 1

2 2 1 1 2 2 3 3

3 3

v w

v w v w v w v w

v w

; la regla del paralelogramo para la suma

sigue siendo válida y el paralelogramo se forma en el espacio.

La notación alternativa se adapta de la siguiente manera: en

3  , se

definen

0 ,^1 , 0

i j k

 ^ 

, con lo cual al vector

se lo puede expresar como

2 i  3 j  k

.

Vamos a deducir otra expresión para calcular el producto punto, a

partir de un triángulo y del teorema del coseno.

Graficamos dos vectores v w ,

, con el mismo origen ( Figura 4 ). En el

punto donde termina v

hacemos empezar el vector w  v

.

Figura 4

Nos quedará formado un triángulo. Las longitudes de sus lados son v , w , w  v

. Al ángulo

formado entre v

y w

lo llamamos .

Aplicando el teorema del coseno en este triángulo, obtenemos:

2 2 2

w  v  v  w  2 v  w cos( ) 

.

Sabiendo

1

2

v v v

,

1

2

w w w

,

1 1

2 2

w v w v w v

, y aplicando la expresión para calcular las

longitudes, tenemos:

           

2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

w  v  w  v  v  v  w  w  2 v  w cos( ) 

Desarrollando, y simplificando:

               

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

2 2 2 cos( )

2 2 2 cos( )

cos( )

w v w v w v w v v v w w v w

v w v w v w

v w v w v w

En el último renglón, a la izquierda del igual, aparece la expresión que ya conocíamos para el

producto punto. Entonces hay otra forma de calcularlo: multiplicando las longitudes de los

vectores v w ,

por el coseno del ángulo formado entre ellos.

v w   v  w cos( ) 

¿Cuál usaremos entonces? Depende de cuáles datos tengamos. Si se conocen las componentes

de los vectores, usamos la primera forma. Si en cambio, conocemos las longitudes y el ángulo

entre ambos vectores, la segunda.

Pero también podemos usar a las dos expresiones para calcular el ángulo entre dos vectores

cualesquiera.

Ejemplo : Hallar el ángulo entre los vectores

v   2 i  2 , j w  4 i  j

 ^ ^  ^ 

.

Ya habíamos sumado a estos dos vectores, y en el gráfico

( Figura 5 ) se puede ver que el ángulo entre ellos es

mayor a 90º.

Si calculamos su producto punto, obtenemos:

v w    2 4  2 ( 1)    10

.

Figura 5

a v w a

.

2 2 2 2 1 1 2 v w   v  w cos(120º )  0  1  a  ( 1)  ( 2 )   2 a  1

.

Igualando ambos, nos queda una ecuación en la que la incógnita es a :

1 2    1 2 a  1 Resolvemos:

1 2 2 2 2    1 2 a  1  2  a  1  4  a  1  3  a  a   3

Entonces tenemos dos opciones:

w

, o

w

, y en ambos

casos el ángulo que se forma entre v y w

es de 120º ( Figura 7).

Ejercicios

5. La figura está formada por un cuadrado y un triángulo

equilátero. Sobre ella hay tres vectores: u , v , w

.

Se sabe que el vector u

es unitario.

Calcular los productos punto u v  , u w 

.

6. Calcular el ángulo entre los siguientes pares de vectores:

a.

v w i j

^  

 ^ ^ 

b.

v w

c.

v i j w

 ^  

d.

v w

7. Sean

v w b

. ¿Existe algún número b para el cual el ángulo entre v^ y w

sea igual a 60º? Si existe, hallarlo. ¿Y para que el ángulo sea igual a 30º? Graficar.

8. Dados

v w

^    

, escribir un vector que sea perpendicular a v

, y cuya

longitud sea igual a la longitud de w

.

Figura 7

Producto Cruz

Esta operación también se efectúa entre dos vectores, pero sólo entre vectores de

3  (a

diferencia del producto punto, que se puede aplicar entre dos vectores de n componentes).

Otra diferencia con el producto punto es que el resultado del producto cruz entre dos vectores

de

3  es un vector de

3 .

Antes de definir cómo se calcula, veamos las propiedades que cumple esta operación.

Sean

3

u v , 

. El producto cruz u  v

es un vector de tres componentes, que cumple:

 El vector u  v

es perpendicular a u

y a v

.

 La longitud es: u  v  u  v sen( ) 

 Para definir el sentido de u  v

, se usa la regla de la mano derecha. Los

dedos van en el sentido del vector u

, el vector v

sale de la palma,

entonces el sentido de u^  v

es el del dedo gordo.

Nota: el producto cruz no es conmutativo, pues u  v

no es igual a v  u

, esto lo podemos ver a

partir de la regla de la mano derecha.

Ahora veamos cómo se calcula el producto cruz.

Tomemos dos vectores de

3  , por ejemplo,

u

,

v

^  

, queremos calcular u  v

.

Armamos una tabla de tres filas y tres columnas; en la primera fila van los vectores i , j k ,

 ^ 

, en

la segunda van las componentes del vector u

, en la tercera las componentes de v

. Quedaría

i j k

 ^ 

. Después repetimos la primera y la segunda fila, y nos queda:

i j k

i j k

 ^ 

.

El cálculo del producto cruz va a consistir en sumar los resultados de los productos de los

elementos de las diagonales “que bajan”, y restar los resultados de los productos de los

elementos de las diagonales “que suben”. Veámoslo en este ejemplo:

Rectas en el espacio

Ya conocemos cómo describir por medio de una ecuación a los puntos de una recta en

2 .

Vamos a deducir la expresión para una recta en el espacio.

En el plano, los datos que necesitamos para escribir la ecuación de una recta son la pendiente,

y un punto. En el espacio no vamos a hablar de pendiente, pero sí de la dirección que tiene la

recta. Para dar la dirección vamos a usar un vector 3 v 

 (^) .

Queremos describir a la recta que pasa por un punto

P 0 (^) : ( x 0 (^) ; y 0 (^) ; z 0 ) , y es paralela al vector v

, como se muestra en la

figura. El punto P 0 y el vector

a

v b

c

son datos conocidos. El

vector v

se llama vector director de la recta.

Tomamos un punto genérico (^) P : ( ; x y z ; ) perteneciente a

la recta, y formamos el vector P P 0

. Este vector es paralelo

a v

, pues está contenido en la recta.

Al tener punto inicial P 0 y punto final P , las componentes

de P P 0

son

0

0 0

0

x x

P P y y

z z

.

Analíticamente, los vectores P P 0

y v

son múltiplos, es decir que existe una constante t ,

tal que P P 0  t v 

.

Entonces

0

0

0

x x (^) a

y y t b

z z c

. A esta ecuación se la llama ecuación vectorial de la recta.

Como es una igualdad entre vectores, se pueden igualar la primera componente del lado

izquierdo con la primera componente del lado derecho; y lo mismo con la segunda y la

tercera. Haciendo eso se obtienen las tres igualdades:

0

0

0

x x t a

y y t b

z z t c

^ ^ ^ 

 ^ ^ 

 ^ ^ 

.

Despejando, llegamos a:

0

0

0

x x t a

y y t b t

z z t c

^ ^  

 ^  ^ 

 ^  

A estas las llamamos ecuaciones paramétricas de la recta (paramétricas porque aparece el

parámetro t ).

Otra forma de presentar a la recta es despejando el parámetro de las tres ecuaciones, e

igualándolos:

0 0 0 0 0

0

x x t a x x y y z z y y t b t t t a b c z z t c

 ^  

 ^ ^ 

 ^  ^ ^ ^ ^ ^ 

 ^  

x x 0 (^) y y 0 (^) z z 0

a b c

A estas últimas se las llama ecuaciones simétricas de la recta , y se pueden presentar así cuando

ninguna de las componentes de v

es nula.

Ejemplo

Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos (^) A : (3;1; 3) y

B :(2;3;1). Después decidir si el punto C : ( 1;5;0) pertenece a esa recta.

Para esto necesitamos tener dos datos: un punto conocido en la recta (tenemos dos), y el

vector director. A este no lo tenemos, pero podemos armarlo. Como los puntos A y B están

sobre la recta, el vector AB

 es paralelo a la recta y se lo puede tomar como vector director.

Luego, los datos que tomamos son (^) A : (3;1; 3),

AB

 ^   

.

Reemplazando en las ecuaciones paramétricas:

x t

y t t

z t

^ ^   

 ^  ^ 

¿Cómo sabemos si estas ecuaciones son correctas? La recta debería pasar por los puntos A y B,

¿esto se cumple?

Si la recta pasa por el punto A : (3;1; 3), debe existir un valor de t que, al reemplazarlo en las

ecuaciones, resultara en x  3; y  1; z   3. Es fácil ver que esto se da si t  0 (verificarlo).