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EJERCICIOS VISTOS EN CLASE DE CALCULO
Tipo: Ejercicios
1 / 24
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"2022 Año del Quincentenario de Toluca, Capital del Estado de México".
el ingeniero, es por ello por lo que la realización de este manual ayudará al estudiante a
reforzar los conocimientos en el cálculo integral de acuerdo al temario propuesto por el
Tecnológico Nacional de México.
Unidad I – TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Práctica 1 – Aplicación del teorema fundamental del cálculo
Objetivo(s) específico(s):
Comprender los dos teoremas fundamentales del cálculo para establecer la
relación entre cálculo diferencial y cálculo integral.
Aplicar los teoremas y las propiedades de la integral para evaluar integrales
definidas.
Unidad II – MÉTODOS DE INTEGRACIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA
Práctica 2 – Identificación y aplicación de los métodos de integración
Objetivo(s) específico(s):
Identificar el método de integración más adecuado para resolver una integral
indefinida.
Unidad III – APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Práctica 3 – Resolver aplicaciones de la ingeniería utilizando cálculo integral.
Objetivo(s) específico(s):
Utilizar las definiciones de integral y las técnicas de integración para la solución
de problemas geométricos y aplicados en la ingeniería.
1.1) Objetivo(s):
Comprende los dos teoremas fundamentales del cálculo para establecer la
relación entre cálculo diferencial y cálculo integral.
Aplica los teoremas y las propiedades de la integral para evaluar integrales
definidas.
1.2) Introducción
Esta unidad se abordaron los problemas de área y distancia y los utiliza para
formular la idea de integral definida, que es el concepto básico del cálculo integral.
Se observó que existe una conexión entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.
Este es el teorema fundamental del cálculo relaciona la integral con la derivada; este
teorema simplifica en gran medida la resolución de muchos problemas.
Entendimos la definición de la integral definida como “Si f es una función continúa
definida para a ≤ x ≤ b , dividimos el intervalo [ a, b ] en n subintervalos de igual ancho Δx
= ( b - a ) / n. Sean x 0 ( = a ), x 1 , x 2 ,.. ., xn ( = b ) los puntos extremos de estos subintervalos
y sean x 1
*, x 2
*,.. ., x n
* los “puntos muestra” en estos subintervalos, de modo que x i
encuentre en el i-ésimo subintervalo [x i- 1
, x i
]. Entonces la integral definida de f , desde
a hasta b , es
siempre que este límite exista y de el mismo valor para todas las posibles elecciones
de los puntos muestra. Si existe, decimos que f es integrable sobre [a, b].” (Stewart, 2007)
Además, se abordó la integral como un límite de una serie de sumas conocidas como
Suma de Riemann, definidas por puntos muestra debajo de la curva utilizados de
referencia para su evaluación.
Por último, se dio paso a la evaluación de integrales definidas por medio del uso de reglas
básicas que se abordarán con mayor profundidad en la siguiente unidad.
1.3) Material y equipo
1.1) Objetivo(s):
Identifica el método de integración más adecuado para resolver una integral
indefinida.
1.2) Introducción
1.3) Material y equipo
1.4) Metodología
Según Hibbeler, R.C. (2010), es importante siempre presentar el trabajo de una manera
lógica y ordenada , como indica la siguiente serie de pasos:
teoría estudiada.
escriba ecuaciones, asegúrese de que sean dimensionalmente homogéneas.
cifras significativas.
razonable o no.
Resuelva los siguientes ejercicios:
2.1. Identifique la técnica de solución más adecuada y resuelva cada una de las
siguientes integrales:
a) ∫
2
− 2
b) ∫ 𝑣 ∗
2
2
c) ∫
d) ∫
[𝜃 − csc(𝜃) ∗ cot(𝜃)]𝑑𝜃
e) ∫[ 1 + 𝑡𝑎𝑛
2
f) ∫
2
g) ∫
2
− 2
h) ∫ 𝑥
2
𝑥
3
i) ∫
𝑠𝑒𝑛( 2 𝑥)
1 +𝑐𝑜𝑠
2
(𝑥)
j) ∫
𝑥
1 +𝑥
4
k) ∫ 𝑣 ∗
8
l) ∫
2
3
4
m) ∫
2
∗ cos (𝑥)𝑑𝑥
n) ∫ 𝑝
5
o) ∫
2
p) ∫
𝑆
q) ∫
2
4
r) ∫ 𝑡𝑎𝑛
2
4
s) ∫
𝑠𝑒𝑛(𝜙)
𝑐𝑜𝑠
3
(𝜙)
t) ∫ 𝑠𝑒𝑛( 5 𝜃) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜃
u) ∫
2
v) ∫
𝑥
√ 1 +𝑥
2
w) ∫
√ 1 +𝑥
2
𝑥
x) ∫
𝑑𝑥
[(𝑎𝑥)
2
−𝑏
2
]
3 / 2
2.2. Utilizando la racionalización de fracciones parciales, identifique de que caso se
trata y resuelva la integral.
a) ∫
𝑥
4
𝑥− 1
b) ∫
5 𝑥+ 1
( 2 𝑥+ 1
) ∗(𝑥− 1 )
c) ∫
𝑥
2
𝑥
3
−𝑥
1.5) Reporte del estudiante
1.6) Bibliografía preliminar
cifras significativas.
razonable o no.
Resuelva los siguientes ejercicios:
3.1. Determine el área del área sombreada que se muestra.
a) b)
3.2. Determine el área encerrada por las funciones mostradas.
a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑦 =
2 𝑥
𝜋
b) 4 𝑥 + 𝑦
2
c) 𝑦 =
1
4
2
2
3.3. Encuentre el volumen del sólido de revolución al hacer girar la región
delimitada por las curvas dadas alrededor de la recta especificada.
a) 𝑦 =
1
4
2
2
b) 𝑦 = 𝑒
−𝑥
c) 𝑦 = 1 + sec
3.4. Determine la longitud exacta de las siguientes curvas.
a) 𝑦
2
2
b) 𝑦 =
1
4
2
1
2
ln
c) 𝑥 =
𝑦
4
8
1
4 𝑦
4
1.5) Reporte del estudiante
3.1. Determine el área del área sombreada que se muestra.
Lo primero que se realiza es identificar los puntos sobre los cuales evaluaremos, lo cual
puede ser mediante la grafica o mediante el método analítico.
Posteriormente debemos identificar cual es la función que predomina para así al
momento de integrar restarle la otra función.
1
𝑥+ 1
2
0
Para resolver esta integral podemos dividirla en dos integrales
1
𝑥+ 2
2
0
2
0
La primera se resuelve mediante cambio de variable
2
0
1
2 𝑑𝑢 =
𝑢
3
2
3
2
2 √𝑢
3
3
2 √(𝑥+ 2 )
3
3
La segunda integral la hacemos directa:
1
𝑥+ 2
2
0
= Ln
`por lo que el resultado es:
2
2
Tenemos que sacar la integral de nuestra curvatura para evaluarla
Ya que la tenemos evaluada nos da como resultado final:
2
2
2
2
2
0
Lo que hicimos primero fue integrar los resultados que se muestran en la gafica
2
3
Evaluando con los datos conocidos realizamod e forma directa las operaciones
obtuvimos como resultado:
3
3.5. Encuentre el volumen del sólido de revolución al hacer girar la región
delimitada por las curvas dadas alrededor de la recta especificada.
1
4
2
2
Lo primero que se debe hacer es integrar las funciones en un intervalo de - 2 a 2
esto lo determinamos atraves de método analítico.
2
2
2
2
2
− 2
Esto lo dividimos en dos integrales ya que esta restando y se puede hacer
4
2
2
2
− 2
2
− 2
La primer parte se integra y para la segunda integral se resuelve el polinomio con
la regla del producto
5
2
2
Se evalúa de - 2 a
5
3
5
5
3
5
5
3
5
Y llegamos a este resultado:
3
Lo primero que tenemos que hacer es dividir la raíz en dos raíces y resolverlas,
después multiplicar el dos que sale de la raíz de 4 por el otro producto
2
2
Aplicamos la fórmula de longitud
2
1
0
Hacemos un cambio de variable y resolvemos la integral
2
2
2
Ln (( 2 𝑥 + 8 ) +
2
2
Ln (
2
ln (
1
4
2
1
2
Ln(𝑥) , 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
Hacemos su derivada
Aplicamosla integral de longitud de arco
2
2
1
Factorizamos la integral
2
2
2
4
2
2
2
Aquí lo que hacemos es que evaluamos la integral
4
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
Por ultimos evaluamos los limites de integracion,
2
1
2
𝑦
4
8
1
4 𝑦
4
Primero hacemos la derivada de f prima de x
3
3
multiplicamos cruzado y el ultimo lo elevamos al cuadrado
3
3
6
3
2
Aquí aplicamos la regla del producto en el binomio
12
6
6
Y nuestro resultado es este
12
6
6
6
Hacmso las operaciones correspondientes con los terminos semejantes y nos queda
asi:
12
6
6
A esta fraccion le aplicas la integral de longitud de arco
12
6
6
2
1
Factorizamos toda la integral y nos queda asi:
RÚBRICA DE PRÁCTICA DE EJERCICIOS
Carrera: Ingenieria Civil Materia: Calculo Integral
Semestre / Grupo: 2do semestre 202 Unidad(es): 3era unidad
Tema: Practica
Nombre del estudiante(s): Bernal Castillo Oscar, Espinosa Hernandez Diego Alberto, Reyes Vera Brayan, Severiano Estevez Imanol, Tola Leon
Regina
Fecha de entrega (dd/mm/aa): 01/06/
VALORACIÓN EXCELENTE BIEN SUFICIENTE NO SUFICIENTE PONDERACION
DOMINIO DE LOS
CONCEPTOS FISICO-
MATEMÁTICOS
La explicación
demuestra completo
entendimiento del
concepto matemático
usando para resolver los
problemas.
La explicación demuestra
entendimiento sustancial
del concepto matemático
usado para resolver los
problemas.
La explicación demuestra
algún entendimiento del
concepto matemático
necesario para resolver
los problemas.
La explicación
demuestra un
entendimiento muy
limitado de los
conceptos
subyacentes
necesarios para
resolver problemas o
no está escrita.
2.5 2 .5 1.5 1.0 0.
DIBUJOS, DIAGRAMS
Y/O TABLAS
Los dibujos, diagramas
y/o tablas son claros y
ayudan al entendimiento
de los procedimientos.
Los dibujos, diagramas
y/o tablas claros y fáciles
de entender.
Los dibujos, diagramas
y/o tablas son algo
difíciles de entender.
Los dibujos,
diagramas y/o tablas
son algo difíciles de
entender o no son
usados.
2.5 2 .5 1.5 1.0 0.
ORDEN DEL
DESARROLLO
El trabajo es presentado
de una manera
ordenada, clara y
organizada que es fácil
de leer.
El trabajo es presentado
de una manera ordenada
y organizada que es, por
lo general, fácil de leer.
El trabajo es presentado
de una manera
organizada, pero puede
ser difícil de leer.
El trabajo se ve
descuidado y
desorganizado. Es
difícil saber qué
información está
relacionada.
2.5 2 .5 1.5 1.0 0.
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Un razonamiento
matemático complejo y
refinado.
Usa razonamiento
matemático efectivo.
Alguna evidencia de
razonamiento
matemático.
Poca evidencia de
razonamiento
matemático.
2.5 2 .5 1.5 1.0 0.
VALOR TOTAL: 10.0 VALOR OBTENIDO :
1.6) Bibliografía preliminar
