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CLASE 1 : ENUNCIADOS Y VALOR DE VERDAD. PROPOSICIONES SIMPLES Y
COMPUESTAS. PROPOSICIONES EQUIVALENTES. TAUTOLOGÍA,
CONTINGENCIA Y CONTRADICCIÓN.
- Hola! Llegamos a nuestro primer día de clase, imagino que con algunas certezas y algunas dudas.
Por supuesto, han leído el material sugerido y confeccionado la ficha correspondiente, entonces podemos empezar.
-¿Cómo les fue con la lectura?
Acerca de la notación para las proposiciones compuestas (paréntesis y otras yerbas):
Cuando anotamos, por ejemplo: (p q) (q r), estamos indicando que la proposición compuesta está determinada por el condicional (), que vincula a su vez dos proposiciones compuestas: una conjunción () y una disyunción ().
Para determinar el valor de verdad, primero deben determinarse los valores de verdad del antecedente (p q), y del consecuente (q r), para finalmente obtener el valor de verdad pedido, según el condicional.
Si: v(p) = V v(q) = F v(r) = V
v(pq) = F v(qr) = V v[(pq) (qr)] = V , implicación (condicional) con antecedente falso.
Otras yerbas: Abusando un poco de la notación que nos provee la lógica: p → q puede escribirse, en este curso, indistintamente con una o dos barritas horizontales, del mismo modo p ↔ q.
Acerca de la construcción de tablas:
Como queda especificado en el anexo teórico, una tabla permite representar todas las posibles alternativas que las distintas proposiciones pueden presentar, según su valor de verdad.
Si tenemos una única proposición, como en la negación, son sólo los dos posibles valores de verdad de esa única proposición.
Si hay dos proposiciones, hay cuatro posibles combinaciones entre los valores de verdad de ambas y lo único importante es incluir en la tabla esas cuatro opciones. Sin embargo, conviene seguir un orden que permita no olvidar ni repetir alternativas, y comparar resultados mirando la columna resultante (en negrita en el anexo). Ese orden sugerido es: para la primera proposición, dos verdaderos y dos falsos, para la segunda, alternar verdadero y falso, empezando por verdadero.
En el caso de tres proposiciones: para la primera cuatro y cuatro, para la segunda dos y dos, para la última alternar uno y uno, siempre empezando por verdadero.
Acerca de las proposiciones equivalentes:
Lo importante: “Dos proposiciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad para los mismos valores de verdad de las proposiciones componentes”.
Sean s :(pq) y r : p q
Armemos las tablas de verdad de cada una:
Para s: Para r:
p q pq (pq) p q p q p~q
V V V F V V F F F V F V F V F F V F F V V F F V V F F F F F V F F V V V
Observemos que las tablas que verdad de ambas proposiciones arrojan los mismos valores de verdad, para los mismos valores de verdad de p y q.
Por ejemplo, si p es verdadera y q es falsa, la proposición s es falsa (F) y también lo es la proposición r. Y esto pasa para cada una de las 4 opciones.
Las proposiciones son equivalentes , teniendo el mismo valor de verdad, pueden ser reemplazadas unas por otras, lo cual constituye la base de las leyes lógicas.
Si leyeron atentamente la teoría, habrán reconocido en el ejemplo anterior, la ley de De Morgan para la disyunción.
Armemos la tabla de s r , donde s y r son las proposiciones del ejemplo anterior. No hace falta que planteemos nuevamente los valores de verdad de p y q, pues en definitiva, vamos a tener que relacionar los de s con los de r , o sea las columnas en negrita:
s r s r F F V F F V F F V V V V
El bicondicional es tautológico , por lo que es una equivalencia , por lo que ambas proposiciones pueden ser reemplazadas una por la otra en cualquier razonamiento o deducción.
↔ [(p ˅ ~p) ˄ (p ˅ q)] (4) ↔ 𝒑 ˅ 𝒒
(1) aplicamos la ley que transforma la implicación.
(2) ley de doble negación
(3) distributividad de la disyunción respecto de la conjunción.
(4) Simplificamos siendo que el primer paréntesis es, como en el caso visto anteriormente, una tautología, el valor de verdad, en la conjunción depende exclusivamente de la proposición “p ∨ q”.
De modo que la extensa proposición dada en el enunciado, se puede reducir a:
“p ˅ q”.
Nota imprescindible : leyes de simplificación:
𝒑 ∧ ∼ 𝒑 :es una proposición falsa para cualquier proposición p , entonces, equivale a una proposición falsa, entonces, nos permitirá simplificarla:
por ej. : 𝒒 ∧ (𝒑 ∧∼ 𝒑)^ es una proposición falsa independientemente del valor de
verdad de q, pues, siendo el paréntesis falso, la conjunción es falsa.
En tanto: 𝑞 ∨ (𝑝 ∧∼ 𝑝) ⟷ 𝑞 , pues siendo el paréntesis una proposición falsa, el
valor de verdad de la disyunción depende del valor de verdad de q, si q es falsa
toda la proposición lo es, y si q es V, toda la proposición es también verdadera.
Del mismo modo, puede simplificarse la proposición: 𝑝 ∨∼ 𝑝 , teniendo en cuenta,
en este caso, que es una proposición siempre verdadera, como se vió en el ejemplo
anterior a esta nota.
Leyes de cancelación: también son muy útiles a la hora de simplificar
proposiciones:
Podés demostrar mediante una tabla de verdad que:
Algunos ejemplos: (algunos enunciados corresponden a la práctica, otro no)
1. Expresar simbólicamente y dar el valor de verdad:
“Si San Martín cruzó los andes y Chile tiene frontera con Argentina, entonces Belgrano era hincha de San Lorenzo”
Resolución:
Se trata de una proposición compuesta.
Lo primero: identificar y nombrar las proposiciones simples:
p: San Martín cruzó los Andes
q: Chile tiene frontera con Argentina.
r: Belgrano era hincha de San Lorenzo.
Estructura simbólica de la proposición:
(p ˄ q) →r
Observar que es una implicación. El antecedente es verdadero: “p ˄ q” , ya que tanto p como q son verdaderas (buscar el renglón correspondiente en la tabla de verdad de la conjunción) , pero el consecuente es falso (San Lorenzo y Belgrano no coexistieron!!!) Luego, la proposición es falsa (ver la tabla de la implicación).
2. Sabiendo que p es V, q es V y r es F, analizar el valor de verdad de la proposición: (p ˅ r) ˄ (¬q → r )
Observar que, dado que conocemos los valores de verdad de cada proposición, se trata de mirar “un único” renglón de la tabla. De modo que no hace falta construirla completa sino analizar el caso particular planteado.
p q ∼q r 𝑎:^ 𝑝^ ∨^ 𝑟^ 𝑏:^ ∼^ 𝑞^ ⟶^ 𝑟^ 𝑎^ ∧^ 𝑏 V V F F V V V
La estructura corresponde a una conjunción ( ˄ ) de dos proposiciones compuestas.
La primera es una disyunción donde una de las proposiciones ( p) es V, luego, la proposición lo es (ver tabla de verdad de disyunción).
La segunda, es una implicación de antecedente (¬ q), falso, luego es verdadera también. Por lo que la conjunción total, es verdadera.
3. Sabiendo que p↔q es verdadera, ¿podés conocer el valor de ¬p ↔ q?
Falta simplificar:
Quedará, usando distributiva (como en ejemplos anteriores, mirando la propiedad de derecha a izquierda…):
(~p ∧ (∼q ∨ q)) ↔ ~p
Simplificamos, ya que la proposición que involucra a q es verdadera para cualquier valor de verdad de q.
O sea que toda la proposición dada se reduce a “no p”.
Bueno, ya pueden trabajar en la práctica hasta el ejercicio 8.
Cafecito mediante, NOS VEMOS LA PRÓXIMA.
