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LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO
GUIA 1
La lógica es una parte de las matemáticas que se usa para razonar de manera formal. Los sistemas lógicos se han presentado como herramientas que deberán llevar a cabo la representación de afirmaciones y el razonar y deducir de manera simbólica. La lógica proposicional es un primer tipo de sistema lógico, en el que se manejan afirmaciones con una estructura de complejidad bastante simple. Por ser así de simple, en la lógica proposicional es fácil definir y entender qué es ser verdad, cuándo una afirmación es cierta, cuándo vale en cualquier escenario, y muchos otros conceptos interesantes.
CONECTORES LÓGICOS.
1. CONJUNCION
La conjunción es una proposición compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el enlace “y”. Símbolo: “ “ Enunciado compuesto: Ejemplo: “El automóvil enciende cuando tiene gasolina y tiene corriente la batería” p : El automóvil enciende cuando tiene gasolina. q : El automóvil enciende cuando tiene corriente. Se representa
La tabla de verdad es:
p q V V V V F F F V F F F F Según esto: p : V Significa que el auto tiene gasolina en el tanque q : V Significa que la batería tiene corriente = V Representa que el auto puede encender. Si p o q tiene como valor de verdad F implica que no tiene gasolina en el tanque o no tiene energía la batería y que por lo tanto no puede encender. Conclusión: Una conjunción es verdadera cuando las proposiciones simples que la forman son verdaderas.
2. DISYUNCIÓN
La disyunción es una proposición compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el enlace “o”. DISYUNCION INCLUSIVA La disyunción Inclusiva es una proposición compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el enlace “o”. Su símbolo: “ ” Enunciado compuesto: “ ” Significado “… …, …u….” Con este conector se obtiene un valor de verdad V cuando alguna de las dos proposiciones es verdadera. Ejemplo: “Una persona puede entrar al teatro si compra el boleto u obtiene una invitación gratuita” p : Una persona entra al teatro si compra el boleto. q : Una persona entra al teatro si obtiene una invitación gratuita. Se representa.
La tabla de verdad es:
p q V V V V F V F V V F F F La única forma en la que no puede ingresar al teatro ( =F), es que no compre su boleta (p=F) y que no obtenga una invitación gratuita (q =F) Conclusión: La Disyunción Inclusiva implica que puede verificarse una de las dos proposiciones simples, o ambas a la vez; ya que uno no excluye a la otra.
3. NEGACION La Negación es una proposición simple, que resulta de contradecir el sentido de verdad de dicha proposición. Su símbolo: “ , ~” Su enunciado compuesto: “ , ~p” Su significado: “No, no es cierto que…, ni”
La Condicional es una proposición compuesta falsa, si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás casos la proposición es verdadera.
5. BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACION Una Bicondicional es una proposición donde “p es una condición necesaria y suficiente para q”. Su símbolo: o. Su enunciado compuesto: Su significado: “…si y sólo si…“ Sea proposición bicondicional Y se puede expresar:. Esto significa que p es verdadera si y solo si q es verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo: Apruebas la asignatura, si y solo si entrega las actividades escolares. p : Apruebas la asignatura. q : Entrega las actividades escolares. Se representa:
Su tabla de verdad es:
P Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Conclusión: Las proposiciones condicionales solamente son verdaderas si tanto p como q son falsas o verdaderas. RESUMEN Recuerde que: Una proposición es un enunciado del que se puede decir que es verdadero o falso. El valor de verdad de una proposición es la veracidad o falsedad de está. Una proposición compuesta, son dos proposiciones unidas mediante unos símbolos denominados conectivos lógicos. La siguiente tabla muestra los diferentes conectivos de la lógica proposicional con su respectivo nombre, símbolo, notación y lectura. NOMBRE SÍMBOLO NOTACÍÓN LECTURA CONJUNCIÓN ^ p y q DISYUNCIÓN p o q
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ^ p o q , pero no ambas IMPLICACIÓN CONDICIONAL p implica q Si p entonces q DOBLE IMPLICACIÓN EQUIVALENCIA BICONDICIONAL
p si y sólo si q p es equivalente a q NEGACIÓN No p; es falso que p La siguiente tabla muestra los valores de verdad de las proposiciones compuestas para cada uno de los diferentes conectivos. p q V V V V F V V F F V F F V V F F F V F V F V V V F V F F F F F F V V V V
TABLAS DE VERDAD.
Teniendo en cuenta que la forma correcta de escribir una variable proposicional es la sintaxis y la semántica es lo que significa. En la lógica una variable proposicional une solamente dos valores de verdad V o F. Para determinar de una Variable Proposicional, debemos seguir las reglas que se dieron en el tema conectores. Esto se hace mediante interpretación que son un conjunto de valores que se asignan a sus proposiciones simples o atómicas. Al realizar la interpretación de Variable Proposicional se obtiene un valor de verdad V o F. Cada tabla tiene un número de interpretaciones que aparezcan en la familia. El criterio para determinar cuántas interpretaciones posibles hay, tiene una formula donde es el numero de proposiciones simples. Así la tabla de verdad de una fórmula que tenga 2 variables tendrá filas, una que tenga 3, , etc. Luego de calcular el número de filas se procede de la siguiente manera: La columna 1 corresponde a la asignación de todas las combinaciones de valores de verdad posibles de las V o F que aparecen en la formula. Calculo del valor de verdad de la negación de las V o F. Calculo de los conectores binarios que afectan a los resultados del paso anterior o a negaciones. Se calculan todos los conectivos binarios hasta llegar al conector principal. El resultado de la tabla aparece reflejado en la ultima columna donde este el conector principal. Ejemplo 1: Construcción de tabla de verdad
