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REVISIÓN 6 – 113337.21 PÁGINA 1 DE 2
TRANSFORMADA DE LAPLACE L
Definiciones integrales
Transformada de Laplace Transformada inversa de Laplace
lim
b st b
F s f t e f t dt
L
s es en realidad una variable compleja pero se trata
como constante durante la integración
(^1 ) 2
σ
σ
lim π
iR st R (^) iR
f t F s e F s ds i
^
L
σ es un número real elegido de tal forma que todos los polos de
F (^) s (^) queden a la izquierda de la recta vertical que pasa por σ
Tabla de transformadas
f t L f^ t
s
t^ n n es un entero positivo 1
n
n
s
3 t 3
π s
t
π s
5 eat^1
s a
t e^ n^ at n es un entero positivo 1
n
n
s a
7 sen^ kt^ s 2 ^ kk 2
8 cos^ kt^ 2 2
s s k
9 senh kt 2^ k 2
s k
10 cosh kt 2^ s 2
s k
11 eat sen kt
^2
k s a k
12 eat cos kt
^2
s a s a k
13 t sen kt
2 22
2 ks s k
14 t^ cos kt^
2 2 2 22
s k s k
15 sen^ kt^ ^ kt^ cos kt
3 2 22
2 k s k
16 sen kt kt cos kt
2 2 22
2 ks s k
f t L f^ t
17 senh kt sen kt
3 4 4
2 k s k
18 cosh kt cos kt
2 4 4
2 k s s k
19 1 cos kt
2 2 2
k s s k
20 kt^ ^ sen kt
3 2 2 2
k s s k
a sen bt b sen at ab a b
s a s b
22 cos^ bt 2^ cos 2 at
a b
s
s a s b
23 ln t
γ ln s
s
^
γ 0 5772156649. es la constante de Euler-Mascheroni
(^24) ln^2 t ^
2 6
π γ^ ln s s s
^
25 ^ ^ γ^ ^ ln^ t ln s^ s
(^26) 2 2
γ ln t ^ π^ ln^2 s
s
e at^ ebt
t
ln s^ b
s a
e at^ ebt
t
s b s a
(^2 )
/
a e a t
t
(^) a s e
30 erf^ t^
(^2 ) e s^ / 1 erf 21 s s
31 sen t^ t^ arctan^1 s
REVISIÓN 6 – 113337.21 PÁGINA 2 DE 2
Teoremas y propiedades diversas
1 Linealidad (^) L c f 1 1 (^) t (^) c f 2 2 (^) t (^) c (^) n fn (^) t (^) c F 1 1 (^) s (^) c F 2 2 (^) s (^) c Fn n (^) t
donde c 1 , c 2 , … c (^) n son constantes
2 Primer teorema de traslación
^ ^ ^ ^ ^
1 1
at s s a s^ s^ a at at
e f t f t F s F s a
F s a e F s e f t
^
L L
L L
3 Segundo teorema de traslación
donde la función escalón unitario es
t a
t a t a
U
L (^) f^^ ^ t^ ^ a^ ^ U^ t^ ^ a ^ ^ e^ ^ as^ L^ f^ t^ ^ e^ asF^ ^ s
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
(^1) as 1 e F s F s (^) t t a t a f t a t a
(^) L ^ L (^) U ^ ^ ^ U
4 Función multiplicada por tn
(derivada de transformada) ^ ^ ^1 ^ ^
n n^ n n t f t d F s ds L^ ^
5 Función dividida entre t
(integral de transformada)
(^) s
f t
t F^ s ds
^
L
6 Transformada de derivada
dfdt sF (^) s (^) f 0 L
(^2 )
d f s F s sf f
dt
^ ^
L
1 0 ^2 0 ^2 ^ 0 ^ ^1 ^ 0
n (^) n n n n n n
d f s F s s f s f sf f
dt
L
7 Transformada de integral
0 ^ ^
t (^) F s f t dt s
L
8 Teorema de convolución
donde la integral de convolución es
- (^0) τ (^) τ (^) τ
t f g (^) f g t d
L ^ f^ * g ^^ ^ L ^ f^ t^ ^ L^ g t ^ ^ F^ ^ s G ^^ ^ s
1 F s G s f * g
L
9 Transformada de una función periódica
con periodo T tal que f (^) t T (^) f (^) t ^ ^0
T (^) st
f t esT e f t dt
L ^
10 Transformada de una función periódica
con periodo T tal que g t T (^) g t ^ ^0
T (^) st
g t esT e g t dt
L ^
0 0 0 0 0
0 o bien
δ^ , ,
a t t (^) a t^ a^ t^ t^ a t t a t t a
δ 0 (^02) st^ sa^ sa a t t e e^ e sa
^
L ^
11 Función delta de Dirac
0 0
t t
t t t t
L δ^ ^ t^ ^ t 0^ e^ st^0
12 Derivada de la función delta
(función doble impulso) ^ ^
d δ t t 0 sest 0
dt
L
13 Teorema del valor inicial (^) lim t 0 f t lim s sF s
14 Teorema del valor final (^) lim t f t lim s 0 sF s ^
